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6. 在同一直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx+c$与一次函数$y=-\frac{1}{3}x+2$的图象如图
所示。根据图象信息，一元二次方程$ax^2+bx+c=-\frac{1}{3}x+2$的其中一个解可能是(
A.$-1$
B.$0.5$
C.$1$
D.$4$
所示。根据图象信息，一元二次方程$ax^2+bx+c=-\frac{1}{3}x+2$的其中一个解可能是(B
)。A.$-1$
B.$0.5$
C.$1$
D.$4$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确对应方程的解的几何意义：一元二次方程$ax^2+bx+c=-\frac{1}{3}x+2$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$和一次函数$y=-\frac{1}{3}x+2$图象交点的横坐标。我们只需要结合图象判断两个函数交点横坐标的范围，再匹配选项即可。
【解析】
根据函数与方程的关系，一元二次方程$ax^2+bx+c=-\frac{1}{3}x+2$的解是两个函数图象交点的横坐标，逐一分析选项：
1. 选项A：当$x=-1$时，二次函数$y=0$，一次函数$y=-\frac{1}{3}×(-1)+2=\frac{7}{3}\approx2.33$，两个函数值不相等，不是方程的解；
2. 选项B：当$x=0$时，二次函数$y=1.5$，一次函数$y=2$，一次函数值大于二次函数值；观察图象可知两个函数的一个交点位于$0＜x＜1$的区间内，$x=0.5$属于该区间，有可能是方程的解；
3. 选项C：当$x=1$时，二次函数处于顶点位置，函数值大于一次函数的$y=-\frac{1}{3}×1+2=\frac{5}{3}\approx1.67$，两个函数值不相等，不是方程的解；
4. 选项D：当$x=4$时，一次函数$y=-\frac{1}{3}×4+2=\frac{2}{3}＞0$，此时二次函数图象在x轴下方，$y＜0$，两个函数值不相等，不是方程的解。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与方程的关系，一次函数图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是理解两个函数交点的横坐标就是对应联立方程的解，结合图象判断区间即可快速得到答案，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确对应方程的解的几何意义：一元二次方程$ax^2+bx+c=-\frac{1}{3}x+2$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$和一次函数$y=-\frac{1}{3}x+2$图象交点的横坐标。我们只需要结合图象判断两个函数交点横坐标的范围，再匹配选项即可。
【解析】
根据函数与方程的关系，一元二次方程$ax^2+bx+c=-\frac{1}{3}x+2$的解是两个函数图象交点的横坐标，逐一分析选项：
1. 选项A：当$x=-1$时，二次函数$y=0$，一次函数$y=-\frac{1}{3}×(-1)+2=\frac{7}{3}\approx2.33$，两个函数值不相等，不是方程的解；
2. 选项B：当$x=0$时，二次函数$y=1.5$，一次函数$y=2$，一次函数值大于二次函数值；观察图象可知两个函数的一个交点位于$0＜x＜1$的区间内，$x=0.5$属于该区间，有可能是方程的解；
3. 选项C：当$x=1$时，二次函数处于顶点位置，函数值大于一次函数的$y=-\frac{1}{3}×1+2=\frac{5}{3}\approx1.67$，两个函数值不相等，不是方程的解；
4. 选项D：当$x=4$时，一次函数$y=-\frac{1}{3}×4+2=\frac{2}{3}＞0$，此时二次函数图象在x轴下方，$y＜0$，两个函数值不相等，不是方程的解。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与方程的关系，一次函数图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是理解两个函数交点的横坐标就是对应联立方程的解，结合图象判断区间即可快速得到答案，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
7. 对于方程$x^2+2x-2=0$，可以借助对应的二次函数$y=x^2+2x-2$来估计它的解。
（1）完成下表，判断方程$x^2+2x-2=0$的一个解在哪两个相邻的$x$值之间。
（2）如要更精确地估计方程$x^2+2x-2=0$的一个解，可缩小$x$的取值范围，增加取值的精确度。观察下表，确定该方程的一个解在哪两个相邻的$x$值之间，并说出解的精确度。
（3）归纳：在上述估计$x^2+2x-2=0$的一个解的过程中，如何根据表格中函数值，确定方程的解位于哪两个相邻的$x$值之间？
（1）完成下表，判断方程$x^2+2x-2=0$的一个解在哪两个相邻的$x$值之间。
（2）如要更精确地估计方程$x^2+2x-2=0$的一个解，可缩小$x$的取值范围，增加取值的精确度。观察下表，确定该方程的一个解在哪两个相邻的$x$值之间，并说出解的精确度。
（3）归纳：在上述估计$x^2+2x-2=0$的一个解的过程中，如何根据表格中函数值，确定方程的解位于哪两个相邻的$x$值之间？
