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10. 如图，AB // CD，∠ABE = α，∠E=β，∠ECD=γ，则α，β，γ之间的数量关系是（
A.$α + \gamma = β$
B.$α + β = \gamma$
C.$α + β + \gamma = 180°$
D.$α + β - \gamma = 180°$
A
）A.$α + \gamma = β$
B.$α + β = \gamma$
C.$α + β + \gamma = 180°$
D.$α + β - \gamma = 180°$
答案
10.A
解析
【分析】
本题属于平行线间含拐点的典型角度推导题，解题思路如下：首先针对平行线间的拐点问题，通用做法是过拐点作已知直线的平行线，再根据平行公理的推论得到这条辅助线与另一条直线也平行，最后利用平行线的内错角相等的性质，将中间的∠β拆分为两个分别与α、γ相等的角，即可得到三者的数量关系。
【解析】
过点E作EF$//$AB。
∵AB$//$CD（已知），
∴EF$//$AB$//$CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：
∠ABE=∠BEF=$α$，∠ECD=∠CEF=$\gamma$。
又
∵∠BEC=∠BEF+∠CEF=$β$，
∴$β=α+\gamma$，即$α+\gamma=β$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐点问题的基础题型，核心考查过拐点作辅助平行线的方法，熟练掌握该方法后可快速推导这类问题中角的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题属于平行线间含拐点的典型角度推导题，解题思路如下：首先针对平行线间的拐点问题，通用做法是过拐点作已知直线的平行线，再根据平行公理的推论得到这条辅助线与另一条直线也平行，最后利用平行线的内错角相等的性质，将中间的∠β拆分为两个分别与α、γ相等的角，即可得到三者的数量关系。
【解析】
过点E作EF$//$AB。
∵AB$//$CD（已知），
∴EF$//$AB$//$CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：
∠ABE=∠BEF=$α$，∠ECD=∠CEF=$\gamma$。
又
∵∠BEC=∠BEF+∠CEF=$β$，
∴$β=α+\gamma$，即$α+\gamma=β$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐点问题的基础题型，核心考查过拐点作辅助平行线的方法，熟练掌握该方法后可快速推导这类问题中角的数量关系。
【难度系数】
0.7
11.如图,三条直线相交于一点,则∠1+∠2+∠3=
180
°。答案
11.180
解析
【分析】
解题时先回忆相交线的相关性质：两条直线相交时对顶角相等，且平角的度数为180°。我们可以先找到∠2的对顶角，此时∠1、∠3和∠2的对顶角刚好在同一条直线的同侧，刚好组成一个平角，再利用对顶角相等做等量替换，就能求出三个角的度数和。
【解析】
根据对顶角的性质可知，∠2与它的对顶角度数相等。观察图形可得，∠1、∠3和∠2的对顶角共同组成一个平角，平角的度数为180°，即∠1 + ∠3 + ∠2的对顶角 = 180°。将∠2的对顶角替换为∠2，即可得到∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°。
【答案】
180
【知识点】
对顶角相等；平角的定义
【点评】
本题属于相交线性质的基础应用题，解题核心是利用对顶角相等将所求的三个角转化到同一个平角中，解题思路比较直观。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相交线的相关性质：两条直线相交时对顶角相等，且平角的度数为180°。我们可以先找到∠2的对顶角，此时∠1、∠3和∠2的对顶角刚好在同一条直线的同侧，刚好组成一个平角，再利用对顶角相等做等量替换，就能求出三个角的度数和。
【解析】
根据对顶角的性质可知，∠2与它的对顶角度数相等。观察图形可得，∠1、∠3和∠2的对顶角共同组成一个平角，平角的度数为180°，即∠1 + ∠3 + ∠2的对顶角 = 180°。将∠2的对顶角替换为∠2，即可得到∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°。
【答案】
180
【知识点】
对顶角相等；平角的定义
【点评】
本题属于相交线性质的基础应用题，解题核心是利用对顶角相等将所求的三个角转化到同一个平角中，解题思路比较直观。
【难度系数】
0.8
12.【社会实践】在体育课上，某同学跳远的情况如图所示，直线$ l $表示起跳线，经测量，$ PB = 3.3 \ \mathrm{m} $，$ PC = 3.1 \ \mathrm{m} $，$ PD = 3.5 \ \mathrm{m} $，则该同学的实际立定跳远成绩是
3.1
m. 答案
12.3.1
解析
【分析】
要确定该同学的立定跳远成绩，首先要明确跳远成绩的测量规则：跳远成绩是落地点到起跳线的垂线段的长度，本质是点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度。我们只需要从已知线段中找到落地点P到起跳线l的垂线段，它的长度就是所求的成绩。
【解析】
根据立定跳远的测量规则，运动员的成绩为落地点到起跳线的垂线段的长度。
由图可知$PC⊥ l$，即PC是点P到直线l的垂线段，已知$PC=3.1\ \mathrm{m}$，因此该同学的实际立定跳远成绩就是垂线段PC的长度。
【答案】
3.1
【知识点】
点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】
本题结合体育运动的实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是明确实际测量规则对应的几何原理，不要被其他非垂线段的长度干扰。
【难度系数】
0.9
