登录
1. 二次函数$y=x^2 -4x +3$的图象与$x$轴的交点个数是(
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
C
)。A.0
B.1
C.2
D.无法确定
答案
1. C
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的对应关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点个数，和一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数完全一致，而一元二次方程根的个数可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断。因此解题步骤为：先确定二次函数各项系数$a、b、c$，再计算判别式的值，最后根据判别式的符号对应交点个数即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -4x +3$，其对应的一元二次方程为$x^2 -4x +3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×3 = 16 - 12 = 4$
因为$\Delta = 4 ＞ 0$，所以一元二次方程$x^2 -4x +3=0$有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2 -4x +3$的图象与x轴有2个交点。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数与x轴交点个数的判断方法，熟记判别式的符号和交点个数的对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的对应关系：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点个数，和一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根个数完全一致，而一元二次方程根的个数可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断。因此解题步骤为：先确定二次函数各项系数$a、b、c$，再计算判别式的值，最后根据判别式的符号对应交点个数即可。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -4x +3$，其对应的一元二次方程为$x^2 -4x +3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×3 = 16 - 12 = 4$
因为$\Delta = 4 ＞ 0$，所以一元二次方程$x^2 -4x +3=0$有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2 -4x +3$的图象与x轴有2个交点。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数与x轴交点个数的判断方法，熟记判别式的符号和交点个数的对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2. 方程$x^2 -5x +6=0$的解可以看作二次函数
$y=x^2-5x+6$
的图象与$x$
轴交点的横坐标。答案
$y=x^2-5x+6$；$x$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数与一元二次方程的对应关系：一元二次方程的解对应着其对应的二次函数函数值为0时自变量x的取值，而平面直角坐标系中x轴上所有点的纵坐标都是0，因此方程的解就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。我们只需将给定方程的左边作为二次函数的表达式，右边的0对应函数值y=0即可找到对应的二次函数。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其对应的二次函数为$y=ax^2+bx+c$，当$y=0$时得到的方程就是该一元二次方程，此时方程的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。
对应本题的方程$x^2-5x+6=0$，对应的二次函数就是$y=x^2-5x+6$，方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标。
【答案】
$y=x^2-5x+6$；$x$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查二次函数与对应一元二次方程的关联，只要理解二者的对应逻辑就能轻松作答，是后续学习利用二次函数图象求解一元二次方程相关问题的基础。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确二次函数与一元二次方程的对应关系：一元二次方程的解对应着其对应的二次函数函数值为0时自变量x的取值，而平面直角坐标系中x轴上所有点的纵坐标都是0，因此方程的解就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。我们只需将给定方程的左边作为二次函数的表达式，右边的0对应函数值y=0即可找到对应的二次函数。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其对应的二次函数为$y=ax^2+bx+c$，当$y=0$时得到的方程就是该一元二次方程，此时方程的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。
对应本题的方程$x^2-5x+6=0$，对应的二次函数就是$y=x^2-5x+6$，方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标。
【答案】
$y=x^2-5x+6$；$x$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查二次函数与对应一元二次方程的关联，只要理解二者的对应逻辑就能轻松作答，是后续学习利用二次函数图象求解一元二次方程相关问题的基础。
【难度系数】
0.9
