7.中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷。图①展示了一个“互”字，图②是其抽象出的几何图形。已知$AB// CD$，$MG// FN$，点$E$，$M$，$F$在同一条直线上，点$G$，$N$，$H$也在同一条直线上，且$∠ EFN=∠ G$。

(1)$EF$与$GH$平行吗？请说明理由。
(2)求证：$∠ AEF=∠ GHD$

(1)解:平行。理由如下:
$\because MG// FN,\therefore ∠EFN=∠EMG$。
$\because ∠EFN=∠G,\therefore ∠G=∠EMG$。
$\therefore EF// GH$。
(2)证明:如图②,延长$EF$交$CD$于点$P$。
$\because AB// CD,\therefore ∠BEF+∠MPH=180°$。
$\because EP// GH,\therefore ∠GHP+∠MPH=180°$。
$\therefore ∠BEF=∠GHP$。
$\because ∠BEF=180°-∠AEF,∠GHP=180°-∠GHD,\therefore ∠AEF=∠GHD$。

【分析】
(1) 要判断EF与GH是否平行，需结合平行线的判定定理推导：首先利用已知的MG//FN，可得到一组同位角相等，再结合题目给出的∠EFN=∠G的条件，通过等量代换得到内错角相等，即可判定两直线平行。
(2) 要证明∠AEF=∠GHD，可借助已知的AB//CD和第(1)问得出的EF//GH的结论，通过延长EF交CD于点P构造辅助线，利用平行线同旁内角互补的性质，结合邻补角的性质，通过等量代换完成证明。
【解析】
(1) EF与GH平行，理由如下：
$\because MG// FN$，
$\therefore ∠ EFN=∠ EMG$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠ EFN=∠ G$，
$\therefore ∠ G=∠ EMG$（等量代换），
$\therefore EF// GH$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 证明：延长$EF$交$CD$于点$P$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ BEF+∠ MPH=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because EF// GH$（(1)中已证），
$\therefore ∠ GHP+∠ MPH=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\therefore ∠ BEF=∠ GHP$（同角的补角相等）。
$\because ∠ BEF=180°-∠ AEF$，$∠ GHP=180°-∠ GHD$（邻补角的定义），
$\therefore ∠ AEF=∠ GHD$（等量代换）。
【答案】
(1) $EF// GH$，理由见解析；
(2) $∠ AEF=∠ GHD$，证明过程见解析。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题结合汉字抽象几何图形考查平行线相关知识的综合应用，解题时可直接将前一问的结论作为后一问的已知条件使用，遇到角的关系推导受阻时可通过构造辅助线建立角之间的联系，侧重考查基础几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

8. 提升题 如图，平面内有七个点A,B,C,D,E,F,G，其中点A,B,C,D,E,F依次首尾相连形成折线，线段AF恰好经过点G，且点B,G,C在同一条直线上。已知$AF// DE$，$∠ B=∠ C+9°$，$∠ CDE=∠ E=105°$。

(1)求$∠ F$的度数。
(2)$∠ B-∠ CGF=$°。
(3)连接AD，当$∠ ADE$与$∠ CGF$满足什么数量关系时，$BC// AD$？

(1)$\because AF// DE$,
$\therefore ∠F+∠E=180°$。
$\therefore ∠F=180°-105°=75°$。
(2)$114$
(3)当$∠ADE+∠CGF=180°$时,$BC// AD$。
理由如下:
$\because AF// DE$,
$\therefore ∠GAD+∠ADE=180°$。
$\because ∠ADE+∠CGF=180°$,
$\therefore ∠GAD=∠CGF$。
$\therefore BC// AD$。

【分析】
(1) 要求∠F的度数，已知AF//DE，根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合∠E的度数即可直接计算。
(2) 先利用平行线的性质得到∠CGF与∠C的数量关系，再结合已知∠B=∠C+9°，将两个式子联立消去∠C，即可求出∠B-∠CGF的度数。
(3) 要判断BC//AD的条件，可先结合AF//DE的性质推导∠ADE与∠GAD的关系，再根据平行线的判定定理，找到∠GAD与∠CGF的关系，即可得到∠ADE和∠CGF满足的数量关系。
【解析】
(1) $\because AF// DE$，根据两直线平行，同旁内角互补，
$\therefore ∠ F + ∠ E = 180°$，
已知$∠ E=105°$，
$\therefore ∠ F=180° - 105°=75°$。
(2) 由$AF// DE$可得$∠ CGF + ∠ C = ∠ CDE=105°$，即$∠ C=105° - ∠ CGF$，
将其代入$∠ B=∠ C +9°$得：$∠ B=105° - ∠ CGF +9°$，
整理得$∠ B - ∠ CGF=105° +9°=114°$。
(3) 当$∠ ADE + ∠ CGF=180°$时，$BC// AD$，理由如下：
$\because AF// DE$，
$\therefore ∠ GAD + ∠ ADE=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ ADE + ∠ CGF=180°$，
$\therefore ∠ GAD=∠ CGF$（同角的补角相等），
$\therefore BC// AD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $∠ F=75°$
(2) $\boldsymbol{114}$
(3) 当$\boldsymbol{∠ ADE + ∠ CGF=180°}$时，$BC// AD$
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；角度计算
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质的应用，解题的关键是结合图形找准角之间的位置关系，能根据已知条件灵活转化角的数量关系，第三问属于探究性问题，需从结论逆向推导所需条件，有利于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6