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如图,有人想要测量两堵围墙在地面上所形成的∠AOB 的度数,但人又不能进入围墙,只能站在围墙外.请问如何利用所学知识中与角的数量关系有关的数学定理、基本事实等设计测量方案？
同学甲说:我想到了对顶角相等,所以可以构造对顶角,如图,将测量∠AOB 转化为测量与∠AOB 相等的对顶角∠COD;同学乙说:我想到了互补角,所以可以构造补角,如图,将测量∠AOB 转化为测量∠AOC 或者∠BOD;同学丙说:我想到了平行线的性质定理,可以将需要测量的∠AOB 转化为与∠AOB 有着确定数量关系的其他角,例如内错角、同位角、同旁内角.你觉得他们的测量方法合理吗?你还有其他的方法吗？
同学甲说:我想到了对顶角相等,所以可以构造对顶角,如图,将测量∠AOB 转化为测量与∠AOB 相等的对顶角∠COD;同学乙说:我想到了互补角,所以可以构造补角,如图,将测量∠AOB 转化为测量∠AOC 或者∠BOD;同学丙说:我想到了平行线的性质定理,可以将需要测量的∠AOB 转化为与∠AOB 有着确定数量关系的其他角,例如内错角、同位角、同旁内角.你觉得他们的测量方法合理吗?你还有其他的方法吗？
答案
解：
三位同学提出的测量方法均合理：
① 同学甲的方案操作：反向延长射线OA到点C，反向延长射线OB到点D，在围墙外区域直接测量出∠COD的度数，由对顶角相等的性质，可得∠AOB=∠COD，即得到∠AOB的度数。
② 同学乙的方案操作：延长射线OA，在围墙外得到点C，直接测量出∠BOC的度数，由邻补角的和为180°，可得∠AOB=180°-∠BOC，计算即可得到∠AOB的度数。
③ 同学丙的方案操作：在围墙外分别作OA、OB的平行线，构造出与∠AOB相等的同位角（或内错角），直接测量该角的度数即可得到∠AOB的度数；也可构造出与∠AOB互为同旁内角的角，测得该角后利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算得到∠AOB的度数。
其他可行方案：在OA、OB位于围墙外的部分各任取一点，连接这两点得到三角形，测量出该三角形中除∠AOB外的两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去测得的两个内角的度数，即可计算得到∠AOB的度数。
三位同学提出的测量方法均合理：
① 同学甲的方案操作：反向延长射线OA到点C，反向延长射线OB到点D，在围墙外区域直接测量出∠COD的度数，由对顶角相等的性质，可得∠AOB=∠COD，即得到∠AOB的度数。
② 同学乙的方案操作：延长射线OA，在围墙外得到点C，直接测量出∠BOC的度数，由邻补角的和为180°，可得∠AOB=180°-∠BOC，计算即可得到∠AOB的度数。
③ 同学丙的方案操作：在围墙外分别作OA、OB的平行线，构造出与∠AOB相等的同位角（或内错角），直接测量该角的度数即可得到∠AOB的度数；也可构造出与∠AOB互为同旁内角的角，测得该角后利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算得到∠AOB的度数。
其他可行方案：在OA、OB位于围墙外的部分各任取一点，连接这两点得到三角形，测量出该三角形中除∠AOB外的两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去测得的两个内角的度数，即可计算得到∠AOB的度数。
解析
【分析】
要测量无法进入围墙内部测量的∠AOB，核心是运用转化思想，将不可直接测量的角，转化为围墙外可测量、且与∠AOB有明确数量关系的角。我们可以结合已学的角的相关性质，先验证三位同学的方案是否具备确定的数量关系，再拓展其他符合要求的测量方案。
【解析】
三位同学提出的测量方法均合理，具体操作及原理如下：
1. 同学甲的方案：反向延长射线OA到点C，反向延长射线OB到点D，此时∠COD与∠AOB互为对顶角，根据对顶角相等的性质，在围墙外测量出∠COD的度数，即可得到∠AOB的度数。
2. 同学乙的方案：延长射线OA得到点C，此时∠BOC与∠AOB互为邻补角，根据邻补角和为180°的性质，测量出∠BOC的度数后，用180°减去∠BOC的度数就能得到∠AOB的度数；也可延长OB测量∠AOD的度数，用同样方法计算。
3. 同学丙的方案：在围墙外分别作OA、OB的平行线，构造出与∠AOB相等的同位角或内错角，测量该角的度数即可得到∠AOB的度数；也可构造与∠AOB互补的同旁内角，测量后根据两直线平行、同旁内角互补的性质，用180°减去该角的度数得到∠AOB的度数。
其他可行方案：在OA、OB位于围墙外的部分各任取一点，连接两点得到包含∠AOB的三角形，测量出该三角形另外两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去这两个内角的度数和，即可得到∠AOB的度数。
【答案】
三位同学提出的测量方法均合理：
