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1. 如图,请回答下列问题:
(1)在$△ ABC$中,$∠ B$的对边为
(2)图中有多少个三角形?
(3)写出以$∠ B$为内角的三角形.
(4)写出以$CF$为边的三角形.
(1)在$△ ABC$中,$∠ B$的对边为
AC
,在$△ AEC$中,边$AE$的对角为∠ACE
.(2)图中有多少个三角形?
(3)写出以$∠ B$为内角的三角形.
(4)写出以$CF$为边的三角形.
答案
1.【解】(1)AC ∠ACE
(2)8 个(提示:△ADF,△CEF,△ACF,△ABE,△ACE,△ACD,△BCD,△ABC).
(3)△ABE,△BCD,△ABC.
(4)△CFA 与△CFE.
(2)8 个(提示:△ADF,△CEF,△ACF,△ABE,△ACE,△ACD,△BCD,△ABC).
(3)△ABE,△BCD,△ABC.
(4)△CFA 与△CFE.
解析
【分析】
(1) 解决对边、对角问题需先明确定义：三角形中一个角的对边是不包含该角顶点的边，一条边的对角是顶点不在这条边上的角，按照定义对应查找即可。
(2) 数三角形要遵循有序计数的原则，避免重复和遗漏，可按“从小到大”的顺序，先数单个小三角形，再数由多个小图形组合成的三角形，逐一列举。
(3) 找以∠B为内角的三角形，即该三角形的内角包含∠B，也就是三角形必须以B为顶点，另外两个顶点和B组成的角包含∠B即可。
(4) 找以CF为边的三角形，即三角形的两个顶点包含C和F，再确定第三个顶点就能得到对应的三角形。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠B的顶点是B，不经过B的边为AC，因此∠B的对边是AC；在△AEC中，边AE的端点为A、E，顶点不在AE上的角是∠ACE，因此边AE的对角为∠ACE。
(2) 按从小到大的顺序逐一计数：单个小三角形有△ADF、△CEF、△ACF；由两个小图形组合成的三角形有△ABE、△ACE、△ACD、△BCD；大三角形有△ABC，总计3+4+1=8个。
(3) 包含∠B作为内角的三角形顶点均含B，分别为△ABE、△BCD、△ABC。
(4) 以CF为边的三角形需同时包含C、F两个顶点，对应的第三个顶点分别是A和E，因此为△CFA、△CFE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{∠ACE}$
(2) $\boldsymbol{8}$个
(3) $\boldsymbol{△ABE,△BCD,△ABC}$
(4) $\boldsymbol{△CFA,△CFE}$
【知识点】
三角形对边对角定义；三角形计数方法；三角形的边与内角
【点评】
本题是三角形基础概念的考查，核心是熟练掌握三角形的边、内角、对边对角的相关定义，计数时注意按顺序列举，避免漏数、重复即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1) 解决对边、对角问题需先明确定义：三角形中一个角的对边是不包含该角顶点的边，一条边的对角是顶点不在这条边上的角，按照定义对应查找即可。
(2) 数三角形要遵循有序计数的原则，避免重复和遗漏，可按“从小到大”的顺序，先数单个小三角形，再数由多个小图形组合成的三角形，逐一列举。
(3) 找以∠B为内角的三角形，即该三角形的内角包含∠B，也就是三角形必须以B为顶点，另外两个顶点和B组成的角包含∠B即可。
(4) 找以CF为边的三角形，即三角形的两个顶点包含C和F，再确定第三个顶点就能得到对应的三角形。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠B的顶点是B，不经过B的边为AC，因此∠B的对边是AC；在△AEC中，边AE的端点为A、E，顶点不在AE上的角是∠ACE，因此边AE的对角为∠ACE。
(2) 按从小到大的顺序逐一计数：单个小三角形有△ADF、△CEF、△ACF；由两个小图形组合成的三角形有△ABE、△ACE、△ACD、△BCD；大三角形有△ABC，总计3+4+1=8个。
(3) 包含∠B作为内角的三角形顶点均含B，分别为△ABE、△BCD、△ABC。
(4) 以CF为边的三角形需同时包含C、F两个顶点，对应的第三个顶点分别是A和E，因此为△CFA、△CFE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AC}$；$\boldsymbol{∠ACE}$
(2) $\boldsymbol{8}$个
(3) $\boldsymbol{△ABE,△BCD,△ABC}$
(4) $\boldsymbol{△CFA,△CFE}$
【知识点】
三角形对边对角定义；三角形计数方法；三角形的边与内角
【点评】
本题是三角形基础概念的考查，核心是熟练掌握三角形的边、内角、对边对角的相关定义，计数时注意按顺序列举，避免漏数、重复即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
【典型例题2】有下列说法:①一个等边三角形一定不是钝角三角形;②一个钝角三角形一定不是等腰三角形;③一个等腰三角形一定不是锐角三角形;④一个直角三角形一定不是等腰三角形.其中正确的个数是 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】一个等边三角形的三个角都是锐角,所以一定不是钝角三角形,所以①正确;一个等腰三角形,两腰的夹角可能是直角、锐角或钝角,所以②③④均错误.故只有①正确,正确的个数是1.
