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1.可以用来说明“若$a＞b$，则$a^2＞b^2$”是假命题的反例是（
A.$a=3,b=-4$
B.$a=-1,b=3$
C.$a=3,b=-1$
D.$a=3,b=4$
A
）A.$a=3,b=-4$
B.$a=-1,b=3$
C.$a=3,b=-1$
D.$a=3,b=4$
答案
A
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出符合要求的反例即可。反例需要同时满足两个条件：①符合原命题的题设，也就是本题中的$a＞b$；②不满足原命题的结论，也就是本题中的$a^2 ≤ b^2$。我们只需逐个验证四个选项，找到同时满足以上两个要求的选项即可。
【解析】
首先明确反例的判定标准：满足$a＞b$，且$a^2 ≤ b^2$，接下来逐个分析选项：
选项A：$a=3$，$b=-4$，先比较大小：$3＞-4$，满足题设$a＞b$；再计算平方：$a^2=3^2=9$，$b^2=(-4)^2=16$，可得$9＜16$，即$a^2＜b^2$，不满足原命题的结论，符合反例要求。
选项B：$a=-1$，$b=3$，$-1＜3$，不满足题设$a＞b$，不符合要求。
选项C：$a=3$，$b=-1$，$3＞-1$，满足题设；计算得$a^2=9$，$b^2=1$，$9＞1$，满足原命题的结论，不是反例。
选项D：$a=3$，$b=4$，$3＜4$，不满足题设$a＞b$，不符合要求。
综上，符合要求的反例是选项A。
【答案】
A
【知识点】
假命题的反例；有理数大小比较；有理数的乘方
【点评】
本题主要考查对反例定义的理解，解题关键是牢记反例需要同时满足“符合命题题设、不符合命题结论”两个特征，计算负数乘方时要注意符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，只需举出符合要求的反例即可。反例需要同时满足两个条件：①符合原命题的题设，也就是本题中的$a＞b$；②不满足原命题的结论，也就是本题中的$a^2 ≤ b^2$。我们只需逐个验证四个选项，找到同时满足以上两个要求的选项即可。
【解析】
首先明确反例的判定标准：满足$a＞b$，且$a^2 ≤ b^2$，接下来逐个分析选项：
选项A：$a=3$，$b=-4$，先比较大小：$3＞-4$，满足题设$a＞b$；再计算平方：$a^2=3^2=9$，$b^2=(-4)^2=16$，可得$9＜16$，即$a^2＜b^2$，不满足原命题的结论，符合反例要求。
选项B：$a=-1$，$b=3$，$-1＜3$，不满足题设$a＞b$，不符合要求。
选项C：$a=3$，$b=-1$，$3＞-1$，满足题设；计算得$a^2=9$，$b^2=1$，$9＞1$，满足原命题的结论，不是反例。
选项D：$a=3$，$b=4$，$3＜4$，不满足题设$a＞b$，不符合要求。
综上，符合要求的反例是选项A。
【答案】
A
【知识点】
假命题的反例；有理数大小比较；有理数的乘方
【点评】
本题主要考查对反例定义的理解，解题关键是牢记反例需要同时满足“符合命题题设、不符合命题结论”两个特征，计算负数乘方时要注意符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
2.如图,点E在CD的延长线上,下列条件中,能判定AB//CE的是(
A.∠3=∠C
B.∠1=∠2
C.∠B=∠C
D.∠C+∠CAB=180°
D
)A.∠3=∠C
B.∠1=∠2
C.∠B=∠C
D.∠C+∠CAB=180°
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。接下来逐个分析选项，先判断每个选项中的角是哪两条直线被第三条直线所截形成的什么角，再结合判定定理看能否推出AB//CE，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ∠3和∠C是直线AC、BD被直线CE所截得到的同位角，若∠3=∠C，可判定AC//BD，不能判定AB//CE，不符合题意；
B. ∠1和∠2是直线AC、BD被直线AD所截得到的内错角，若∠1=∠2，可判定AC//BD，不能判定AB//CE，不符合题意；
C. ∠B和∠C不属于两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角，无法通过∠B=∠C判定AB//CE，不符合题意；
D. ∠C和∠CAB是直线AB、CE被直线AC所截得到的同旁内角，若∠C+∠CAB=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定AB//CE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；三线八角识别
【点评】
本题属于平行线判定的基础题，解题的核心是准确识别不同角对应的截线和被截线，结合平行线判定定理逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。接下来逐个分析选项，先判断每个选项中的角是哪两条直线被第三条直线所截形成的什么角，再结合判定定理看能否推出AB//CE，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ∠3和∠C是直线AC、BD被直线CE所截得到的同位角，若∠3=∠C，可判定AC//BD，不能判定AB//CE，不符合题意；
B. ∠1和∠2是直线AC、BD被直线AD所截得到的内错角，若∠1=∠2，可判定AC//BD，不能判定AB//CE，不符合题意；
C. ∠B和∠C不属于两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角，无法通过∠B=∠C判定AB//CE，不符合题意；
