4.如图,在$△ ABC$和$△ BDE$中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F,若$AC=BD$,$AB=ED$,$BC=BE$,则下列结论一定成立的是
()

A.$∠ ACB=∠ EDB$
B.$∠ ACB=∠ BED$
C.$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AFB$
D.$∠ ACB=2∠ ABF$

4. C 【解析】在$△ ABC$和$△ DEB$中，$\begin{cases}AC=DB, \\AB=DE, \\BC=EB,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ DEB(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ ACB=∠ DBE$。
因为$∠ AFB=∠ ACB+∠ DBE$，
所以$∠ AFB=2∠ ACB$,即$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AFB$。

【分析】
解题时首先观察已知条件，题目给出了两个三角形的三组对应边相等，首先想到用“SSS”判定三角形全等，得到对应角相等的关系；接下来观察选项中涉及∠AFB与其他角的关系，回忆三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合全等得到的等角关系，推导角的数量关系，最后匹配选项即可。
【解析】
在$△ ABC$和$△ DEB$中，
$\begin{cases}AC=DB, \\AB=DE, \\BC=EB,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEB(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ DBE$。
$\because ∠ AFB$是$△ BFC$的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ AFB = ∠ ACB + ∠ DBE$，
将$∠ DBE = ∠ ACB$代入上式得：
$∠ AFB = 2∠ ACB$，即$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AFB$，因此C选项成立。
对其余选项验证：由全等可知$∠ ACB$对应$∠ DBE$，不等于$∠ EDB$、$∠ BED$，故A、B错误；没有已知条件可推出$∠ ACB=2∠ ABF$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形外角性质的综合基础题，解题核心是先通过三边相等证明三角形全等得到等角关系，再结合外角性质推导角的倍数关系，考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

5.如图,已知$AD=BC,AC=BD$.求证:$OD=OC$.

5.【证明】连接$AB$(图略),在$△ ADB$和$△ BCA$中，
$\begin{cases}AD=BC, \\AB=BA, \\BD=AC,\end{cases}$所以$△ ADB≌△ BCA(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ D=∠ C$。
在$△ ADO$和$△ BCO$中，$\begin{cases}∠ D=∠ C, \\∠ DOA=∠ COB, \\AD=BC,\end{cases}$
所以$△ ADO≌△ BCO(\mathrm{AAS})$,所以$OD=OC$。

【分析】要证明$OD=OC$，可先证明两条线段所在的$△ ADO$和$△ BCO$全等。已知$AD=BC$，且$∠ DOA$与$∠ COB$是对顶角，天然相等，还缺少一组对应角相等的条件。结合题目给出的$AD=BC$、$AC=BD$，可添加辅助线连接$AB$，利用公共边$AB$先证明$△ ADB$和$△ BCA$全等，即可得到$∠ D=∠ C$，凑齐$△ ADO≌△ BCO$的判定条件，最终推出$OD=OC$。
【解析】
证明：连接$AB$，
在$△ ADB$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}AD=BC, \\AB=BA, \\BD=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ADB≌△ BCA(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ D=∠ C$。
在$△ ADO$和$△ BCO$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ C, \\∠ DOA=∠ COB, \\AD=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ADO≌△ BCO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=OC$。
【答案】$OD=OC$
【知识点】SSS判定全等；AAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】本题是全等三角形证明的典型题型，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，先通过公共边证明大三角形全等得到对应角相等，再推导目标线段所在的小三角形全等，进而得到线段相等的结论，需熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，熟悉辅助线的构造思路。
【难度系数】0.7

6. 已知$AB=AC$，$AD=AE$，$BD=CE$，且$B$，$D$，$E$三点在同一条直线上。

(1)如图1，点$B$在线段$DE$上，求证：$∠ DAE=∠ BAC$；
(2)如图2，点$B$在线段$ED$的延长线上，请写出$∠ ADE$与$∠ AEC$之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，若点$B$在线段$DE$的延长线上，请写出$∠ ADE$与$∠ AEC$之间的数量关系并说明理由。

6. (1)【证明】在$△ ADB$和$△ AEC$中，$\begin{cases}AD=AE, \\BD=CE, \\AB=AC,\end{cases}$
所以$△ ADB≌△ AEC(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ DAB=∠ EAC$，
所以$∠ DAB+∠ BAE=∠ EAC+∠ BAE$，
即$∠ DAE=∠ BAC$。
(2)【解】$∠ ADE+∠ AEC=180°$. 理由如下：
在$△ ABD$和$△ ACE$中，$\begin{cases}AB=AC, \\AD=AE, \\BD=CE,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ AEC=∠ ADB$. 因为$B,D,E$三点在同一条直线上,所以$∠ ADE+∠ ADB=180°$,所以$∠ ADE+∠ AEC=180°$。
(3)【解】$∠ ADE=∠ AEC$. 理由如下：
在$△ ADB$和$△ AEC$中，$\begin{cases}AD=AE, \\AB=AC, \\DB=EC,\end{cases}$
所以$△ ADB≌△ AEC(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ ADE=∠ AEC$。

【分析】
(1)要证明∠DAE=∠BAC，已知三组对应边相等，可先通过SSS判定△ADB≌△AEC，得到对应角∠DAB=∠EAC，再给两个角同时加上公共角∠BAE，即可推导得到要证的等角关系。
(2)探究∠ADE与∠AEC的数量关系时，先利用SSS证明△ABD≌△ACE，得到∠AEC=∠ADB，再结合B、D、E三点共线的条件，可知∠ADB与∠ADE互为邻补角，和为180°，通过等量代换即可得到两角的数量关系。
(3)探究∠ADE与∠AEC的数量关系时，依旧先通过SSS证明△ADB≌△AEC，根据全等三角形对应角相等的性质，可直接得到两角相等的结论。
【解析】
(1)证明：在$△ ADB$和$△ AEC$中，
$\begin{cases}AD=AE, \\BD=CE, \\AB=AC,\end{cases}$
所以$△ ADB≌△ AEC(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ DAB=∠ EAC$，
所以$∠ DAB+∠ BAE=∠ EAC+∠ BAE$，
即$∠ DAE=∠ BAC$。
(2)$∠ ADE+∠ AEC=180°$，理由如下：
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\AD=AE, \\BD=CE,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ ACE(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ AEC=∠ ADB$。
因为$B$，$D$，$E$三点在同一条直线上，所以$∠ ADE+∠ ADB=180°$，
所以$∠ ADE+∠ AEC=180°$。
(3)$∠ ADE=∠ AEC$，理由如下：
在$△ ADB$和$△ AEC$中，
$\begin{cases}AD=AE, \\AB=AC, \\DB=EC,\end{cases}$
所以$△ ADB≌△ AEC(\mathrm{SSS})$，
所以$∠ ADE=∠ AEC$。
【答案】
(1)证明成立，$\boldsymbol{∠ DAE=∠ BAC}$；
(2)$\boldsymbol{∠ ADE+∠ AEC=180°}$；
(3)$\boldsymbol{∠ ADE=∠ AEC}$。
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形对应角相等、邻补角的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型变式题，三个小问对应点的位置不同，但核心解题思路一致，均是先通过SSS判定三角形全等，再结合全等性质和共线条件推导角的关系，能够帮助理解图形变换中的不变量规律。
【难度系数】
0.75