6. (2025·相城区月考)通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散. 学生注意力指标数 $ y $ 随时间 $ x $ (分)变化的函数图象如图所示,当 $ 0 ≤ x＜10 $ 和 $ 10 ≤ x＜20 $时,图象是线段; 当 $ 20 ≤ x ≤ 40 $ 时,图象是双曲线的一部分. 根据函数图象解答下列问题:
(1)求注意力指标数 $ y $ 随时间 $ x $ (分)变化的函数表达式;
(2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受,注意力指标应不低于 30,而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 9 分钟,则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受.

6. 解:(1)曲线经过点$(20,48)$,
设 $y=\frac{k}{x}$,则 $\frac{k}{20}=48$,解得 $k=960$,
$\therefore y=\frac{960}{x}(20≤ x≤40)$.
当 $x=40$ 时,$y=\frac{960}{40}=24$,$\therefore D(40,24)$,$\therefore A(0,24)$.
当 $0≤ x＜10$ 时,图象是线段 $AB$,则该段函数是一次函数,由题图可知,点 $B$ 的坐标为$(10,48)$,
设 $y=mx+n$,则 $\begin{cases} n=24,\\ 10m+n=48, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=2.4,\\ n=24, \end{cases}$
$\therefore y=2.4x+24(0≤ x＜10)$.
当 $10≤ x＜20$ 时,$y=48$,$\therefore y=\begin{cases} 2.4x+24(0≤ x＜10),\\ 48(10≤ x＜20),\\ \frac{960}{x}(20≤ x≤40). \end{cases}$
(2)当 $y=30$ 时,$30=2.4x+24$,解得 $x=2.5$,
当 $y=30$ 时,$30=\frac{960}{x}$,解得 $x=32$,
注意力指标不低于 30 的时间为 $32-2.5=29.5$(分),
$\because 29.5÷9\approx3.28$,
$\therefore$ 这节课张老师至多能讲解 3 道数学综合题能让学生完全理解和接受.

【分析】
这是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第一问求分段函数表达式：先处理20≤x≤40的反比例段，已知点C(20,48)，代入反比例解析式求出k，得到该段函数；代入x=40算出D点纵坐标，结合AD是水平线段得到A点坐标(0,24)；再利用A(0,24)和B(10,48)两个点，代入一次函数解析式求出0≤x＜10段的表达式；最后10≤x＜20段是水平线段，y恒为48，整合三段得到完整分段函数。
2. 第二问计算最多可讲解的题目数量：先找到所有y≥30的时间区间，分别在递增的一次函数段求y=30对应的x值，在递减的反比例函数段求y=30对应的x值，两个x的差值就是总有效时长，用总有效时长除以单道题需要的9分钟，向下取整就能得到最多可讲解的题目数。
【解析】
(1) 分三段求解函数表达式：
① 当$20≤ x≤40$时，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，将点$C(20,48)$代入得：
$\frac{k}{20}=48$，解得$k=960$，因此该段函数为$y=\frac{960}{x} \quad (20≤ x≤40)$。
将$x=40$代入上式，得$y=\frac{960}{40}=24$，即D点坐标为$(40,24)$，由图可知AD为水平虚线，因此A点坐标为$(0,24)$。
② 当$0≤ x＜10$时，设一次函数解析式为$y=mx+n$，将$A(0,24)$、$B(10,48)$代入得方程组：
$\begin{cases} n=24 \\ 10m + n = 48 \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=2.4 \\ n=24 \end{cases}$，因此该段函数为$y=2.4x+24 \quad (0≤ x＜10)$。
③ 当$10≤ x＜20$时，图像为水平线段，y恒等于48，即$y=48 \quad (10≤ x＜20)$。
综上，完整的分段函数为：
$y=\begin{cases} 2.4x+24 & (0≤ x＜10) \\ 48 & (10≤ x＜20) \\ \frac{960}{x} & (20≤ x≤40) \end{cases}$
(2) 计算有效时长和最多题目数：
令$y=30$，代入$0≤ x＜10$段的函数：$30=2.4x+24$，解得$x=2.5$；
再令$y=30$，代入$20≤ x≤40$段的函数：$30=\frac{960}{x}$，解得$x=32$。
因此注意力指标不低于30的总时长为$32 - 2.5 = 29.5$分钟。
每道题需要9分钟，$29.5÷9\approx3.28$，向下取整得到最多可以讲3道题。
【答案】
(1) $y=\begin{cases} 2.4x+24 & (0≤ x＜10) \\ 48 & (10≤ x＜20) \\ \frac{960}{x} & (20≤ x≤40) \end{cases}$
(2) 至多能讲解3道数学综合题。
【知识点】
分段函数，反比例函数，一次函数应用
【点评】
本题结合课堂注意力的实际场景考察分段函数的求解与应用，解题的关键是先通过反比例段求出A点坐标，再依次求解各段函数，最后计算有效时长时要注意取整规则，不能四舍五入，要舍去小数部分，避免出现总时长不够的情况。
【难度系数】
0.6

7.(2025·如皋期中)综合与实践:学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动.若花圃一边靠墙(墙的长度不限),其余部分用栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案:

(1)方案一中,若围成一个面积为$450\ \mathrm{m}^2$的长方形花圃.设与墙垂直的栅栏$AB$的长度为$x\ \mathrm{m}$,与墙平行的栅栏$BC$的长度为$y\ \mathrm{m}$,则$y=$(用含$x$的式子表示),$y$与$x$成(填“正”或“反”)比例关系；
(2)方案一中,若栅栏$AB$的长为$(2a+3b)\mathrm{m}$,栅栏$BC$的长比它多$(a+b)\mathrm{m}$.求方案一中所需栅栏的总长度；
(3)方案二中,若所需栅栏的总长度为$60\ \mathrm{m}$,设中间栅栏$MN$的长度为$(2a+3b)\mathrm{m}$,用含$a,b$的代数式表示与墙平行的栅栏$FH$的长度,并求当$a=1,b=3$时方案二中花圃的面积.