D. ∠C和∠CAB是直线AB、CE被直线AC所截得到的同旁内角，若∠C+∠CAB=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定AB//CE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；三线八角识别
【点评】
本题属于平行线判定的基础题，解题的核心是准确识别不同角对应的截线和被截线，结合平行线判定定理逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AD是$△ ABC$的中线，$DE=DF$，给出下列说法：① $CE=BF$；② $∠ BAF = ∠ CAF$；③ $△ ABD$和$△ ACD$的面积相等；④ $BF // CE$；⑤ $△ BDF ≌ △ CDE$。其中正确的有（
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
B
）A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①AD是△ABC的中线，可得BD=CD，且中线将三角形分成两个等底同高的三角形，面积相等，可先判断③的正误；②已知DE=DF，结合对顶角∠BDF=∠CDE，可利用SAS判定△BDF和△CDE全等，再根据全等三角形的性质判断①、⑤的正误；③由全等得到的对应角相等，可利用内错角相等判断两直线平行，验证④的正误；④题中未说明AD是角平分线，无法得到两角相等，可判断②的正误，最终统计正确结论的数量即可。
【解析】
1. 判定③：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，等底同高的三角形面积相等，故③正确。
2. 判定⑤：在△BDF和△CDE中，$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ BDF=∠ CDE（对顶角相等）\\ DF=DE\end{array} $，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故⑤正确。
3. 判定①：
∵△BDF≌△CDE，
∴对应边CE=BF，故①正确。
4. 判定④：
∵△BDF≌△CDE，
∴∠F=∠CED，内错角相等，两直线平行，
∴BF//CE，故④正确。
5. 判定②：题中仅说明AD是中线，未给出AD是∠BAC的角平分线，无法推出∠BAF=∠CAF，故②错误。
综上，正确的结论有①③④⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于三角形的综合基础题，解题的核心是先利用中线的性质得到边相等，结合已知条件证明三角形全等，再通过全等的性质推导边、角关系和平行关系，需要注意区分中线和角平分线的不同性质，避免错误判断结论②。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①AD是△ABC的中线，可得BD=CD，且中线将三角形分成两个等底同高的三角形，面积相等，可先判断③的正误；②已知DE=DF，结合对顶角∠BDF=∠CDE，可利用SAS判定△BDF和△CDE全等，再根据全等三角形的性质判断①、⑤的正误；③由全等得到的对应角相等，可利用内错角相等判断两直线平行，验证④的正误；④题中未说明AD是角平分线，无法得到两角相等，可判断②的正误，最终统计正确结论的数量即可。
【解析】
1. 判定③：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，等底同高的三角形面积相等，故③正确。
2. 判定⑤：在△BDF和△CDE中，$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ BDF=∠ CDE（对顶角相等）\\ DF=DE\end{array} $，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故⑤正确。
3. 判定①：
∵△BDF≌△CDE，
∴对应边CE=BF，故①正确。
4. 判定④：
∵△BDF≌△CDE，
∴∠F=∠CED，内错角相等，两直线平行，
∴BF//CE，故④正确。
5. 判定②：题中仅说明AD是中线，未给出AD是∠BAC的角平分线，无法推出∠BAF=∠CAF，故②错误。
综上，正确的结论有①③④⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于三角形的综合基础题，解题的核心是先利用中线的性质得到边相等，结合已知条件证明三角形全等，再通过全等的性质推导边、角关系和平行关系，需要注意区分中线和角平分线的不同性质，避免错误判断结论②。
【难度系数】
0.7
4.如图,已知AB//CD,CG//EF。如果∠BAG=150°,∠DEF=130°,那么∠AGC=
（第4题）
80
°。（第4题）答案
80
解析
【分析】
本题是平行线背景下的角度计算问题，解题核心是运用平行线的性质。首先观察图形特征，属于平行线间的拐角类问题，直接推导角度关系较难时，可通过作辅助线构造平行线，将所求角拆分为两个分别与已知角相关的角，再结合两直线平行、同旁内角互补的性质分别计算拆分后的角，最后求和即可得到∠AGC的度数。
【解析】
过点$ G $作$ GH // AB $。
1. 因为$ AB // CD $，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$ GH // CD $；
2. 因为$ GH // AB $，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$ ∠ BAG + ∠ AGH = 180° $，已知$ ∠ BAG=150° $，代入得$ ∠ AGH = 180° - 150° = 30° $；