要确定该同学的立定跳远成绩，首先要明确跳远成绩的测量规则：跳远成绩是落地点到起跳线的垂线段的长度，本质是点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度。我们只需要从已知线段中找到落地点P到起跳线l的垂线段，它的长度就是所求的成绩。
【解析】
根据立定跳远的测量规则，运动员的成绩为落地点到起跳线的垂线段的长度。
由图可知$PC⊥ l$，即PC是点P到直线l的垂线段，已知$PC=3.1\ \mathrm{m}$，因此该同学的实际立定跳远成绩就是垂线段PC的长度。
【答案】
3.1
【知识点】
点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】
本题结合体育运动的实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是明确实际测量规则对应的几何原理，不要被其他非垂线段的长度干扰。
【难度系数】
0.9
13. 能说明命题“若两个角α，β互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是
α=90°,β=90°
。答案
13.α=90°,β=90°
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要同时满足两个要求：一是符合命题的条件，即两个角互补（两角之和为180°）；二是不符合命题的结论，即两个角不是一个锐角一个钝角。我们可以从特殊角入手分析，直角既不属于锐角也不属于钝角，且两个直角的和刚好是180°，刚好符合反例的要求。
【解析】
根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，也就是题目中所说的“互补”。
原命题的结论是“两个角必为一个锐角一个钝角”，我们构造的反例需要满足两角和为180°，但不是一锐一钝。
当α=90°，β=90°时，α+β=90°+90°=180°，满足“两个角互补”的条件，但是α和β都是直角，既不是锐角也不是钝角，不满足“一个锐角一个钝角”的结论，因此可以作为该假命题的反例。
【答案】
α=90°,β=90°
【知识点】
1.补角的定义 2.假命题的判断 3.角的分类
【点评】
本题考查假命题反例的构造方法，构造反例的核心是保证例子符合命题的题设，但不符合命题的结论，解决此类问题要注意考虑概念中的特殊情况，避免遗漏直角这类特殊角的性质。
【难度系数】
0.75
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，反例需要同时满足两个要求：一是符合命题的条件，即两个角互补（两角之和为180°）；二是不符合命题的结论，即两个角不是一个锐角一个钝角。我们可以从特殊角入手分析，直角既不属于锐角也不属于钝角，且两个直角的和刚好是180°，刚好符合反例的要求。
【解析】
根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，也就是题目中所说的“互补”。
原命题的结论是“两个角必为一个锐角一个钝角”，我们构造的反例需要满足两角和为180°，但不是一锐一钝。
当α=90°，β=90°时，α+β=90°+90°=180°，满足“两个角互补”的条件，但是α和β都是直角，既不是锐角也不是钝角，不满足“一个锐角一个钝角”的结论，因此可以作为该假命题的反例。
【答案】
α=90°,β=90°
【知识点】
1.补角的定义 2.假命题的判断 3.角的分类
【点评】
本题考查假命题反例的构造方法，构造反例的核心是保证例子符合命题的题设，但不符合命题的结论，解决此类问题要注意考虑概念中的特殊情况，避免遗漏直角这类特殊角的性质。
【难度系数】
0.75
14.如图，AB//CD，CD//EF，CE平分∠BCD，若∠ABC=58°，则∠CEF的度数为
151°
.答案
14.151°
解析
【分析】
解题时先从已知的平行线条件入手，首先根据AB与CD平行，利用平行线内错角相等的性质，得到∠BCD和已知的∠ABC相等，算出∠BCD的度数；再结合CE是∠BCD的角平分线，求出∠ECD的度数；最后根据CD与EF平行，利用平行线同旁内角互补的性质，就能计算出∠CEF的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠ABC=58°，
∴∠BCD=∠ABC=58°（两直线平行，内错角相等）。
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD = $\frac{1}{2}$∠BCD = $\frac{1}{2}$×58°=29°。
又
∵CD//EF，
∴∠CEF + ∠ECD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠CEF=180°-29°=151°。
【答案】
151°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；角度运算
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是将平行线的性质和角平分线的定义结合使用，解题的关键是准确找到平行线所截形成的对应角的数量关系，逐步推导计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的平行线条件入手，首先根据AB与CD平行，利用平行线内错角相等的性质，得到∠BCD和已知的∠ABC相等，算出∠BCD的度数；再结合CE是∠BCD的角平分线，求出∠ECD的度数；最后根据CD与EF平行，利用平行线同旁内角互补的性质，就能计算出∠CEF的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠ABC=58°，
∴∠BCD=∠ABC=58°（两直线平行，内错角相等）。
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECD = $\frac{1}{2}$∠BCD = $\frac{1}{2}$×58°=29°。
又
∵CD//EF，
∴∠CEF + ∠ECD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠CEF=180°-29°=151°。