【答案】A
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】一个等边三角形的三个角都是锐角,所以一定不是钝角三角形,所以①正确;一个等腰三角形,两腰的夹角可能是直角、锐角或钝角,所以②③④均错误.故只有①正确,正确的个数是1.
【答案】A
答案
A
解析
【分析】
本题考查不同类型三角形的定义与性质，解题思路是先明确钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形的角的特征，再对4个说法逐一判断正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：等边三角形的三个内角都为60°，均为锐角，钝角三角形要求有一个内角大于90°，因此等边三角形一定不是钝角三角形，①正确；
2. 分析说法②：举例：顶角为120°，两个底角均为30°的三角形，既是钝角三角形，也是等腰三角形，因此钝角三角形可能是等腰三角形，②错误；
3. 分析说法③：举例：顶角为80°，两个底角均为50°的三角形，三个角都是锐角，既是等腰三角形，也是锐角三角形，因此等腰三角形可能是锐角三角形，③错误；
4. 分析说法④：举例：等腰直角三角形，顶角为90°，两个底角均为45°，既是直角三角形，也是等腰三角形，因此直角三角形可能是等腰三角形，④错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形的分类、等边三角形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是掌握各类三角形的特征，判断错误说法时可通过举反例快速验证，易错点是混淆等腰三角形和按角分类的三角形的包含关系。
【难度系数】
0.7
本题考查不同类型三角形的定义与性质，解题思路是先明确钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形的角的特征，再对4个说法逐一判断正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：等边三角形的三个内角都为60°，均为锐角，钝角三角形要求有一个内角大于90°，因此等边三角形一定不是钝角三角形，①正确；
2. 分析说法②：举例：顶角为120°，两个底角均为30°的三角形，既是钝角三角形，也是等腰三角形，因此钝角三角形可能是等腰三角形，②错误；
3. 分析说法③：举例：顶角为80°，两个底角均为50°的三角形，三个角都是锐角，既是等腰三角形，也是锐角三角形，因此等腰三角形可能是锐角三角形，③错误；
4. 分析说法④：举例：等腰直角三角形，顶角为90°，两个底角均为45°，既是直角三角形，也是等腰三角形，因此直角三角形可能是等腰三角形，④错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
三角形的分类、等边三角形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是掌握各类三角形的特征，判断错误说法时可通过举反例快速验证，易错点是混淆等腰三角形和按角分类的三角形的包含关系。
【难度系数】
0.7
2. 已知$△ ABC$三边长分别为$a,b,c$满足$(a - b)^2 + |b - c| = 0$，则$△ ABC$的形状是（
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.以上都不对
C
）A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.以上都不对
答案
2.C 【解析】由题意得$a-b=0,b-c=0$,所以$a=b$,$b=c$,所以$a=b=c$,即$△ABC$是等边三角形.故选C.
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的特征：等式是平方与绝对值的和为0。根据已学知识，平方和绝对值都具有非负性（即二者的取值都大于等于0），两个非负数相加结果为0时，只能是每个非负数都为0，据此可列出关于三边边长的等式，得到三边的数量关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ 任何实数的平方和绝对值都是非负数，
∴ $(a - b)^2 ≥ 0$，$|b - c| ≥ 0$，
又
∵ $(a - b)^2 + |b - c| = 0$，
∴ $a - b = 0$，$b - c = 0$，
即 $a = b$，$b = c$，
∴ $a = b = c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，将非负数的性质与三角形形状判定结合考查，解题的核心是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”这一常用结论。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察已知等式的特征：等式是平方与绝对值的和为0。根据已学知识，平方和绝对值都具有非负性（即二者的取值都大于等于0），两个非负数相加结果为0时，只能是每个非负数都为0，据此可列出关于三边边长的等式，得到三边的数量关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ 任何实数的平方和绝对值都是非负数，
∴ $(a - b)^2 ≥ 0$，$|b - c| ≥ 0$，
又
∵ $(a - b)^2 + |b - c| = 0$，
∴ $a - b = 0$，$b - c = 0$，
即 $a = b$，$b = c$，
∴ $a = b = c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，将非负数的性质与三角形形状判定结合考查，解题的核心是掌握“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”这一常用结论。
