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1.如图，已知$△ ABC$，$AC＞AB$，$∠ C=45°$.
请用尺规作图，在边$AC$上求作一点$P$，使$∠ PBC=45°$.(不写作法，保留作图痕迹)
请用尺规作图，在边$AC$上求作一点$P$，使$∠ PBC=45°$.(不写作法，保留作图痕迹)
答案
1.【解】如图，点P为所求作的点。
解析
【分析】
要在AC边上找到点P使∠PBC=45°，已知∠C=45°，因此问题可转化为以点B为顶点、BC为一边，在△ABC内部作一个大小等于45°的角，该角的另一边与AC的交点就是所求的点P，我们可以直接用学过的“尺规作一个角等于已知角”的方法完成操作，作图时要保证所作角在三角形内部，确保角的另一边能与AC边相交。
【解析】
作图依据为尺规作一个角等于已知角的方法：
1. 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交BC、AC于两个交点；
2. 以点B为圆心，和第一步相同的长度为半径画弧，交BC边于一点；
3. 以BC上的这个交点为圆心，第一步中C处两个交点的距离为半径画弧，和第二步画出的弧交于△ABC内部一点；
4. 过点B和这个交点作射线，射线与AC边的交点即为所求的点P。
【答案】
如图，点P为所求作的点。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图
【点评】
本题是基础作图类题目，核心是将构造指定角度的需求转化为已学的作等角的尺规操作，熟练掌握作一个角等于已知角的步骤即可准确完成解答。
【难度系数】
0.8
要在AC边上找到点P使∠PBC=45°，已知∠C=45°，因此问题可转化为以点B为顶点、BC为一边，在△ABC内部作一个大小等于45°的角，该角的另一边与AC的交点就是所求的点P，我们可以直接用学过的“尺规作一个角等于已知角”的方法完成操作，作图时要保证所作角在三角形内部，确保角的另一边能与AC边相交。
【解析】
作图依据为尺规作一个角等于已知角的方法：
1. 以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交BC、AC于两个交点；
2. 以点B为圆心，和第一步相同的长度为半径画弧，交BC边于一点；
3. 以BC上的这个交点为圆心，第一步中C处两个交点的距离为半径画弧，和第二步画出的弧交于△ABC内部一点；
4. 过点B和这个交点作射线，射线与AC边的交点即为所求的点P。
【答案】
如图，点P为所求作的点。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图
【点评】
本题是基础作图类题目，核心是将构造指定角度的需求转化为已学的作等角的尺规操作，熟练掌握作一个角等于已知角的步骤即可准确完成解答。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】如图,已知线段$a$和$∠ α$.
求作$△ ABC$,使$AB=AC=a$,$∠ B=∠ α$.
【解】作法:如图.
(1)作$∠ MBN=∠ α$;
(2)在射线$BN$上作$AB=a$,再以点$A$为圆心,$AB$为半径作弧,交射线$BM$于点$C$;
(3)连接$AC$,则$△ ABC$就是所求作的三角形.
规律方法 在作三角形时,通常先用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法作出三角形的一个内角,然后再根据“作一条线段等于已知线段”的尺规作图方法作出三角形的边.
求作$△ ABC$,使$AB=AC=a$,$∠ B=∠ α$.
【解】作法:如图.
(1)作$∠ MBN=∠ α$;
(2)在射线$BN$上作$AB=a$,再以点$A$为圆心,$AB$为半径作弧,交射线$BM$于点$C$;
(3)连接$AC$,则$△ ABC$就是所求作的三角形.
规律方法 在作三角形时,通常先用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法作出三角形的一个内角,然后再根据“作一条线段等于已知线段”的尺规作图方法作出三角形的边.
