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7. 提升题 在综合与实践课上，同学们以“一个含$60°$角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学探究活动。如图，已知直线$m// n$，$△ ABC$是直角三角形，点$C$在直线$n$上，$∠ BCA=90°$，$∠ ABC=60°$，$∠ BAC=30°$。
(1)如图①，若$∠1=44°$，则$∠2=\_\_\_\_\_\_°$。
(2)如图②，创新小组的同学将直线$m$向上平移，并把$∠2$的位置改变，通过测量发现$∠2-∠1$是一个定值。在小组讨论时，小乐说：“可以过点$B$作直线$m$的平行线进行等角转化来证明。”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其他方法）。
(3)如图③，缜密小组在图②的基础上继续探究，作射线$DG$和$CG$，两条射线相交于点$G$，且$∠ EDG=\frac{1}{5}∠ EDB$，$∠ FCG=\frac{1}{5}∠ FCB$，求$∠ DGC$的度数。
(1)如图①，若$∠1=44°$，则$∠2=\_\_\_\_\_\_°$。
(2)如图②，创新小组的同学将直线$m$向上平移，并把$∠2$的位置改变，通过测量发现$∠2-∠1$是一个定值。在小组讨论时，小乐说：“可以过点$B$作直线$m$的平行线进行等角转化来证明。”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其他方法）。
(3)如图③，缜密小组在图②的基础上继续探究，作射线$DG$和$CG$，两条射线相交于点$G$，且$∠ EDG=\frac{1}{5}∠ EDB$，$∠ FCG=\frac{1}{5}∠ FCB$，求$∠ DGC$的度数。
答案
(1) $\boldsymbol{134}$
(2)$\boldsymbol{∠2-∠1=120°}$。理由如下：
如图②,过点$B$作$BP// m$,则直线$m// n// BP$。
$\therefore ∠2+∠ ABP=180°$,$∠1=∠ CBP$。
$\therefore ∠ ABP=180°-∠2$。
$\because ∠ CBP+∠ ABP=∠ ABC=60°$,$\therefore ∠1+180°-∠2=60°$。$\therefore ∠2-∠1=120°$。
(3)如图③,过点$B$作$BH// m$,过点$G$作$GI// m$。
$\therefore BH// GI// m// n$。
$\therefore ∠ EDG=∠ DGI$, $∠ CGI=∠ FCG$,
$∠ EDB+∠3=180°$,$∠ FCB+∠4=180°$,
$\therefore ∠ DGC=∠ DGI+∠ CGI$
$=∠ EDG+∠ FCG$
$=\frac{1}{5}∠ EDB+\frac{1}{5}∠ FCB$
$=\frac{1}{5}(180°-∠3)+\frac{1}{5}(180°-∠4)$
$=72°-\frac{1}{5}(∠3+∠4)=72°-\frac{1}{5}∠ ABC$
$=72°-\frac{1}{5}×60°=60°$。
(2)$\boldsymbol{∠2-∠1=120°}$。理由如下：
如图②,过点$B$作$BP// m$,则直线$m// n// BP$。
$\therefore ∠2+∠ ABP=180°$,$∠1=∠ CBP$。
$\therefore ∠ ABP=180°-∠2$。
$\because ∠ CBP+∠ ABP=∠ ABC=60°$,$\therefore ∠1+180°-∠2=60°$。$\therefore ∠2-∠1=120°$。
(3)如图③,过点$B$作$BH// m$,过点$G$作$GI// m$。
$\therefore BH// GI// m// n$。
$\therefore ∠ EDG=∠ DGI$, $∠ CGI=∠ FCG$,
$∠ EDB+∠3=180°$,$∠ FCB+∠4=180°$,
$\therefore ∠ DGC=∠ DGI+∠ CGI$
$=∠ EDG+∠ FCG$
$=\frac{1}{5}∠ EDB+\frac{1}{5}∠ FCB$
$=\frac{1}{5}(180°-∠3)+\frac{1}{5}(180°-∠4)$
$=72°-\frac{1}{5}(∠3+∠4)=72°-\frac{1}{5}∠ ABC$
$=72°-\frac{1}{5}×60°=60°$。
解析
【分析】
(1) 先根据平角的定义求出直线n上AC与n的夹角，再结合平行线同旁内角互补的性质计算∠2的度数。
(2) 按照提示过点B作平行线，利用平行线的传递性得到三条直线平行，分别用∠2和∠1表示出∠ABP和∠CBP，结合∠ABC=60°的条件整理，即可得到∠2与∠1的差值。
(3) 类比第二问的辅助线作法，分别过点B和点G作平行线，将∠DGC拆分为两个分别与∠EDG、∠FCG相等的角，再结合已知的角度比例关系，把∠EDB和∠FCB用与∠ABC相关的式子代换，代入计算即可求出∠DGC的度数。
【解析】
(1) 解：
∵ 直线$m//n$，$∠ BCA=90°$，$∠ 1=44°$
根据平角的定义，$∠ 1 + ∠ BCA + ∠ ACF = 180°$
∴ $∠ ACF = 180° - 90° - 44° = 46°$
又
∵ $m//n$，$∠ 2$与$∠ ACF$是同旁内角
∴ $∠ 2 + ∠ ACF = 180°$
∴ $∠ 2 = 180° - 46° = 134°$
(2) 定值为$∠ 2-∠ 1=120°$，理由如下：
过点$B$作$BP// m$，
∵ $m//n$，
∴ $m//n//BP$（平行线的传递性）
