登录
8. 如图,小明在操场掷铅球。某次投掷过程中,铅球高度 $y$(米)与水平行进距离$x$(米)之间的关系可近似用二次函数 $y=-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{9}{16}x+\dfrac{3}{2}(x≥0)$来刻画。
(1) 掷出瞬间,铅球离地面的高度是多少米?
(2) 铅球落地时(即高度 $y=0$ 时)的水平距离是多少米? 对应哪个方程的正数解?
(3) 若铅球行进高度(米)与水平距离 $x$(米)之间的关系近似满足二次函数 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$,投掷的远度(即投掷距离)为 $s$ 米,试用函数或方程的语言解释 $s$ 的意义。
(1) 掷出瞬间,铅球离地面的高度是多少米?
(2) 铅球落地时(即高度 $y=0$ 时)的水平距离是多少米? 对应哪个方程的正数解?
(3) 若铅球行进高度(米)与水平距离 $x$(米)之间的关系近似满足二次函数 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$,投掷的远度(即投掷距离)为 $s$ 米,试用函数或方程的语言解释 $s$ 的意义。
答案
(1) 1.5米。
(2) 水平距离为8米,方程$-\frac{3}{32}x^2+\frac{9}{16}x+\frac{3}{2}=0$的正的那个解。
(3) $s$是方程$ax^2+bx+c=0$的正数解;$s$ 是函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴正半轴交点的横坐标。
(2) 水平距离为8米,方程$-\frac{3}{32}x^2+\frac{9}{16}x+\frac{3}{2}=0$的正的那个解。
(3) $s$是方程$ax^2+bx+c=0$的正数解;$s$ 是函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴正半轴交点的横坐标。
解析
【分析】
(1) 掷出瞬间铅球的水平行进距离为0，即x=0，将x=0代入二次函数解析式计算y值，即可得到铅球离地面的高度；
(2) 铅球落地时高度y=0，因此令函数解析式中y=0，得到对应的一元二次方程，求解方程后结合x≥0的实际意义筛选正根，就是铅球落地的水平距离，该正根就是对应方程的正数解；
(3) 投掷远度s是铅球落地时的水平距离，此时y=0，结合二次函数与一元二次方程的关系，从方程和函数两个角度解释s的意义即可。
【解析】
(1) 掷出瞬间，水平距离x=0，将x=0代入$y=-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{9}{16}x+\dfrac{3}{2}$，得：
$y=\dfrac{3}{2}=1.5$（米）
即掷出瞬间铅球离地面高度为1.5米。
(2) 令y=0，可得方程：
$-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{9}{16}x+\dfrac{3}{2}=0$
两边同时乘32消去分母，得：$-3x^2+18x+48=0$
整理得：$x^2-6x-16=0$
因式分解得：$(x-8)(x+2)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$
∵$x≥0$，
∴舍去$x=-2$，即铅球落地时水平距离是8米，对应方程$-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{9}{16}x+\dfrac{3}{2}=0$的正数解。
(3) 从方程角度：s是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解；从函数角度：s是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴正半轴交点的横坐标。
【答案】
(1) 1.5米。
(2) 水平距离为8米，对应方程$-\frac{3}{32}x^2+\frac{9}{16}x+\frac{3}{2}=0$的正的那个解。
(3) $s$是方程$ax^2+bx+c=0$的正数解；$s$ 是函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴正半轴交点的横坐标。
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数与一元二次方程的关系、解一元二次方程
【点评】
本题结合掷铅球的生活实际考查二次函数相关知识，将实际问题转化为二次函数问题，需要结合实际意义对方程的解进行筛选，能帮助学生理解数学与生活的联系，巩固二次函数和一元二次方程的对应关系。
【难度系数】
0.8
(1) 掷出瞬间铅球的水平行进距离为0，即x=0，将x=0代入二次函数解析式计算y值，即可得到铅球离地面的高度；
(2) 铅球落地时高度y=0，因此令函数解析式中y=0，得到对应的一元二次方程，求解方程后结合x≥0的实际意义筛选正根，就是铅球落地的水平距离，该正根就是对应方程的正数解；
(3) 投掷远度s是铅球落地时的水平距离，此时y=0，结合二次函数与一元二次方程的关系，从方程和函数两个角度解释s的意义即可。
【解析】
(1) 掷出瞬间，水平距离x=0，将x=0代入$y=-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{9}{16}x+\dfrac{3}{2}$，得：
$y=\dfrac{3}{2}=1.5$（米）
即掷出瞬间铅球离地面高度为1.5米。
(2) 令y=0，可得方程：