【答案】
151°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；角度运算
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是将平行线的性质和角平分线的定义结合使用，解题的关键是准确找到平行线所截形成的对应角的数量关系，逐步推导计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
15. 如图，将周长为12的三角形ABC沿BC边向右平移3个单位长度，得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为
18
。答案
15.18
解析
【分析】
解题时首先要运用平移的性质：平移前后图形的对应边相等，对应点连接的线段长度等于平移距离。首先明确四边形ABFD的周长组成，再通过平移性质把四边形的边和已知的△ABC周长、平移距离建立联系：先找到平移后相等的线段，再拆分四边形的边，通过等量代换把四边形周长转化为△ABC周长加上2倍的平移距离，即可算出结果。
【解析】
解：
∵将△ABC沿BC边向右平移3个单位长度得到△DEF，
根据平移的性质可知：
$AD=CF=3$，$AC=DF$，
已知△ABC的周长为12，即$AB+BC+AC=12$，
四边形ABFD的周长为：$AB+BF+DF+AD$，
其中$BF=BC+CF$，将$DF=AC$、$BF=BC+CF$代入周长公式得：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=AB+BC+CF+AC+AD\\&=(AB+BC+AC)+CF+AD\\&=12+3+3\\&=18\end{aligned}$
【答案】
18
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题是平移的基础应用类题目，解题核心是利用平移的性质完成线段的等量代换，将未知的四边形周长转化为已知的三角形周长与平移距离的和，掌握平移的基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要运用平移的性质：平移前后图形的对应边相等，对应点连接的线段长度等于平移距离。首先明确四边形ABFD的周长组成，再通过平移性质把四边形的边和已知的△ABC周长、平移距离建立联系：先找到平移后相等的线段，再拆分四边形的边，通过等量代换把四边形周长转化为△ABC周长加上2倍的平移距离，即可算出结果。
【解析】
解：
∵将△ABC沿BC边向右平移3个单位长度得到△DEF，
根据平移的性质可知：
$AD=CF=3$，$AC=DF$，
已知△ABC的周长为12，即$AB+BC+AC=12$，
四边形ABFD的周长为：$AB+BF+DF+AD$，
其中$BF=BC+CF$，将$DF=AC$、$BF=BC+CF$代入周长公式得：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=AB+BC+CF+AC+AD\\&=(AB+BC+AC)+CF+AD\\&=12+3+3\\&=18\end{aligned}$
【答案】
18
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题是平移的基础应用类题目，解题核心是利用平移的性质完成线段的等量代换，将未知的四边形周长转化为已知的三角形周长与平移距离的和，掌握平移的基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
三、综合运用
16. 如图，$EF ⊥ BC$于点$F$，$∠ 4 = ∠ B$，$∠ 2 + ∠ 3 = 180°$，试证明：$AD ⊥ BC$。请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由。
证明：$\because ∠ 4 = ∠ B$(已知)，
$\therefore AB //$
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$(
$\because ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$，
$\therefore$
$\therefore AD // EF$(
$\therefore ∠ ADB = ∠ EFB$(
$\because EF ⊥ BC$(已知)，
$\therefore ∠ EFB = 90°$(
$\therefore ∠ ADB = 90°$，$\therefore AD ⊥ BC$.
16. 如图，$EF ⊥ BC$于点$F$，$∠ 4 = ∠ B$，$∠ 2 + ∠ 3 = 180°$，试证明：$AD ⊥ BC$。请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由。
证明：$\because ∠ 4 = ∠ B$(已知)，
$\therefore AB //$
DG
(同位角相等,两直线平行
)，$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$(
两直线平行,内错角相等
).$\because ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$，
$\therefore$
∠1
$+ ∠ 2 = 180°$(等量代换
)，$\therefore AD // EF$(
同旁内角互补,两直线平行
)，$\therefore ∠ ADB = ∠ EFB$(
两直线平行,同位角相等
).$\because EF ⊥ BC$(已知)，
$\therefore ∠ EFB = 90°$(
垂直的定义
)，$\therefore ∠ ADB = 90°$，$\therefore AD ⊥ BC$.
答案
16.证明:$\because ∠4=∠B$(已知),
$\therefore AB// DG$(同位角相等,两直线平行),
$\therefore ∠1=∠3$(两直线平行,内错角相等).
