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3.如图,下列说法错误的是 (
A.∠1与∠2是对顶角
B.∠1与∠3是同位角
C.∠1与∠4是内错角
D.∠2与∠4是同旁内角
C
)A.∠1与∠2是对顶角
B.∠1与∠3是同位角
C.∠1与∠4是内错角
D.∠2与∠4是同旁内角
答案
3.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，解题时先确定每个选项中两个角对应的截线和被截线，再结合对应定义逐一判断说法是否正确，最终找出错误选项即可。
【解析】
先明确各类角的判定规则：
1. 对顶角：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角；
2. 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角；
3. 内错角：两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且夹在两条被截直线之间的角；
4. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且夹在两条被截直线之间的角。
逐一分析选项：
A. ∠1与∠2是直线AB和EF相交形成的角，满足对顶角的定义，说法正确，不符合题意；
B. ∠1与∠3是直线AB、CD被EF所截形成的角，二者都在EF上方，且分别在AB、CD的同侧，是同位角，说法正确，不符合题意；
C. ∠1不在被截线AB、CD之间，不满足内错角的定义，不是内错角，说法错误，符合题意；
D. ∠2与∠4是直线AB、CD被EF所截形成的角，二者都在EF下方，且夹在AB、CD之间，是同旁内角，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
对顶角识别，同位角识别，内错角与同旁内角识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是不同位置关系的角的识别，解题的关键是先找准截线和两条被截线，再结合对应概念判断，这类概念是后续平行线相关知识的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，解题时先确定每个选项中两个角对应的截线和被截线，再结合对应定义逐一判断说法是否正确，最终找出错误选项即可。
【解析】
先明确各类角的判定规则：
1. 对顶角：两条直线相交，有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角；
2. 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角；
3. 内错角：两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且夹在两条被截直线之间的角；
4. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且夹在两条被截直线之间的角。
逐一分析选项：
A. ∠1与∠2是直线AB和EF相交形成的角，满足对顶角的定义，说法正确，不符合题意；
B. ∠1与∠3是直线AB、CD被EF所截形成的角，二者都在EF上方，且分别在AB、CD的同侧，是同位角，说法正确，不符合题意；
C. ∠1不在被截线AB、CD之间，不满足内错角的定义，不是内错角，说法错误，符合题意；
D. ∠2与∠4是直线AB、CD被EF所截形成的角，二者都在EF下方，且夹在AB、CD之间，是同旁内角，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
对顶角识别，同位角识别，内错角与同旁内角识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是不同位置关系的角的识别，解题的关键是先找准截线和两条被截线，再结合对应概念判断，这类概念是后续平行线相关知识的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4. 下列命题中是假命题的是（
A.如果 $a // b$，$b // c$，那么 $a // c$
B.对顶角相等
C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D.两点之间，线段最短
C
）A.如果 $a // b$，$b // c$，那么 $a // c$
B.对顶角相等
C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D.两点之间，线段最短
答案
4.C
解析
【分析】
这道题要求选出假命题，解题时首先要明确：真命题是成立的命题，假命题是描述不严谨、不满足成立条件的命题。我们只需要逐个核对每个选项对应的几何定理，判断其描述是否符合定理的完整要求即可，重点要注意部分定理是存在成立前提的，不能省略前提直接使用。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
A选项：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若$a // b$，$b // c$，则$a // c$，是真命题，不符合题意；
B选项：对顶角相等是对顶角的基本性质，是经过证明的真命题，不符合题意；
C选项：只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，该选项省略了“两条直线平行”这个必要前提，描述不成立，是假命题，符合题意；
D选项：“两点之间，线段最短”是公认的线段基本公理，是真命题，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
真假命题判断；平行线的性质；几何基本公理
【点评】
本题属于基础的几何概念辨析题，易错点是容易忽略内错角相等的前提条件，解题时要注意牢记各类定理的完整表述，不要遗漏限定条件。
【难度系数】
0.8
这道题要求选出假命题，解题时首先要明确：真命题是成立的命题，假命题是描述不严谨、不满足成立条件的命题。我们只需要逐个核对每个选项对应的几何定理，判断其描述是否符合定理的完整要求即可，重点要注意部分定理是存在成立前提的，不能省略前提直接使用。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