∴ $∠ 2+∠ ABP=180°$（两直线平行，同旁内角互补），$∠ 1=∠ CBP$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠ ABP=180°-∠ 2$
又
∵ $∠ CBP+∠ ABP=∠ ABC=60°$
代入得：$∠ 1 + 180°-∠ 2 = 60°$
整理得：$∠ 2-∠ 1=120°$
(3) 过点$B$作$BH// m$，过点$G$作$GI// m$，
∵ $m//n$，
∴ $BH//GI//m//n$（平行线的传递性）
∴ $∠ EDG=∠ DGI$，$∠ CGI=∠ FCG$（两直线平行，内错角相等）
$∠ EDB+∠ DBH=180°$，$∠ FCB+∠ CBH=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∴ $∠ DGC=∠ DGI+∠ CGI=∠ EDG+∠ FCG$
已知$∠ EDG=\frac{1}{5}∠ EDB$，$∠ FCG=\frac{1}{5}∠ FCB$，代入得：
$∠ DGC = \frac{1}{5}∠ EDB + \frac{1}{5}∠ FCB = \frac{1}{5}(∠ EDB+∠ FCB)$
将$∠ EDB=180°-∠ DBH$，$∠ FCB=180°-∠ CBH$代入：
$∠ DGC = \frac{1}{5}[(180°-∠ DBH)+(180°-∠ CBH)] = \frac{1}{5}[360° - (∠ DBH+∠ CBH)]$
∵ $∠ DBH+∠ CBH=∠ ABC=60°$
∴ $∠ DGC = \frac{1}{5}(360° - 60°) = 60°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{134}$
(2) $\boldsymbol{∠ 2-∠ 1=120°}$，理由见解析
(3) $\boldsymbol{∠ DGC=60°}$
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；辅助线构造平行
【点评】
本题以直角三角板和平行线为背景，层层递进设置问题，重点考查平行线性质的灵活运用，需要学生通过构造平行线完成角度的转化，有效锻炼了逻辑推理能力和角度运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据平角的定义求出直线n上AC与n的夹角，再结合平行线同旁内角互补的性质计算∠2的度数。
(2) 按照提示过点B作平行线，利用平行线的传递性得到三条直线平行，分别用∠2和∠1表示出∠ABP和∠CBP，结合∠ABC=60°的条件整理，即可得到∠2与∠1的差值。
(3) 类比第二问的辅助线作法，分别过点B和点G作平行线，将∠DGC拆分为两个分别与∠EDG、∠FCG相等的角，再结合已知的角度比例关系，把∠EDB和∠FCB用与∠ABC相关的式子代换，代入计算即可求出∠DGC的度数。
【解析】
(1) 解：
∵ 直线$m//n$，$∠ BCA=90°$，$∠ 1=44°$
根据平角的定义，$∠ 1 + ∠ BCA + ∠ ACF = 180°$
∴ $∠ ACF = 180° - 90° - 44° = 46°$
又
∵ $m//n$，$∠ 2$与$∠ ACF$是同旁内角
∴ $∠ 2 + ∠ ACF = 180°$
∴ $∠ 2 = 180° - 46° = 134°$
(2) 定值为$∠ 2-∠ 1=120°$，理由如下：
过点$B$作$BP// m$，
∵ $m//n$，
∴ $m//n//BP$（平行线的传递性）
∴ $∠ 2+∠ ABP=180°$（两直线平行，同旁内角互补），$∠ 1=∠ CBP$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠ ABP=180°-∠ 2$
又
∵ $∠ CBP+∠ ABP=∠ ABC=60°$
代入得：$∠ 1 + 180°-∠ 2 = 60°$
整理得：$∠ 2-∠ 1=120°$
(3) 过点$B$作$BH// m$，过点$G$作$GI// m$，
∵ $m//n$，
∴ $BH//GI//m//n$（平行线的传递性）
∴ $∠ EDG=∠ DGI$，$∠ CGI=∠ FCG$（两直线平行，内错角相等）
$∠ EDB+∠ DBH=180°$，$∠ FCB+∠ CBH=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∴ $∠ DGC=∠ DGI+∠ CGI=∠ EDG+∠ FCG$
已知$∠ EDG=\frac{1}{5}∠ EDB$，$∠ FCG=\frac{1}{5}∠ FCB$，代入得：
$∠ DGC = \frac{1}{5}∠ EDB + \frac{1}{5}∠ FCB = \frac{1}{5}(∠ EDB+∠ FCB)$
将$∠ EDB=180°-∠ DBH$，$∠ FCB=180°-∠ CBH$代入：
$∠ DGC = \frac{1}{5}[(180°-∠ DBH)+(180°-∠ CBH)] = \frac{1}{5}[360° - (∠ DBH+∠ CBH)]$
∵ $∠ DBH+∠ CBH=∠ ABC=60°$
∴ $∠ DGC = \frac{1}{5}(360° - 60°) = 60°$
【答案】
(1) $\boldsymbol{134}$
(2) $\boldsymbol{∠ 2-∠ 1=120°}$，理由见解析
(3) $\boldsymbol{∠ DGC=60°}$
【知识点】
平行线的性质；角的和差计算；辅助线构造平行
【点评】
本题以直角三角板和平行线为背景，层层递进设置问题，重点考查平行线性质的灵活运用，需要学生通过构造平行线完成角度的转化，有效锻炼了逻辑推理能力和角度运算能力。
【难度系数】
0.6