$\because ∠2+∠3=180°$,
$\therefore ∠1+∠2=180°$(等量代换),
$\therefore AD// EF$(同旁内角互补,两直线平行),
$\therefore ∠ADB=∠EFB$(两直线平行,同位角相等).
$\because EF⊥BC$(已知),
$\therefore ∠EFB=90°$(垂直的定义),
$\therefore ∠ADB=90°,∴AD⊥BC.$
$\therefore AB// DG$(同位角相等,两直线平行),
$\therefore ∠1=∠3$(两直线平行,内错角相等).
$\because ∠2+∠3=180°$,
$\therefore ∠1+∠2=180°$(等量代换),
$\therefore AD// EF$(同旁内角互补,两直线平行),
$\therefore ∠ADB=∠EFB$(两直线平行,同位角相等).
$\because EF⊥BC$(已知),
$\therefore ∠EFB=90°$(垂直的定义),
$\therefore ∠ADB=90°,∴AD⊥BC.$
解析
【分析】
这是一道平行线判定与性质的综合证明题，解题时顺着已知条件逐步推导即可：首先由已知∠4=∠B，这组同位角相等可推出两条直线平行，得到角相等的关系；再结合∠2+∠3=180°的条件，通过等量代换得到新的角互补关系，判定另一组直线平行；最后结合垂直的已知条件，推导得到AD与BC垂直的结论。
【解析】
我们按照证明逻辑逐空推导：
1. 已知∠4=∠B，∠4和∠B是AB、DG被BC所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// DG$；
2. 由$AB// DG$，∠1和∠3是两条平行线被AD所截的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠1=∠3$；
3. 已知$∠2+∠3=180°$，将∠3替换为相等的∠1，根据等量代换，可得$∠1+∠2=180°$；
4. ∠1和∠2是AD、EF被AB所截的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AD// EF$；
5. 由$AD// EF$，∠ADB和∠EFB是两条平行线被BC所截的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ADB=∠EFB$；
6. 已知$EF⊥ BC$，根据垂直的定义，可得$∠EFB=90°$，因此$∠ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
【答案】
证明:$\because ∠4=∠B$(已知),
$\therefore AB// DG$(同位角相等,两直线平行),
$\therefore ∠1=∠3$(两直线平行,内错角相等).
$\because ∠2+∠3=180°$,
$\therefore ∠1+∠2=180°$(等量代换),
$\therefore AD// EF$(同旁内角互补,两直线平行),
$\therefore ∠ADB=∠EFB$(两直线平行,同位角相等).
$\because EF⊥BC$(已知),
$\therefore ∠EFB=90°$(垂直的定义),
$\therefore ∠ADB=90°,∴AD⊥BC.$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题是几何入门阶段的典型基础题，重点考查平行线判定和性质的区分应用，判定是由角的数量关系推直线位置关系，性质是由直线位置关系推角的数量关系，熟练掌握相关定理即可顺利推导。
【难度系数】
0.7
这是一道平行线判定与性质的综合证明题，解题时顺着已知条件逐步推导即可：首先由已知∠4=∠B，这组同位角相等可推出两条直线平行，得到角相等的关系；再结合∠2+∠3=180°的条件，通过等量代换得到新的角互补关系，判定另一组直线平行；最后结合垂直的已知条件，推导得到AD与BC垂直的结论。
【解析】
我们按照证明逻辑逐空推导：
1. 已知∠4=∠B，∠4和∠B是AB、DG被BC所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// DG$；
2. 由$AB// DG$，∠1和∠3是两条平行线被AD所截的内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠1=∠3$；
3. 已知$∠2+∠3=180°$，将∠3替换为相等的∠1，根据等量代换，可得$∠1+∠2=180°$；
4. ∠1和∠2是AD、EF被AB所截的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AD// EF$；
5. 由$AD// EF$，∠ADB和∠EFB是两条平行线被BC所截的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ADB=∠EFB$；
6. 已知$EF⊥ BC$，根据垂直的定义，可得$∠EFB=90°$，因此$∠ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
【答案】
证明:$\because ∠4=∠B$(已知),
$\therefore AB// DG$(同位角相等,两直线平行),
$\therefore ∠1=∠3$(两直线平行,内错角相等).
$\because ∠2+∠3=180°$,
$\therefore ∠1+∠2=180°$(等量代换),
$\therefore AD// EF$(同旁内角互补,两直线平行),
$\therefore ∠ADB=∠EFB$(两直线平行,同位角相等).
$\because EF⊥BC$(已知),
$\therefore ∠EFB=90°$(垂直的定义),
$\therefore ∠ADB=90°,∴AD⊥BC.$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题是几何入门阶段的典型基础题，重点考查平行线判定和性质的区分应用，判定是由角的数量关系推直线位置关系，性质是由直线位置关系推角的数量关系，熟练掌握相关定理即可顺利推导。
【难度系数】
0.7