A选项：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若$a // b$，$b // c$，则$a // c$，是真命题，不符合题意；
B选项：对顶角相等是对顶角的基本性质，是经过证明的真命题，不符合题意；
C选项：只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，该选项省略了“两条直线平行”这个必要前提，描述不成立，是假命题，符合题意；
D选项：“两点之间，线段最短”是公认的线段基本公理，是真命题，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
真假命题判断；平行线的性质；几何基本公理
【点评】
本题属于基础的几何概念辨析题，易错点是容易忽略内错角相等的前提条件，解题时要注意牢记各类定理的完整表述，不要遗漏限定条件。
【难度系数】
0.8
5.如图所示,下列推理及所注理由错误的是（
A.因为∠1=∠3,所以AB//CD(内错角相等,两直线平行)
B.因为AB//CD,所以∠1=∠3(两直线平行,内错角相等)
C.因为AD//BC,所以∠2=∠4(两直线平行,内错角相等)
D.因为∠2=∠4,所以AB//CD(内错角相等,两直线平行)
D
）A.因为∠1=∠3,所以AB//CD(内错角相等,两直线平行)
B.因为AB//CD,所以∠1=∠3(两直线平行,内错角相等)
C.因为AD//BC,所以∠2=∠4(两直线平行,内错角相等)
D.因为∠2=∠4,所以AB//CD(内错角相等,两直线平行)
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查平行线的判定与性质的应用，解题的关键是先准确识别每组内错角对应的被截直线：∠1和∠3是直线AB、CD被AC所截的内错角，∠2和∠4是直线AD、BC被AC所截的内错角。再结合平行线的判定（内错角相等，两直线平行）和性质（两直线平行，内错角相等），逐一判断每个选项的推理是否正确即可。
【解析】
首先明确各组内错角对应的被截直线：
1. ∠1与∠3是直线AB、CD被对角线AC所截形成的内错角；
2. ∠2与∠4是直线AD、BC被对角线AC所截形成的内错角。
逐一分析选项：
A选项：若∠1=∠3，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AB//CD，推理正确，不符合题意；
B选项：若AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可推出∠1=∠3，推理正确，不符合题意；
C选项：若AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可推出∠2=∠4，推理正确，不符合题意；
D选项：若∠2=∠4，根据“内错角相等，两直线平行”，应推出AD//BC，而非AB//CD，推理错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；内错角
【点评】
本题属于基础易错题，解题的核心是准确区分每组内错角对应的两条被截直线，同时不要混淆平行线判定和性质的条件与结论，避免出现“角的关系对应错平行直线”的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线的判定与性质的应用，解题的关键是先准确识别每组内错角对应的被截直线：∠1和∠3是直线AB、CD被AC所截的内错角，∠2和∠4是直线AD、BC被AC所截的内错角。再结合平行线的判定（内错角相等，两直线平行）和性质（两直线平行，内错角相等），逐一判断每个选项的推理是否正确即可。
【解析】
首先明确各组内错角对应的被截直线：
1. ∠1与∠3是直线AB、CD被对角线AC所截形成的内错角；
2. ∠2与∠4是直线AD、BC被对角线AC所截形成的内错角。
逐一分析选项：
A选项：若∠1=∠3，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AB//CD，推理正确，不符合题意；
B选项：若AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可推出∠1=∠3，推理正确，不符合题意；
C选项：若AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可推出∠2=∠4，推理正确，不符合题意；
D选项：若∠2=∠4，根据“内错角相等，两直线平行”，应推出AD//BC，而非AB//CD，推理错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；内错角
【点评】
本题属于基础易错题，解题的核心是准确区分每组内错角对应的两条被截直线，同时不要混淆平行线判定和性质的条件与结论，避免出现“角的关系对应错平行直线”的错误。
【难度系数】
0.7
6.如图是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，则这块红地毯的面积至少为（
A.$23\ \mathrm{m}^2$
B.$90\ \mathrm{m}^2$
C.$130\ \mathrm{m}^2$
D.$120\ \mathrm{m}^2$
B
）A.$23\ \mathrm{m}^2$
B.$90\ \mathrm{m}^2$
C.$130\ \mathrm{m}^2$
D.$120\ \mathrm{m}^2$
答案
6.B
解析
【分析】
要计算铺台阶所需红地毯的最小面积，首先明确红地毯需要覆盖每级台阶的水平面（踩踏面）和竖直立面。我们可以用平移法简化计算：将所有台阶的水平面向上平移、竖直面向右平移，拼接后可知所有水平面的总长度等于台阶的总水平长度10m，所有竖直面的总高度等于台阶的总高度8m，因此地毯的总长度就是总水平长度与总高度之和，再结合台阶的宽度，用长方形面积公式就能算出地毯面积。
【解析】
解：利用平移法可得，红地毯的总长度为台阶总水平长度与总高度之和：
$10 + 8 = 18\ \mathrm{(m)}$
已知台阶的宽度为$5\ \mathrm{m}$，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得红地毯的面积为：