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则方程$ax^2+bx+c=0$的解是
$x_1=-1,x_2=3$
，不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$-1＜x＜3$
。答案
$x_1=-1,x_2=3$；$-1＜x＜3$
解析
【分析】
解题需运用二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系：①一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标；②不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是二次函数图象在x轴上方部分对应的x的取值范围。我们先找到图象与x轴的交点坐标，再结合上述关系推导结果即可。
【解析】
1. 求方程$ax^2+bx+c=0$的解：
由图象可得，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，根据二次函数与一元二次方程的对应关系，交点的横坐标就是方程的解，因此方程的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
2. 求不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集：
不等式$ax^2+bx+c＞0$对应二次函数图象在x轴上方的部分，观察图象可知，当x的取值在$-1$和$3$之间时，图象位于x轴上方，即此时函数值大于0，因此不等式的解集为$-1＜x＜3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$；$-1＜x＜3$
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数与不等式的关系；二次函数图象特征
【点评】
本题是数形结合思想的基础应用，核心是掌握二次函数图象与对应一元二次方程、不等式的联系，直接从图象读取信息即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题需运用二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系：①一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标；②不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是二次函数图象在x轴上方部分对应的x的取值范围。我们先找到图象与x轴的交点坐标，再结合上述关系推导结果即可。
【解析】
1. 求方程$ax^2+bx+c=0$的解：
由图象可得，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，根据二次函数与一元二次方程的对应关系，交点的横坐标就是方程的解，因此方程的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
2. 求不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集：
不等式$ax^2+bx+c＞0$对应二次函数图象在x轴上方的部分，观察图象可知，当x的取值在$-1$和$3$之间时，图象位于x轴上方，即此时函数值大于0，因此不等式的解集为$-1＜x＜3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$；$-1＜x＜3$
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数与不等式的关系；二次函数图象特征
【点评】
本题是数形结合思想的基础应用，核心是掌握二次函数图象与对应一元二次方程、不等式的联系，直接从图象读取信息即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 利用函数图象判断方程$2x^2 - 3x - 4 = 0$是否有解。若有解，写出它的近似解（精确到0.1）。
答案
有两个解:$x_1≈2.4,x_2≈-0.9$。
解析
【分析】
要判断一元二次方程$2x^2 - 3x - 4 = 0$的解的情况并求近似解，可利用二次函数与一元二次方程的对应关系：一元二次方程的解就是对应二次函数$y=2x^2 - 3x - 4$的图象与$x$轴交点的横坐标。解题思路如下：1. 确定对应二次函数，分析其开口方向、顶点位置，判断图象与$x$轴是否有交点，确定方程解的个数；2. 通过代入不同$x$值计算对应的$y$值，找到$y$值正负变化的区间，逐步缩小范围，估算出交点横坐标的近似值，精确到0.1即可。
【解析】
设二次函数$y=2x^2 - 3x - 4$：
1. 分析解的个数：
二次项系数$2＞0$，函数图象开口向上；
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{4}=0.75$，代入得顶点纵坐标$y=2×0.75^2 - 3×0.75 -4=-5.125$，顶点在$x$轴下方，因此函数图象与$x$轴有2个交点，即方程有两个不相等的实数根。
2. 估算近似解：
① 负根估算：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -3×(-1)-4=1＞0$；当$x=0$时，$y=-4＜0$，可知根在$-1∼0$之间；
代入$x=-0.9$得$y≈0.32＞0$，代入$x=-0.8$得$y≈-0.32＜0$，因此根更接近$-0.9$，即$x_2≈-0.9$。
② 正根估算：
当$x=2$时，$y=2×2^2 -3×2 -4=-2＜0$；当$x=3$时，$y=2×3^2 -3×3 -4=5＞0$，可知根在$2∼3$之间；
代入$x=2.4$得$y≈0.32＞0$，代入$x=2.3$得$y≈-0.32＜0$，因此根更接近$2.4$，即$x_1≈2.4$。
【答案】