【难度系数】
0.9
1. 下列选项都是由三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（
A
C
D
D
）A
C
D
答案
1.D
解析
【分析】
解题首先要明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。解题时我们只需对照定义的核心要素（三条线段、首尾顺次相接、封闭图形）逐一判断每个选项是否符合即可。
【解析】
根据三角形的定义判断：
选项A：三根木棒没有实现首尾顺次相接，存在边向外延伸的情况，不符合三角形的定义，故A错误；
选项B：三根木棒为两两相交的状态，不是首尾顺次连接，不符合三角形的定义，故B错误；
选项C：右侧木棒没有与另外两根木棒首尾相接，存在向外延伸的部分，不是封闭的图形，不符合三角形的定义，故C错误；
选项D：三根木棒不在同一直线上，且首尾顺次相接组成了封闭图形，完全符合三角形的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点对三角形的核心特征进行辨析，只要准确掌握三角形的定义要素，就能快速选出正确答案，属于送分类题目。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。解题时我们只需对照定义的核心要素（三条线段、首尾顺次相接、封闭图形）逐一判断每个选项是否符合即可。
【解析】
根据三角形的定义判断：
选项A：三根木棒没有实现首尾顺次相接，存在边向外延伸的情况，不符合三角形的定义，故A错误；
选项B：三根木棒为两两相交的状态，不是首尾顺次连接，不符合三角形的定义，故B错误；
选项C：右侧木棒没有与另外两根木棒首尾相接，存在向外延伸的部分，不是封闭的图形，不符合三角形的定义，故C错误；
选项D：三根木棒不在同一直线上，且首尾顺次相接组成了封闭图形，完全符合三角形的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点对三角形的核心特征进行辨析，只要准确掌握三角形的定义要素，就能快速选出正确答案，属于送分类题目。
【难度系数】
0.9
2. 三角形按边分类可分为 （
A.三边都不相等的三角形、等边三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.三边都不相等的三角形、等腰三角形、等腰直角三角形
D.三边都不相等的三角形、等腰三角形
D
）A.三边都不相等的三角形、等边三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.三边都不相等的三角形、等腰三角形、等腰直角三角形
D.三边都不相等的三角形、等腰三角形
答案
2.D
解析
【分析】
解答这道题首先要明确三角形按边分类的标准，分类需满足“不重不漏”的原则，即类别之间无交叉，且能覆盖所有三角形。首先回忆分类逻辑：三角形按边的相等关系划分，首先分为两类，一是三边都不相等的三角形，二是至少有两边相等的等腰三角形，其中等边三角形是三边都相等的特殊等腰三角形，属于等腰三角形的范畴，不是独立分类项。接下来逐一排查选项，排除分类逻辑错误、分类遗漏或混淆分类标准的选项即可。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
1. 三边都不相等的三角形；
2. 等腰三角形：包含底边和腰不相等的等腰三角形，以及三边都相等的等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。
对选项逐一分析：
A. 该分类遗漏了腰和底不相等的等腰三角形，且错误将等边三角形作为独立于等腰三角形的类别，不符合分类逻辑，排除；
B. 等腰三角形已经包含等边三角形，二者不能并列分类，排除；
C. 等腰直角三角形是结合边和角的分类结果，不属于纯按边分类的范畴，分类逻辑混乱，排除；
D. 符合三角形按边分类的正确逻辑，当选。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形按边分类
2. 等腰三角形的定义
【点评】
本题考查三角形分类的基础概念，易错点是混淆分类层级，误将等边三角形当作独立于等腰三角形的类别，或是混淆按边、按角的分类标准，牢记分类的逻辑关系即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解答这道题首先要明确三角形按边分类的标准，分类需满足“不重不漏”的原则，即类别之间无交叉，且能覆盖所有三角形。首先回忆分类逻辑：三角形按边的相等关系划分，首先分为两类，一是三边都不相等的三角形，二是至少有两边相等的等腰三角形，其中等边三角形是三边都相等的特殊等腰三角形，属于等腰三角形的范畴，不是独立分类项。接下来逐一排查选项，排除分类逻辑错误、分类遗漏或混淆分类标准的选项即可。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
1. 三边都不相等的三角形；
2. 等腰三角形：包含底边和腰不相等的等腰三角形，以及三边都相等的等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。
对选项逐一分析：
A. 该分类遗漏了腰和底不相等的等腰三角形，且错误将等边三角形作为独立于等腰三角形的类别，不符合分类逻辑，排除；
B. 等腰三角形已经包含等边三角形，二者不能并列分类，排除；
C. 等腰直角三角形是结合边和角的分类结果，不属于纯按边分类的范畴，分类逻辑混乱，排除；
D. 符合三角形按边分类的正确逻辑，当选。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形按边分类
2. 等腰三角形的定义
【点评】
本题考查三角形分类的基础概念，易错点是混淆分类层级，误将等边三角形当作独立于等腰三角形的类别，或是混淆按边、按角的分类标准，牢记分类的逻辑关系即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