① 同学甲的方案操作：反向延长射线OA到点C，反向延长射线OB到点D，在围墙外区域直接测量出∠COD的度数，由对顶角相等的性质，可得∠AOB=∠COD，即得到∠AOB的度数。
② 同学乙的方案操作：延长射线OA，在围墙外得到点C，直接测量出∠BOC的度数，由邻补角的和为180°，可得∠AOB=180°-∠BOC，计算即可得到∠AOB的度数。
③ 同学丙的方案操作：在围墙外分别作OA、OB的平行线，构造出与∠AOB相等的同位角（或内错角），直接测量该角的度数即可得到∠AOB的度数；也可构造出与∠AOB互为同旁内角的角，测得该角后利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算得到∠AOB的度数。
其他可行方案：在OA、OB位于围墙外的部分各任取一点，连接这两点得到三角形，测量出该三角形中除∠AOB外的两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去测得的两个内角的度数，即可计算得到∠AOB的度数。
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补；平行线的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查对角的相关性质的灵活运用能力，核心渗透了转化的数学思想，引导学生学会将抽象的数学知识应用到实际问题的解决中。
【难度系数】
0.7
要测量无法进入围墙内部测量的∠AOB，核心是运用转化思想，将不可直接测量的角，转化为围墙外可测量、且与∠AOB有明确数量关系的角。我们可以结合已学的角的相关性质，先验证三位同学的方案是否具备确定的数量关系，再拓展其他符合要求的测量方案。
【解析】
三位同学提出的测量方法均合理，具体操作及原理如下：
1. 同学甲的方案：反向延长射线OA到点C，反向延长射线OB到点D，此时∠COD与∠AOB互为对顶角，根据对顶角相等的性质，在围墙外测量出∠COD的度数，即可得到∠AOB的度数。
2. 同学乙的方案：延长射线OA得到点C，此时∠BOC与∠AOB互为邻补角，根据邻补角和为180°的性质，测量出∠BOC的度数后，用180°减去∠BOC的度数就能得到∠AOB的度数；也可延长OB测量∠AOD的度数，用同样方法计算。
3. 同学丙的方案：在围墙外分别作OA、OB的平行线，构造出与∠AOB相等的同位角或内错角，测量该角的度数即可得到∠AOB的度数；也可构造与∠AOB互补的同旁内角，测量后根据两直线平行、同旁内角互补的性质，用180°减去该角的度数得到∠AOB的度数。
其他可行方案：在OA、OB位于围墙外的部分各任取一点，连接两点得到包含∠AOB的三角形，测量出该三角形另外两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去这两个内角的度数和，即可得到∠AOB的度数。
【答案】
三位同学提出的测量方法均合理：
① 同学甲的方案操作：反向延长射线OA到点C，反向延长射线OB到点D，在围墙外区域直接测量出∠COD的度数，由对顶角相等的性质，可得∠AOB=∠COD，即得到∠AOB的度数。
② 同学乙的方案操作：延长射线OA，在围墙外得到点C，直接测量出∠BOC的度数，由邻补角的和为180°，可得∠AOB=180°-∠BOC，计算即可得到∠AOB的度数。
③ 同学丙的方案操作：在围墙外分别作OA、OB的平行线，构造出与∠AOB相等的同位角（或内错角），直接测量该角的度数即可得到∠AOB的度数；也可构造出与∠AOB互为同旁内角的角，测得该角后利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算得到∠AOB的度数。
其他可行方案：在OA、OB位于围墙外的部分各任取一点，连接这两点得到三角形，测量出该三角形中除∠AOB外的两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去测得的两个内角的度数，即可计算得到∠AOB的度数。
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补；平行线的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查对角的相关性质的灵活运用能力，核心渗透了转化的数学思想，引导学生学会将抽象的数学知识应用到实际问题的解决中。
【难度系数】
0.7
1. 四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的图案是 （
C
）答案
1.C
解析
【分析】
解题时要紧扣平移的核心性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，也不改变图形中各线段的方向、长度以及线段之间的相对连接关系。首先先数原“口”的火柴棒数量和方向：原图形有2根水平方向火柴、2根竖直方向火柴，平移后火柴的数量、方向都不会变，据此先排除不符合的选项；再对比剩余选项中火柴的连接位置是否和原图一致，即可选出正确答案。