有两个解:$x_1≈2.4,x_2≈-0.9$。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、函数图象应用、近似解估算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程关系的基础应用，解题关键是理解方程的解与对应函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，既可以通过代入取值逐步缩小范围估算近似解，也可以通过描点画出函数图象直接读取交点的近似横坐标得到结果。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程$2x^2 - 3x - 4 = 0$的解的情况并求近似解，可利用二次函数与一元二次方程的对应关系：一元二次方程的解就是对应二次函数$y=2x^2 - 3x - 4$的图象与$x$轴交点的横坐标。解题思路如下：1. 确定对应二次函数，分析其开口方向、顶点位置，判断图象与$x$轴是否有交点，确定方程解的个数；2. 通过代入不同$x$值计算对应的$y$值，找到$y$值正负变化的区间，逐步缩小范围，估算出交点横坐标的近似值，精确到0.1即可。
【解析】
设二次函数$y=2x^2 - 3x - 4$：
1. 分析解的个数：
二次项系数$2＞0$，函数图象开口向上；
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{4}=0.75$，代入得顶点纵坐标$y=2×0.75^2 - 3×0.75 -4=-5.125$，顶点在$x$轴下方，因此函数图象与$x$轴有2个交点，即方程有两个不相等的实数根。
2. 估算近似解：
① 负根估算：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -3×(-1)-4=1＞0$；当$x=0$时，$y=-4＜0$，可知根在$-1∼0$之间；
代入$x=-0.9$得$y≈0.32＞0$，代入$x=-0.8$得$y≈-0.32＜0$，因此根更接近$-0.9$，即$x_2≈-0.9$。
② 正根估算：
当$x=2$时，$y=2×2^2 -3×2 -4=-2＜0$；当$x=3$时，$y=2×3^2 -3×3 -4=5＞0$，可知根在$2∼3$之间；
代入$x=2.4$得$y≈0.32＞0$，代入$x=2.3$得$y≈-0.32＜0$，因此根更接近$2.4$，即$x_1≈2.4$。
【答案】
有两个解:$x_1≈2.4,x_2≈-0.9$。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、函数图象应用、近似解估算
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程关系的基础应用，解题关键是理解方程的解与对应函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，既可以通过代入取值逐步缩小范围估算近似解，也可以通过描点画出函数图象直接读取交点的近似横坐标得到结果。
【难度系数】
0.7
5. 已知抛物线 $y=-x^2+5x+6$ 与 $x$ 轴交于点 $A,B$，与 $y$ 轴交于点 $C$，求 $△ ABC$ 的面积。
答案
21
解析
【分析】
要求△ABC的面积，需先确定三角形的底和对应高。A、B是抛物线与x轴的交点，C是抛物线与y轴的交点，因此AB边在x轴上，长度为A、B两点横坐标差的绝对值，AB边上的高等于点C纵坐标的绝对值。解题思路为：先求A、B、C三点的坐标，再计算AB的长度和AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求抛物线与x轴交点A、B的坐标
令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$-x^2+5x+6=0$
整理得$x^2-5x-6=0$，因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-1$，
因此A、B两点坐标为$(-1,0)$、$(6,0)$，则$AB=|6-(-1)|=7$。
2. 求抛物线与y轴交点C的坐标
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=6$，
因此点C坐标为$(0,6)$，点C到x轴（AB所在直线）的距离为6，即AB边上的高为6。
3. 计算△ABC的面积
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 高=\frac{1}{2}×7×6=21$
【答案】
21
【知识点】
二次函数交点求法、一元二次方程求解、三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求解方法，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键，计算难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
要求△ABC的面积，需先确定三角形的底和对应高。A、B是抛物线与x轴的交点，C是抛物线与y轴的交点，因此AB边在x轴上，长度为A、B两点横坐标差的绝对值，AB边上的高等于点C纵坐标的绝对值。解题思路为：先求A、B、C三点的坐标，再计算AB的长度和AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求抛物线与x轴交点A、B的坐标
令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$-x^2+5x+6=0$
整理得$x^2-5x-6=0$，因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-1$，
因此A、B两点坐标为$(-1,0)$、$(6,0)$，则$AB=|6-(-1)|=7$。
2. 求抛物线与y轴交点C的坐标
令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=6$，
因此点C坐标为$(0,6)$，点C到x轴（AB所在直线）的距离为6，即AB边上的高为6。
3. 计算△ABC的面积
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 高=\frac{1}{2}×7×6=21$
【答案】
21
【知识点】
二次函数交点求法、一元二次方程求解、三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求解方法，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键，计算难度较低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