7. (1) $\frac{450}{x}$ 反
(2) 解:$\because$ 栅栏 $AB$ 的长为$(2a+3b)\mathrm{m}$,栅栏 $BC$ 的长比它多$(a+b)\mathrm{m}$,
$\therefore BC=2a+3b+a+b=(3a+4b)\mathrm{m}$.
$\therefore$ 所需栅栏的总长度为 $2AB+BC=2(2a+3b)+3a+4b=4a+6b+3a+4b=(7a+10b)\mathrm{m}$.
$\therefore$ 方案一中所需栅栏的总长度为$(7a+10b)\mathrm{m}$.
(3) 解:$\because$ 所需栅栏的总长度为 60 m,中间栅栏 $MN$ 的长度为$(2a+3b)\mathrm{m}$,
$\therefore$ 与墙平行的栅栏 $FH$ 的长度为 $60-3(2a+3b)+6=(66-6a-9b)\mathrm{m}$.
$\therefore$ 当 $a=1$,$b=3$ 时,方案二中花圃的面积为 $MN· FH=(2+9)×(66-6-27)=11×33=363(\mathrm{m}^2)$.
答:与墙平行的栅栏 $FH$ 的长度为$(66-6a-9b)\mathrm{m}$;当 $a=1$,$b=3$ 时,方案二中花圃的面积为 $363\ \mathrm{m}^2$.

【分析】
我们分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第一小问：已知长方形花圃面积为450㎡，直接套用长方形面积公式“面积=长×宽”，代入AB=x、BC=y即可推导出y关于x的表达式，再结合正反比例的定义就能判断二者的比例关系。
2. 第二小问：先根据“BC的长度比AB多(a+b)m”的条件，先求出BC对应的代数式，再观察方案一的栅栏组成：靠墙的边不需要栅栏，总栅栏由2段垂直于墙的边AB、CD和1段平行于墙的边BC组成，代入边长代数式做整式加法化简，就能得到总栅栏长度。
3. 第三小问：先分析方案二的栅栏结构：垂直于墙的栅栏共有3段EF、MN、GH，其中EF和GH各有1个3m的进出口不需要栅栏，因此这两段实际使用的栅栏长度都比MN短3m，先算出3段垂直栅栏的总使用长度，再用总栅栏长度60m减去垂直栅栏的总长度，就能得到平行于墙的FH的长度；最后根据长方形面积公式，代入a、b的数值即可算出花圃面积。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式可得 $x· y=450$，变形得到 $y=\frac{450}{x}$，该形式符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为非零常数）的特征，因此y与x成反比例关系。
(2) 已知$AB=(2a+3b)\mathrm{m}$，BC比AB长$(a+b)\mathrm{m}$，因此：
$BC=(2a+3b)+(a+b)=3a+4b \ (\mathrm{m})$
方案一栅栏总长度为2段垂直于墙的边加1段平行于墙的边：
总长度$=2AB + BC = 2(2a+3b)+(3a+4b)=4a+6b+3a+4b=(7a+10b) \ \mathrm{m}$
(3) 已知$MN=(2a+3b)\mathrm{m}$，EF和GH的长度都等于MN，且各有3m的进出口无需栅栏，因此3段垂直方向使用的栅栏总长度为：
$(MN-3)+MN+(MN-3)=3MN-6=3(2a+3b)-6=6a+9b-6 \ \mathrm{m}$
总栅栏长度为60m，因此平行于墙的FH的长度为：
$60-(6a+9b-6)=(66-6a-9b) \ \mathrm{m}$
当$a=1,b=3$时，$MN=2×1+3×3=11 \ \mathrm{m}$，$FH=66-6×1-9×3=33 \ \mathrm{m}$
花圃面积$S=MN· FH=11×33=363 \ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{450}{x}}$；$\boldsymbol{反}$
(2) 方案一中所需栅栏的总长度为$(7a+10b)\mathrm{m}$
(3) 与墙平行的栅栏FH的长度为$(66-6a-9b)\mathrm{m}$，当$a=1,b=3$时花圃的面积为$363\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积公式，反比例判定，整式加减运算
【点评】
本题结合校园花圃设计的实际场景命题，难度梯度设置合理，综合考查了基础代数概念和代数式的实际应用能力，解题的核心是准确识别不同方案下栅栏的组成结构，特别注意方案二中进出口无需栅栏的隐藏条件，避免栅栏长度计算出错，适合巩固整式应用和反比例基础的相关知识点。
【难度系数】
0.7