答案
(1) 1,−2,−3;方程$x^2+2x−2=0$的一个解在−3与−2之间。
(2) 方程$x^2+2x−2=0$的一个解$x$在−2.8与−2.7之间,解精确到0.1。
(3) 先找到最靠近0的两个函数值,其中一个大于0,一个小于0,然后找到它们对应的两个$x$的值,方程的解就介于这两个$x$值之间。
(2) 方程$x^2+2x−2=0$的一个解$x$在−2.8与−2.7之间,解精确到0.1。
(3) 先找到最靠近0的两个函数值,其中一个大于0,一个小于0,然后找到它们对应的两个$x$的值,方程的解就介于这两个$x$值之间。
解析
【分析】
解题核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系：一元二次方程的解就是对应二次函数y=0时的自变量x的值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标。由于二次函数的图象是连续的曲线，当两个相邻x对应的函数值一正一负时，说明区间内函数图象必然穿过x轴，即区间内存在方程的解。
(1) 先将给定的x值代入二次函数解析式计算对应函数值，再找函数值由正变负或由负变正的相邻x区间，即可确定方程解的范围；
(2) 观察更精确的x对应的函数值，同样找函数值异号的相邻x区间，区间的长度就是解的精确度；
(3) 结合前两问的判断方法，归纳出根据函数值确定解所在区间的通用规律即可。
【解析】
(1) 将x分别代入$y=x^2+2x-2$计算：
当x=-3时，$y=(-3)^2+2×(-3)-2=1$；
当x=-2时，$y=(-2)^2+2×(-2)-2=-2$；
当x=-1时，$y=(-1)^2+2×(-1)-2=-3$；
因为x=-3时y=1＞0，x=-2时y=-2＜0，函数值异号，说明在-3和-2之间存在x使得y=0，即方程的一个解在-3与-2之间。
(2) 观察精确取值后的函数值，可发现x=-2.8和x=-2.7对应的函数值一正一负、二者异号，因此方程的一个解在-2.8与-2.7之间，两个x的差值为0.1，因此解的精确度为0.1。
(3) 由于二次函数图象是连续的曲线，当两个相邻的自变量x对应的函数值一个为正、一个为负时，这两个x之间必然存在一个值使得函数值为0，即对应方程的解。因此只需找到符号相反、最接近0的两个函数值，它们对应的两个相邻x值之间的区间就是方程解所在的区间。
【答案】
(1) 计算得函数值依次为1，−2，−3；方程$x^2+2x−2=0$的一个解在−3与−2之间。
(2) 方程$x^2+2x−2=0$的一个解$x$在−2.8与−2.7之间，解精确到0.1。
(3) 先找到最靠近0的两个函数值，其中一个大于0，一个小于0，然后找到它们对应的两个$x$的值，方程的解就介于这两个$x$值之间。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程近似解的估算
3. 二次函数的函数值意义
【点评】
本题将一元二次方程和二次函数结合，考查利用函数值变化估算方程解的方法，渗透了数形结合的数学思想，掌握连续函数在函数值异号的区间内存在零点是解题的核心，有助于理解函数与方程的对应联系。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系：一元二次方程的解就是对应二次函数y=0时的自变量x的值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标。由于二次函数的图象是连续的曲线，当两个相邻x对应的函数值一正一负时，说明区间内函数图象必然穿过x轴，即区间内存在方程的解。
(1) 先将给定的x值代入二次函数解析式计算对应函数值，再找函数值由正变负或由负变正的相邻x区间，即可确定方程解的范围；
(2) 观察更精确的x对应的函数值，同样找函数值异号的相邻x区间，区间的长度就是解的精确度；
(3) 结合前两问的判断方法，归纳出根据函数值确定解所在区间的通用规律即可。
【解析】
(1) 将x分别代入$y=x^2+2x-2$计算：
当x=-3时，$y=(-3)^2+2×(-3)-2=1$；
当x=-2时，$y=(-2)^2+2×(-2)-2=-2$；
当x=-1时，$y=(-1)^2+2×(-1)-2=-3$；
因为x=-3时y=1＞0，x=-2时y=-2＜0，函数值异号，说明在-3和-2之间存在x使得y=0，即方程的一个解在-3与-2之间。
(2) 观察精确取值后的函数值，可发现x=-2.8和x=-2.7对应的函数值一正一负、二者异号，因此方程的一个解在-2.8与-2.7之间，两个x的差值为0.1，因此解的精确度为0.1。
(3) 由于二次函数图象是连续的曲线，当两个相邻的自变量x对应的函数值一个为正、一个为负时，这两个x之间必然存在一个值使得函数值为0，即对应方程的解。因此只需找到符号相反、最接近0的两个函数值，它们对应的两个相邻x值之间的区间就是方程解所在的区间。
【答案】
(1) 计算得函数值依次为1，−2，−3；方程$x^2+2x−2=0$的一个解在−3与−2之间。
(2) 方程$x^2+2x−2=0$的一个解$x$在−2.8与−2.7之间，解精确到0.1。
(3) 先找到最靠近0的两个函数值，其中一个大于0，一个小于0，然后找到它们对应的两个$x$的值，方程的解就介于这两个$x$值之间。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程近似解的估算
3. 二次函数的函数值意义
【点评】
本题将一元二次方程和二次函数结合，考查利用函数值变化估算方程解的方法，渗透了数形结合的数学思想，掌握连续函数在函数值异号的区间内存在零点是解题的核心，有助于理解函数与方程的对应联系。
【难度系数】
0.8