$18 × 5 = 90\ \mathrm{(m^2)}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平移的应用、长方形面积计算
【点评】
本题将平移的数学思想应用到生活实际问题中，把不规则的台阶拼接面转化为规则的长方形边长，大大降低了计算难度，解题的关键是理解平移后地毯总长度的构成。
【难度系数】
0.7
要计算铺台阶所需红地毯的最小面积，首先明确红地毯需要覆盖每级台阶的水平面（踩踏面）和竖直立面。我们可以用平移法简化计算：将所有台阶的水平面向上平移、竖直面向右平移，拼接后可知所有水平面的总长度等于台阶的总水平长度10m，所有竖直面的总高度等于台阶的总高度8m，因此地毯的总长度就是总水平长度与总高度之和，再结合台阶的宽度，用长方形面积公式就能算出地毯面积。
【解析】
解：利用平移法可得，红地毯的总长度为台阶总水平长度与总高度之和：
$10 + 8 = 18\ \mathrm{(m)}$
已知台阶的宽度为$5\ \mathrm{m}$，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得红地毯的面积为：
$18 × 5 = 90\ \mathrm{(m^2)}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平移的应用、长方形面积计算
【点评】
本题将平移的数学思想应用到生活实际问题中，把不规则的台阶拼接面转化为规则的长方形边长，大大降低了计算难度，解题的关键是理解平移后地毯总长度的构成。
【难度系数】
0.7
7.如图,将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边CD上,直角三角板的两直角边分别与直尺的边AB相交,则下列说法不一定正确的是 （
A.$∠1=∠3$
B.$∠2+∠3=180°$
C.$∠2=∠5$
D.$∠3+∠4=90°$
C
）A.$∠1=∠3$
B.$∠2+∠3=180°$
C.$∠2=∠5$
D.$∠3+∠4=90°$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：直尺的对边AB与CD互相平行，直角三角板的直角为90°。接下来结合平行线的性质、邻补角的性质、直角的定义，逐一判断四个选项是否一定成立，最终选出不一定正确的选项即可。
【解析】
解：由题意得AB//CD，直角三角板的直角为90°。
选项A：∠1和∠3是直线AB、CD被三角板的边所截得到的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1=∠3，该选项一定正确，不符合题意；
选项B：∠2和∠3有公共顶点、公共边，另一边互为反向延长线，互为邻补角，根据邻补角的性质可得∠2+∠3=180°，该选项一定正确，不符合题意；
选项C：因为AB//CD，∠5和∠4是同旁内角，所以∠5+∠4=180°，即∠5=180°-∠4；又因为直角三角板的直角为90°，所以∠3+∠4=90°，即∠3=90°-∠4，结合邻补角性质得∠2=180°-∠3=180°-(90°-∠4)=90°+∠4。只有当∠4=45°时∠2=∠5，其余角度时二者不相等，故该选项不一定正确，符合题意；
选项D：直角三角板的直角为90°，所以∠3+∠4=90°，该选项一定正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义；直角的定义
【点评】
本题侧重考查基础角度关系的应用，解题时需结合已知条件逐一验证选项，注意区分仅在特殊情况成立的结论和普遍成立的结论，避免以偏概全。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：直尺的对边AB与CD互相平行，直角三角板的直角为90°。接下来结合平行线的性质、邻补角的性质、直角的定义，逐一判断四个选项是否一定成立，最终选出不一定正确的选项即可。
【解析】
解：由题意得AB//CD，直角三角板的直角为90°。
选项A：∠1和∠3是直线AB、CD被三角板的边所截得到的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1=∠3，该选项一定正确，不符合题意；
选项B：∠2和∠3有公共顶点、公共边，另一边互为反向延长线，互为邻补角，根据邻补角的性质可得∠2+∠3=180°，该选项一定正确，不符合题意；
选项C：因为AB//CD，∠5和∠4是同旁内角，所以∠5+∠4=180°，即∠5=180°-∠4；又因为直角三角板的直角为90°，所以∠3+∠4=90°，即∠3=90°-∠4，结合邻补角性质得∠2=180°-∠3=180°-(90°-∠4)=90°+∠4。只有当∠4=45°时∠2=∠5，其余角度时二者不相等，故该选项不一定正确，符合题意；
选项D：直角三角板的直角为90°，所以∠3+∠4=90°，该选项一定正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义；直角的定义
【点评】
本题侧重考查基础角度关系的应用，解题时需结合已知条件逐一验证选项，注意区分仅在特殊情况成立的结论和普遍成立的结论，避免以偏概全。
【难度系数】
0.7
8.如图所示,一条公路修到湖边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角$∠ A=115°$,第二次拐的角$∠ B=145°$,第三次拐的角是$∠ C$,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则$∠ C$的度数是 (
A.$120°$
B.$130°$
C.$145°$
D.$150°$
D
)A.$120°$
B.$130°$
C.$145°$
D.$150°$
答案
8.D
解析
【分析】
本题已知最终道路与第一次拐弯前的道路平行，要求∠C的度数，可通过过拐点B作辅助线平行于初始道路，利用平行公理的推论得到该辅助线也与最终道路平行，再结合平行线的角度性质，逐步推导三个角之间的关系，最终求出∠C的度数。
【解析】
过点$ B $作$ BD // AM $，
1. 已知$ AM // CN $，$ BD // AM $，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$ BD // CN $；