$-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{9}{16}x+\dfrac{3}{2}=0$
两边同时乘32消去分母，得：$-3x^2+18x+48=0$
整理得：$x^2-6x-16=0$
因式分解得：$(x-8)(x+2)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$
∵$x≥0$，
∴舍去$x=-2$，即铅球落地时水平距离是8米，对应方程$-\dfrac{3}{32}x^2+\dfrac{9}{16}x+\dfrac{3}{2}=0$的正数解。
(3) 从方程角度：s是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解；从函数角度：s是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴正半轴交点的横坐标。
【答案】
(1) 1.5米。
(2) 水平距离为8米，对应方程$-\frac{3}{32}x^2+\frac{9}{16}x+\frac{3}{2}=0$的正的那个解。
(3) $s$是方程$ax^2+bx+c=0$的正数解；$s$ 是函数$y=ax^2+bx+c$与$x$轴正半轴交点的横坐标。
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数与一元二次方程的关系、解一元二次方程
【点评】
本题结合掷铅球的生活实际考查二次函数相关知识，将实际问题转化为二次函数问题，需要结合实际意义对方程的解进行筛选，能帮助学生理解数学与生活的联系，巩固二次函数和一元二次方程的对应关系。
【难度系数】
0.8
9. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s，经过t(s)时球的高度为h(m)。已知物体竖直上抛运动中，h与t之间有函数关系，$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$（$v_0$表示物体运动上弹开始的速度，g表示重力系数，取$g=10\ \mathrm{m/s}^2$）。
（1）写出h(m)关于t(s)的二次函数表达式。
（2）球从弹起到到达最高点，需要多少时间？最高点的高度是多少？
（3）若球在下落至$h=3.75\ \mathrm{m}$处时，遇一夹板（这部分运动的函数图象如图所示），球以遇到夹板时的速度再次向上竖直弹起，然后落回地面。求球从最初10 m/s弹起到落回地面的时间（忽略空气阻力等）。
（1）写出h(m)关于t(s)的二次函数表达式。
（2）球从弹起到到达最高点，需要多少时间？最高点的高度是多少？
（3）若球在下落至$h=3.75\ \mathrm{m}$处时，遇一夹板（这部分运动的函数图象如图所示），球以遇到夹板时的速度再次向上竖直弹起，然后落回地面。求球从最初10 m/s弹起到落回地面的时间（忽略空气阻力等）。
答案
(1) $h=10t-5t^2$。
(2) 球从弹起到最高点需要1秒,最高点的高度为5米。
(3) 当$h=3.75$时,$3.75=10t-5t^2$,解得$t_1=0.5,t_2=1.5$。根据题意可知在球弹起后1.5秒时遇到夹板。
因为球遇到夹板弹起的速度与下落时恰好碰到夹板的速度大小相同,所以小球再次弹起,经过0.5秒后到达最高点,再经过1秒后落地。所以球从最初弹起到落回地面的时间为$1.5+1.5=3$(秒)。(也可以利用图象对称性求解。)
(2) 球从弹起到最高点需要1秒,最高点的高度为5米。
(3) 当$h=3.75$时,$3.75=10t-5t^2$,解得$t_1=0.5,t_2=1.5$。根据题意可知在球弹起后1.5秒时遇到夹板。
因为球遇到夹板弹起的速度与下落时恰好碰到夹板的速度大小相同,所以小球再次弹起,经过0.5秒后到达最高点,再经过1秒后落地。所以球从最初弹起到落回地面的时间为$1.5+1.5=3$(秒)。(也可以利用图象对称性求解。)
解析
【分析】
本题是二次函数在竖直上抛运动中的实际应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：直接将题目给出的$v_0=10\ \mathrm{m/s}$、$g=10\ \mathrm{m/s^2}$代入给定的$h$的公式，化简即可得到二次函数表达式；
2. 第(2)问：求最高点的时间和高度，实质是求开口向下的二次函数的顶点坐标，可利用二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$求到达最高点的时间，再将$t$代入函数解析式求出最大高度，也就是顶点的纵坐标；
3. 第(3)问：首先令$h=3.75$，解一元二次方程得到两个时间值，结合“下落至$h=3.75\ \mathrm{m}$处遇夹板”的条件，舍去上升阶段的解，得到遇夹板的时间；再利用运动的对称性，弹起后的运动规律和此前同速度的上抛运动一致，算出弹起后到落地的时间，两者相加就是总时间。
【解析】
(1) 已知$v_0=10\ \mathrm{m/s}$，$g=10\ \mathrm{m/s^2}$，代入公式$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$得：
$h=10t - \frac{1}{2} × 10 t^2 = 10t -5t^2$，
即$h$关于$t$的二次函数表达式为$h=-5t^2+10t$。
(2) 对于二次函数$h=-5t^2+10t$，其中$a=-5$，$b=10$，$c=0$，
因为$a=-5＜0$，函数图象开口向下，顶点为最高点，
到达最高点的时间为对称轴对应的$t$值：$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-5)}=1\ \mathrm{s}$，