答案
解：作法如下：
(1) 作∠MBN = ∠α；
(2) 在射线BM上截取AB = a；
(3) 以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线BN于点C；
(4) 连接AC，则△ABC即为所求作的三角形。
(1) 作∠MBN = ∠α；
(2) 在射线BM上截取AB = a；
(3) 以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线BN于点C；
(4) 连接AC，则△ABC即为所求作的三角形。
解析
【分析】
要作满足$AB=AC=a$、$∠ B=∠ α$的等腰$△ ABC$，可按“先定角、再定边、最后找第三个顶点”的思路操作：①首先利用“作一个角等于已知角”的方法，作出等于$∠ α$的角作为$△ ABC$的内角$∠ B$，确定顶点$B$；②在$∠ B$的其中一条射线上截取长度为$a$的线段$AB$，确定顶点$A$；③结合$AC=a$的条件，以$A$为圆心、$a$的长度为半径画弧，弧与$∠ B$的另一条射线的交点即为顶点$C$；④连接两个顶点即可得到所求三角形，全程符合尺规作图的规范要求。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作：
(1) 作$∠ MBN = ∠ α$；
(2) 在射线$BM$上截取$AB = a$；
(3) 以点$A$为圆心，线段$a$的长为半径画弧，交射线$BN$于点$C$；
(4) 连接$AC$，则$△ ABC$即为所求作的三角形。
【答案】
作法如下：
(1) 作$∠ MBN = ∠ α$；
(2) 在射线$BM$上截取$AB = a$；
(3) 以点$A$为圆心，线段$a$的长为半径画弧，交射线$BN$于点$C$；
(4) 连接$AC$，则$△ ABC$即为所求作的三角形。
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 作一条线段等于已知线段
3. 尺规作三角形
【点评】
本题属于基础的尺规作图应用类题目，核心是考察对两种基本尺规作图操作的掌握，以及结合图形性质构造目标图形的能力，作图时要注意保留作图痕迹，明确射线的方向，避免出现顶点、边的位置错误。
【难度系数】
0.8
要作满足$AB=AC=a$、$∠ B=∠ α$的等腰$△ ABC$，可按“先定角、再定边、最后找第三个顶点”的思路操作：①首先利用“作一个角等于已知角”的方法，作出等于$∠ α$的角作为$△ ABC$的内角$∠ B$，确定顶点$B$；②在$∠ B$的其中一条射线上截取长度为$a$的线段$AB$，确定顶点$A$；③结合$AC=a$的条件，以$A$为圆心、$a$的长度为半径画弧，弧与$∠ B$的另一条射线的交点即为顶点$C$；④连接两个顶点即可得到所求三角形，全程符合尺规作图的规范要求。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作：
(1) 作$∠ MBN = ∠ α$；
(2) 在射线$BM$上截取$AB = a$；
(3) 以点$A$为圆心，线段$a$的长为半径画弧，交射线$BN$于点$C$；
(4) 连接$AC$，则$△ ABC$即为所求作的三角形。
【答案】
作法如下：
(1) 作$∠ MBN = ∠ α$；
(2) 在射线$BM$上截取$AB = a$；
(3) 以点$A$为圆心，线段$a$的长为半径画弧，交射线$BN$于点$C$；
(4) 连接$AC$，则$△ ABC$即为所求作的三角形。
【知识点】
1. 作一个角等于已知角
2. 作一条线段等于已知线段
3. 尺规作三角形
【点评】
本题属于基础的尺规作图应用类题目，核心是考察对两种基本尺规作图操作的掌握，以及结合图形性质构造目标图形的能力，作图时要注意保留作图痕迹，明确射线的方向，避免出现顶点、边的位置错误。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知四边形ABCD,∠EAD是其一个外角.利用直尺和圆规在边BC上作一点M,使得DM//AB.