3. 因为$ CG // EF $，$ GH // CD $，同理可得$ ∠ DEF + ∠ CGH = 180° $，已知$ ∠ DEF=130° $，代入得$ ∠ CGH = 180° - 130° = 50° $；
4. 因此$ ∠ AGC = ∠ AGH + ∠ CGH = 30° + 50° = 80° $。
【答案】
$ 80 $
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用问题，作辅助线构造平行线是解决拐角类角度计算问题的常用技巧，需要熟练掌握平行线的性质，并能根据图形特征灵活选择辅助线的作法，简化角度推导过程。
【难度系数】
0.7
本题是平行线背景下的角度计算问题，解题核心是运用平行线的性质。首先观察图形特征，属于平行线间的拐角类问题，直接推导角度关系较难时，可通过作辅助线构造平行线，将所求角拆分为两个分别与已知角相关的角，再结合两直线平行、同旁内角互补的性质分别计算拆分后的角，最后求和即可得到∠AGC的度数。
【解析】
过点$ G $作$ GH // AB $。
1. 因为$ AB // CD $，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$ GH // CD $；
2. 因为$ GH // AB $，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$ ∠ BAG + ∠ AGH = 180° $，已知$ ∠ BAG=150° $，代入得$ ∠ AGH = 180° - 150° = 30° $；
3. 因为$ CG // EF $，$ GH // CD $，同理可得$ ∠ DEF + ∠ CGH = 180° $，已知$ ∠ DEF=130° $，代入得$ ∠ CGH = 180° - 130° = 50° $；
4. 因此$ ∠ AGC = ∠ AGH + ∠ CGH = 30° + 50° = 80° $。
【答案】
$ 80 $
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用问题，作辅助线构造平行线是解决拐角类角度计算问题的常用技巧，需要熟练掌握平行线的性质，并能根据图形特征灵活选择辅助线的作法，简化角度推导过程。
【难度系数】
0.7
5.一副直角三角尺按如图①所示的方式叠放,现将含$45°$角的三角尺ADE固定,将含$30°$角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动。如图②,当$∠ CAE=15°$时,$BC// DE$。继续旋转三角尺ABC,使两块三角尺至少有一组边互相平行,则$∠ CAE(0°＜∠ CAE＜180°)$其他所有可能符合条件的度数为
$60°$或$105°$或$135°$
。答案
$60°$或$105°$或$135°$
解析
【分析】首先明确两块三角尺的固定内角度数：Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∠B=60°；Rt△ADE中，∠DAE=90°，∠E=∠ADE=45°。要求除∠CAE=15°外，两块三角尺至少一组边平行时的∠CAE度数，我们分三类平行情况逐一讨论：①AD//BC；②BC//DE（15°之外的情况）；③AB//DE，结合平行线的性质计算对应∠CAE的度数，排除超出0°＜∠CAE＜180°范围的情况即可。
【解析】
两块三角尺的内角为定值：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∠B=60°；在Rt△ADE中，∠DAE=90°，∠AED=45°。分三种符合平行的情况计算：
1. 当$AD// BC$时：
根据两直线平行，内错角相等，得$∠ CAD=∠ C=30°$，
因此$∠ CAE=∠ DAE-∠ CAD=90°-30°=60°$，符合$0°＜∠ CAE＜180°$；
2. 当$BC// DE$（$∠ CAE=15°$之外的情况）时：
结合三角尺角度关系，可得$∠ CAE=180°-∠ C-∠ AED=180°-30°-45°=105°$，符合取值范围；
3. 当$AB// DE$时：
根据两直线平行，内错角相等，得$∠ BAE=∠ AED=45°$，
因此$∠ CAE=∠ BAC+∠ BAE=90°+45°=135°$，符合取值范围。
【答案】
$60°$或$105°$或$135°$
【知识点】
平行线的性质，旋转的性质，三角板角度特征
【点评】
本题是旋转与平行线结合的分类讨论题，解题关键是准确梳理所有平行的可能情况，结合平行线性质计算角度，注意不要漏解或多解。
【难度系数】
0.4
【解析】
两块三角尺的内角为定值：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∠B=60°；在Rt△ADE中，∠DAE=90°，∠AED=45°。分三种符合平行的情况计算：
1. 当$AD// BC$时：
根据两直线平行，内错角相等，得$∠ CAD=∠ C=30°$，
因此$∠ CAE=∠ DAE-∠ CAD=90°-30°=60°$，符合$0°＜∠ CAE＜180°$；
2. 当$BC// DE$（$∠ CAE=15°$之外的情况）时：
结合三角尺角度关系，可得$∠ CAE=180°-∠ C-∠ AED=180°-30°-45°=105°$，符合取值范围；
3. 当$AB// DE$时：
根据两直线平行，内错角相等，得$∠ BAE=∠ AED=45°$，
因此$∠ CAE=∠ BAC+∠ BAE=90°+45°=135°$，符合取值范围。
【答案】
$60°$或$105°$或$135°$
【知识点】
平行线的性质，旋转的性质，三角板角度特征
【点评】