【解析】
第一步：回忆平移的性质：平移不改变图形的形状、大小，图形中各线段的方向、长度以及线段的相对连接关系都保持不变。
第二步：分析原图形构成：原“口”由2根水平火柴、2根竖直火柴共4根火柴组成。
第三步：排除错误选项：
选项A有3根水平火柴，和原图形火柴数量、构成不符，排除；
选项D有3根竖直火柴，和原图形火柴数量、构成不符，排除；
选项B中水平火柴和竖直火柴的连接位置和原图形不一致，不符合平移后相对位置不变的特点，排除；
选项C中共有2根水平火柴、2根竖直火柴，且火柴的连接关系符合平移后的特点，是原图形平移得到的。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质，平移变换
【点评】
本题考查平移性质的实际应用，解题的关键是抓住平移前后图形的构成、各部分相对位置不变的特点，借助排除法可以快速锁定正确答案，能够很好地考查学生的空间想象能力和对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时要紧扣平移的核心性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，也不改变图形中各线段的方向、长度以及线段之间的相对连接关系。首先先数原“口”的火柴棒数量和方向：原图形有2根水平方向火柴、2根竖直方向火柴，平移后火柴的数量、方向都不会变，据此先排除不符合的选项；再对比剩余选项中火柴的连接位置是否和原图一致，即可选出正确答案。
【解析】
第一步：回忆平移的性质：平移不改变图形的形状、大小，图形中各线段的方向、长度以及线段的相对连接关系都保持不变。
第二步：分析原图形构成：原“口”由2根水平火柴、2根竖直火柴共4根火柴组成。
第三步：排除错误选项：
选项A有3根水平火柴，和原图形火柴数量、构成不符，排除；
选项D有3根竖直火柴，和原图形火柴数量、构成不符，排除；
选项B中水平火柴和竖直火柴的连接位置和原图形不一致，不符合平移后相对位置不变的特点，排除；
选项C中共有2根水平火柴、2根竖直火柴，且火柴的连接关系符合平移后的特点，是原图形平移得到的。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质，平移变换
【点评】
本题考查平移性质的实际应用，解题的关键是抓住平移前后图形的构成、各部分相对位置不变的特点，借助排除法可以快速锁定正确答案，能够很好地考查学生的空间想象能力和对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
2.如图，直线AB，CD相交于点O，∠2−∠1=15°，∠3=130°，则∠2的度数是（
A.$37.5°$
B.$75°$
C.$50°$
D.$65°$
D
）A.$37.5°$
B.$75°$
C.$50°$
D.$65°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先观察图形，直线CD为平角，∠1和∠3是邻补角，二者之和为180°，已知∠3的度数，即可先求出∠1的度数；再结合题目给出的∠2与∠1的差的关系，代入∠1的数值就能算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O，∠1与∠3为邻补角，
∴∠1 + ∠3 = 180°，
已知∠3=130°，
∴∠1 = 180° - 130° = 50°，
又
∵∠2 - ∠1 = 15°，
∴∠2 = ∠1 + 15° = 50° + 15° = 65°。
【答案】
D
【知识点】
邻补角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是基础的角度运算题，核心是利用相交线形成的邻补角和为180°的性质，结合已知的角度差关系逐步推导，难度较低，只要掌握邻补角的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先观察图形，直线CD为平角，∠1和∠3是邻补角，二者之和为180°，已知∠3的度数，即可先求出∠1的度数；再结合题目给出的∠2与∠1的差的关系，代入∠1的数值就能算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O，∠1与∠3为邻补角，
∴∠1 + ∠3 = 180°，
已知∠3=130°，
∴∠1 = 180° - 130° = 50°，
又
∵∠2 - ∠1 = 15°，
∴∠2 = ∠1 + 15° = 50° + 15° = 65°。
【答案】
D
【知识点】
邻补角的性质，角度和差计算
【点评】
本题是基础的角度运算题，核心是利用相交线形成的邻补角和为180°的性质，结合已知的角度差关系逐步推导，难度较低，只要掌握邻补角的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