答案
2.【解】如图,在点D处作∠DAE的内错角∠ADM,使∠ADM=∠DAE,交BC于点M,则DM//AB。
解析
【分析】
要得到DM//AB，可结合平行线的判定定理推导作图方法：若把AD作为截AB、DM的截线，那么∠EAD与∠ADM是一组内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，只要作出∠ADM=∠EAD，即可满足DM//AB。因此本题可转化为用尺规作一个角等于已知角的问题，按作等角的步骤操作，所作角的边与BC的交点就是所求的点M。
【解析】
作图步骤遵循“作一个角等于已知角”的规范操作：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交射线AE、线段AD于两个交点；
2. 以点D为圆心，取和步骤1相同的长度为半径画弧，交线段AD于一点；
3. 以步骤2得到的交点为圆心，取步骤1中两个交点之间的长度为半径画弧，两弧交于一点；
4. 连接点D和该交点作射线，射线与BC边的交点即为所求的点M。
【答案】
如图,在点D处作∠DAE的内错角∠ADM,使∠ADM=∠DAE,交BC于点M,则DM//AB。
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定
【点评】
本题属于基础作图类题目，将平行线的判定和尺规基本作图结合考查，解题关键是通过平行线的判定条件将作平行线的需求转化为作相等内错角的需求，掌握基础作图方法和判定定理即可完成。
【难度系数】
0.8
要得到DM//AB，可结合平行线的判定定理推导作图方法：若把AD作为截AB、DM的截线，那么∠EAD与∠ADM是一组内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，只要作出∠ADM=∠EAD，即可满足DM//AB。因此本题可转化为用尺规作一个角等于已知角的问题，按作等角的步骤操作，所作角的边与BC的交点就是所求的点M。
【解析】
作图步骤遵循“作一个角等于已知角”的规范操作：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交射线AE、线段AD于两个交点；
2. 以点D为圆心，取和步骤1相同的长度为半径画弧，交线段AD于一点；
3. 以步骤2得到的交点为圆心，取步骤1中两个交点之间的长度为半径画弧，两弧交于一点；
4. 连接点D和该交点作射线，射线与BC边的交点即为所求的点M。
【答案】
如图,在点D处作∠DAE的内错角∠ADM,使∠ADM=∠DAE,交BC于点M,则DM//AB。
【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定
【点评】
本题属于基础作图类题目，将平行线的判定和尺规基本作图结合考查，解题关键是通过平行线的判定条件将作平行线的需求转化为作相等内错角的需求，掌握基础作图方法和判定定理即可完成。
【难度系数】
0.8
1.如图,已知$∠ AOB=90°,∠ AOC=56°$,以点$O$为圆心,任意长为半径作弧①,分别交$OB,OC$于点$M,N$,再以点$N$为圆心,$MN$为半径作弧,交弧①于点$D$,画射线$OD$,则$∠ COD$的度数为（
A.$22°$
B.$32°$
C.$34°$
D.$56°$
C
）A.$22°$
B.$32°$
C.$34°$
D.$56°$
答案
1.C 【解析】由作图过程可知∠COD=∠COB=∠AOB−∠AOC=90°−56°=34°.
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图类型：题中作图步骤是作一个角等于已知角，可得∠COD=∠COB；接下来先利用已知的∠AOB和∠AOC的度数，通过角的和差关系计算出∠COB的度数，即可得到∠COD的度数。
【解析】
由作图痕迹可知，该作图是作∠COD等于∠COB，即∠COD=∠COB。
已知∠AOB=90°，∠AOC=56°，根据角的和差关系：
$∠ COB = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 56° = 34°$
因此$∠ COD=∠ COB=34°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差计算
【点评】
本题结合尺规作图考查角的计算，解题的关键是能根据作图步骤判断出所作角与已知角的相等关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先识别题中的尺规作图类型：题中作图步骤是作一个角等于已知角，可得∠COD=∠COB；接下来先利用已知的∠AOB和∠AOC的度数，通过角的和差关系计算出∠COB的度数，即可得到∠COD的度数。
【解析】
由作图痕迹可知，该作图是作∠COD等于∠COB，即∠COD=∠COB。
已知∠AOB=90°，∠AOC=56°，根据角的和差关系：
$∠ COB = ∠ AOB - ∠ AOC = 90° - 56° = 34°$
因此$∠ COD=∠ COB=34°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差计算
【点评】
本题结合尺规作图考查角的计算，解题的关键是能根据作图步骤判断出所作角与已知角的相等关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