本题是旋转与平行线结合的分类讨论题，解题关键是准确梳理所有平行的可能情况，结合平行线性质计算角度，注意不要漏解或多解。
【难度系数】
0.4
6.如图,在△ABC中,D是AB上一点。已知∠A=40°,∠C=80°,尺规作图步骤如下:
①以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点M,交BC于点N;
②分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧相交于点P;
③画射线BP;
④以点D为圆心,以DB的长为半径画弧,交BP于点Q;
⑤连接DQ并延长,交AC于点E。
请根据以上步骤解答下列问题。
(1)求∠ABP的度数。
(2)求证:DE//BC。
①以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点M,交BC于点N;
②分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧相交于点P;
③画射线BP;
④以点D为圆心,以DB的长为半径画弧,交BP于点Q;
⑤连接DQ并延长,交AC于点E。
请根据以上步骤解答下列问题。
(1)求∠ABP的度数。
(2)求证:DE//BC。
答案
(1)解:$\because ∠A=40°,∠C=80°$,
$\therefore ∠ABC=60°$。
$\because BP$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠ABP=\frac{1}{2}∠ABC=30°$。
(2)证明:$\because BP$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠DBQ=∠CBQ$。
$\because DB=DQ,\therefore ∠DBQ=∠DQB$。
$\therefore ∠CBQ=∠DQB$。$\therefore DE// BC$。
$\therefore ∠ABC=60°$。
$\because BP$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠ABP=\frac{1}{2}∠ABC=30°$。
(2)证明:$\because BP$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠DBQ=∠CBQ$。
$\because DB=DQ,\therefore ∠DBQ=∠DQB$。
$\therefore ∠CBQ=∠DQB$。$\therefore DE// BC$。
解析
【分析】
(1)求解∠ABP的度数，首先根据三角形内角和为180°，结合已知∠A、∠C的度数先算出∠ABC的度数；再识别尺规作图步骤①②③是作∠ABC的角平分线，可得BP平分∠ABC，即可求出∠ABP的度数。
(2)要证明DE//BC，可通过证明内错角相等推导：首先由角平分线性质得∠DBQ=∠CBQ，再根据作图步骤④得DB=DQ，由等腰三角形两底角相等得∠DBQ=∠DQB，等量代换得到内错角∠DQB=∠CBQ，即可判定两直线平行。
【解析】
(1)解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∵∠A=40°，∠C=80°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-40°-80°=60°。
由尺规作图步骤可知，BP是∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
(2)证明：
∵BP平分∠ABC，
∴∠DBQ=∠CBQ。
由作图步骤④可知，DB=DQ，
∴△DBQ为等腰三角形，∠DBQ=∠DQB。
∴∠CBQ=∠DQB（等量代换），
∴DE//BC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)30°；(2)DE//BC，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题的核心是准确识别尺规作图得到的角平分线、等线段的结论，再结合相关几何性质推导即可。
【难度系数】
0.8
(1)求解∠ABP的度数，首先根据三角形内角和为180°，结合已知∠A、∠C的度数先算出∠ABC的度数；再识别尺规作图步骤①②③是作∠ABC的角平分线，可得BP平分∠ABC，即可求出∠ABP的度数。
(2)要证明DE//BC，可通过证明内错角相等推导：首先由角平分线性质得∠DBQ=∠CBQ，再根据作图步骤④得DB=DQ，由等腰三角形两底角相等得∠DBQ=∠DQB，等量代换得到内错角∠DQB=∠CBQ，即可判定两直线平行。
【解析】
(1)解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∵∠A=40°，∠C=80°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-40°-80°=60°。
由尺规作图步骤可知，BP是∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
(2)证明：
∵BP平分∠ABC，
∴∠DBQ=∠CBQ。
由作图步骤④可知，DB=DQ，
∴△DBQ为等腰三角形，∠DBQ=∠DQB。
∴∠CBQ=∠DQB（等量代换），
∴DE//BC（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)30°；(2)DE//BC，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题的核心是准确识别尺规作图得到的角平分线、等线段的结论，再结合相关几何性质推导即可。
【难度系数】
0.8