将$t=1$代入函数得最高点高度：$h=-5×1^2 +10×1=5\ \mathrm{m}$。
(3) 令$h=3.75$，代入$h=10t-5t^2$得：
$3.75=10t-5t^2$，
整理得$4t^2-8t+3=0$，
因式分解得$(2t-1)(2t-3)=0$，
解得$t_1=0.5\ \mathrm{s}$，$t_2=1.5\ \mathrm{s}$。
因为是下落至$3.75\ \mathrm{m}$处遇夹板，所以取$t=1.5\ \mathrm{s}$（$t=0.5\ \mathrm{s}$是上升阶段到达$3.75\ \mathrm{m}$的时间，舍去）。
球遇到夹板时的速度大小等于上升到$3.75\ \mathrm{m}$时的速度大小，因此再次竖直上抛的运动与前一段上抛运动规律对称：弹起后经过$0.5\ \mathrm{s}$到达最高点，再经过$1\ \mathrm{s}$落回地面，即弹起后到落地共经过$0.5+1=1.5\ \mathrm{s}$。
总时间为$1.5+1.5=3\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{h=10t-5t^2}$
(2) 球从弹起到最高点需要1秒，最高点的高度为5米
(3) 球从最初弹起到落回地面的时间为3秒
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的顶点性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合竖直上抛的运动场景考查二次函数的实际应用，解题时要能将物理运动问题转化为二次函数的相关问题，利用二次函数的图象性质、一元二次方程的解法求解，同时要注意结合实际情境对方程的解进行取舍，合理运用运动对称性可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在竖直上抛运动中的实际应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：直接将题目给出的$v_0=10\ \mathrm{m/s}$、$g=10\ \mathrm{m/s^2}$代入给定的$h$的公式，化简即可得到二次函数表达式；
2. 第(2)问：求最高点的时间和高度，实质是求开口向下的二次函数的顶点坐标，可利用二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$求到达最高点的时间，再将$t$代入函数解析式求出最大高度，也就是顶点的纵坐标；
3. 第(3)问：首先令$h=3.75$，解一元二次方程得到两个时间值，结合“下落至$h=3.75\ \mathrm{m}$处遇夹板”的条件，舍去上升阶段的解，得到遇夹板的时间；再利用运动的对称性，弹起后的运动规律和此前同速度的上抛运动一致，算出弹起后到落地的时间，两者相加就是总时间。
【解析】
(1) 已知$v_0=10\ \mathrm{m/s}$，$g=10\ \mathrm{m/s^2}$，代入公式$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$得：
$h=10t - \frac{1}{2} × 10 t^2 = 10t -5t^2$，
即$h$关于$t$的二次函数表达式为$h=-5t^2+10t$。
(2) 对于二次函数$h=-5t^2+10t$，其中$a=-5$，$b=10$，$c=0$，
因为$a=-5＜0$，函数图象开口向下，顶点为最高点，
到达最高点的时间为对称轴对应的$t$值：$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-5)}=1\ \mathrm{s}$，
将$t=1$代入函数得最高点高度：$h=-5×1^2 +10×1=5\ \mathrm{m}$。
(3) 令$h=3.75$，代入$h=10t-5t^2$得：
$3.75=10t-5t^2$，
整理得$4t^2-8t+3=0$，
因式分解得$(2t-1)(2t-3)=0$，
解得$t_1=0.5\ \mathrm{s}$，$t_2=1.5\ \mathrm{s}$。
因为是下落至$3.75\ \mathrm{m}$处遇夹板，所以取$t=1.5\ \mathrm{s}$（$t=0.5\ \mathrm{s}$是上升阶段到达$3.75\ \mathrm{m}$的时间，舍去）。
球遇到夹板时的速度大小等于上升到$3.75\ \mathrm{m}$时的速度大小，因此再次竖直上抛的运动与前一段上抛运动规律对称：弹起后经过$0.5\ \mathrm{s}$到达最高点，再经过$1\ \mathrm{s}$落回地面，即弹起后到落地共经过$0.5+1=1.5\ \mathrm{s}$。
总时间为$1.5+1.5=3\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{h=10t-5t^2}$
(2) 球从弹起到最高点需要1秒，最高点的高度为5米
(3) 球从最初弹起到落回地面的时间为3秒
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的顶点性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合竖直上抛的运动场景考查二次函数的实际应用，解题时要能将物理运动问题转化为二次函数的相关问题，利用二次函数的图象性质、一元二次方程的解法求解，同时要注意结合实际情境对方程的解进行取舍，合理运用运动对称性可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