2. 因为$ BD // AM $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$ ∠ ABD = ∠ A = 115° $；
3. 计算$ ∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 145° - 115° = 30° $；
4. 因为$ BD // CN $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$ ∠ DBC + ∠ C = 180° $，因此$ ∠ C = 180° - 30° = 150° $。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、角度计算
【点评】
本题是平行线应用的典型题型，核心解题方法是在平行线间的拐点处作辅助平行线，将分散的角度关系通过平行线的性质关联起来，只要掌握辅助线的构造方法和平行线的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题已知最终道路与第一次拐弯前的道路平行，要求∠C的度数，可通过过拐点B作辅助线平行于初始道路，利用平行公理的推论得到该辅助线也与最终道路平行，再结合平行线的角度性质，逐步推导三个角之间的关系，最终求出∠C的度数。
【解析】
过点$ B $作$ BD // AM $，
1. 已知$ AM // CN $，$ BD // AM $，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$ BD // CN $；
2. 因为$ BD // AM $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$ ∠ ABD = ∠ A = 115° $；
3. 计算$ ∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 145° - 115° = 30° $；
4. 因为$ BD // CN $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$ ∠ DBC + ∠ C = 180° $，因此$ ∠ C = 180° - 30° = 150° $。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论、角度计算
【点评】
本题是平行线应用的典型题型，核心解题方法是在平行线间的拐点处作辅助平行线，将分散的角度关系通过平行线的性质关联起来，只要掌握辅助线的构造方法和平行线的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
9.如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠,A,D两点分别与A',D'对应,若∠1=2∠2,则∠AEF的度数为 (
A.60°
B.65°
C.72°
D.75°
C
)A.60°
B.65°
C.72°
D.75°
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先结合折叠性质找到相等的角，再利用长方形对边平行的性质得到内错角相等的关系，最后结合平角为180°的性质，设未知数列方程求解即可。首先，折叠前后对应角相等，可得∠AEF=∠A'EF；其次长方形中AB//CD，内错角相等可得∠AEF=∠1；已知∠1=2∠2，再根据平角的定义，三个角∠AEF、∠A'EF、∠2加和为180°，代入关系即可求出∠AEF的度数。
【解析】
设∠2=x，由∠1=2∠2可得∠1=2x。
1. 根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此$∠ AEF=∠ A'EF$；
2. 因为四边形ABCD是长方形，所以AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AEF=∠ 1=2x$；
3. 由于A、E、B三点共线，组成平角，因此$∠ AEF+∠ A'EF+∠ 2=180°$；
4. 将$∠ AEF=∠ A'EF=2x$，$∠ 2=x$代入上式得：$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$；
5. 因此$∠ AEF=2x=2×36°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题是角度计算的典型题型，将折叠变换、平行线性质相结合，解题核心是利用折叠的对称性得到等角，再结合平行线的角度关系和平角性质建立方程求解，能较好地考察学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合折叠性质找到相等的角，再利用长方形对边平行的性质得到内错角相等的关系，最后结合平角为180°的性质，设未知数列方程求解即可。首先，折叠前后对应角相等，可得∠AEF=∠A'EF；其次长方形中AB//CD，内错角相等可得∠AEF=∠1；已知∠1=2∠2，再根据平角的定义，三个角∠AEF、∠A'EF、∠2加和为180°，代入关系即可求出∠AEF的度数。
【解析】
设∠2=x，由∠1=2∠2可得∠1=2x。
1. 根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此$∠ AEF=∠ A'EF$；
2. 因为四边形ABCD是长方形，所以AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AEF=∠ 1=2x$；
3. 由于A、E、B三点共线，组成平角，因此$∠ AEF+∠ A'EF+∠ 2=180°$；
4. 将$∠ AEF=∠ A'EF=2x$，$∠ 2=x$代入上式得：$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$；
5. 因此$∠ AEF=2x=2×36°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题是角度计算的典型题型，将折叠变换、平行线性质相结合，解题核心是利用折叠的对称性得到等角，再结合平行线的角度关系和平角性质建立方程求解，能较好地考察学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
