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1. 当$x=$
2
时，函数$y=\sqrt{(x-2)^2 +4}$有最小
值，是2
。答案
1. 2;小;2
解析
【分析】
要解这道题，首先观察函数结构：函数是算术平方根的形式，被开方数为$(x-2)^2+4$，可以结合平方的非负性或者二次函数的最值性质分析。首先我们知道任意实数的平方都是非负数，因此$(x-2)^2$的最小值为0，仅当$x=2$时取到最小值；又因为算术平方根的数值随被开方数的增大而增大，所以被开方数最小时，整个函数的值最小，代入计算即可得到对应的最值。
【解析】
解：
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-2)^2 ≥ 0$（平方的非负性）
∴ $(x-2)^2 + 4 ≥ 0 + 4 = 4$，即被开方数的最小值为4，当且仅当$x-2=0$即$x=2$时，等号成立。
又
∵ 算术平方根$\sqrt{a}$中，被开方数$a$越大，$\sqrt{a}$的数值越大，
∴ 当被开方数取最小值4时，$y=\sqrt{(x-2)^2 +4}$取得最小值，最小值为$\sqrt{4}=2$。
【答案】
2；小；2
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 二次根式的性质
3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于基础最值求解题型，解题核心是抓住平方的非负性或二次函数的最值性质，结合二次根式的变化规律分析，掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
要解这道题，首先观察函数结构：函数是算术平方根的形式，被开方数为$(x-2)^2+4$，可以结合平方的非负性或者二次函数的最值性质分析。首先我们知道任意实数的平方都是非负数，因此$(x-2)^2$的最小值为0，仅当$x=2$时取到最小值；又因为算术平方根的数值随被开方数的增大而增大，所以被开方数最小时，整个函数的值最小，代入计算即可得到对应的最值。
【解析】
解：
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-2)^2 ≥ 0$（平方的非负性）
∴ $(x-2)^2 + 4 ≥ 0 + 4 = 4$，即被开方数的最小值为4，当且仅当$x-2=0$即$x=2$时，等号成立。
又
∵ 算术平方根$\sqrt{a}$中，被开方数$a$越大，$\sqrt{a}$的数值越大，
∴ 当被开方数取最小值4时，$y=\sqrt{(x-2)^2 +4}$取得最小值，最小值为$\sqrt{4}=2$。
【答案】
2；小；2
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 二次根式的性质
3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于基础最值求解题型，解题核心是抓住平方的非负性或二次函数的最值性质，结合二次根式的变化规律分析，掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.85
2. 已知$y=2x-1$，且$0≤ x≤ \dfrac{1}{2}$。令$S=xy$，则：
（1）当$x=$
（2）函数$S$的取值范围是
（1）当$x=$
$\dfrac{1}{4}$
时，函数$S$有最小值，等于$-\dfrac{1}{8}$
。（2）函数$S$的取值范围是
$-\dfrac{1}{8}≤ S≤ 0$
。答案
2. （1）$\frac{1}{4}$；$-\frac{1}{8}$ （2）$-\frac{1}{8}≤ S≤ 0$
解析
【分析】
首先我们需要将已知的y与x的关系式代入S=xy中，把S转化为关于x的二次函数，再通过配方得到二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向、对称轴以及给定的x的取值范围，就能找到S的最值和取值范围。具体思路：第一步代入消元得到S关于x的二次函数；第二步配方确定对称轴和开口方向；第三步判断对称轴是否在给定区间内，确定最小值的位置；第四步计算区间两端点的函数值得到最大值，进而得到S的取值范围。
【解析】
已知$ y=2x-1 $，代入$ S=xy $可得：
$ S = x(2x-1) = 2x^2 - x $
对二次函数进行配方：
$ S = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) = 2[(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}] = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} $
（1）二次项系数$ 2＞0 $，因此函数开口向上，对称轴为$ x=\frac{1}{4} $，且$ \frac{1}{4} $在$ 0≤x≤\frac{1}{2} $范围内，因此当$ x=\frac{1}{4} $时，S取得最小值，最小值为$ -\frac{1}{8} $。
（2）计算区间端点的S值：
当$ x=0 $时，$ S=0×(2×0 -1)=0 $；
当$ x=\frac{1}{2} $时，$ S=\frac{1}{2}×(2×\frac{1}{2} -1)=0 $。
结合最小值为$ -\frac{1}{8} $，可得S的取值范围是$ -\frac{1}{8} ≤ S ≤ 0 $。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；$-\frac{1}{8}$ （2）$-\frac{1}{8}≤ S≤ 0$
【知识点】
二次函数配方；二次函数区间最值；二次函数取值范围
【点评】
本题主要考查二次函数在闭区间上的最值与取值范围求解，解题的核心是先通过代入消元得到目标二次函数，再结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值点，最后结合端点值确定完整的取值范围，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先我们需要将已知的y与x的关系式代入S=xy中，把S转化为关于x的二次函数，再通过配方得到二次函数的顶点式，结合二次函数的开口方向、对称轴以及给定的x的取值范围，就能找到S的最值和取值范围。具体思路：第一步代入消元得到S关于x的二次函数；第二步配方确定对称轴和开口方向；第三步判断对称轴是否在给定区间内，确定最小值的位置；第四步计算区间两端点的函数值得到最大值，进而得到S的取值范围。
【解析】
已知$ y=2x-1 $，代入$ S=xy $可得：
$ S = x(2x-1) = 2x^2 - x $
对二次函数进行配方：
$ S = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) = 2[(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}] = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} $
（1）二次项系数$ 2＞0 $，因此函数开口向上，对称轴为$ x=\frac{1}{4} $，且$ \frac{1}{4} $在$ 0≤x≤\frac{1}{2} $范围内，因此当$ x=\frac{1}{4} $时，S取得最小值，最小值为$ -\frac{1}{8} $。
（2）计算区间端点的S值：
当$ x=0 $时，$ S=0×(2×0 -1)=0 $；
当$ x=\frac{1}{2} $时，$ S=\frac{1}{2}×(2×\frac{1}{2} -1)=0 $。
结合最小值为$ -\frac{1}{8} $，可得S的取值范围是$ -\frac{1}{8} ≤ S ≤ 0 $。
【答案】
（1）$\frac{1}{4}$；$-\frac{1}{8}$ （2）$-\frac{1}{8}≤ S≤ 0$
【知识点】
二次函数配方；二次函数区间最值；二次函数取值范围
【点评】
本题主要考查二次函数在闭区间上的最值与取值范围求解，解题的核心是先通过代入消元得到目标二次函数，再结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值点，最后结合端点值确定完整的取值范围，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 某种商品每件的进价为30元。经调查表明:在某段时间内,这种商品若以每件x元(30＜x＜40,且x为整数)的价格出售,可卖出(42−x)件。要使利润最大,每件的售价应为
36
元。答案
3. 36
解析
【分析】
要解决这个利润最大的问题，首先需明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。首先根据已知条件表示出单件利润和销售数量，进而列出总利润关于售价x的二次函数表达式；再结合二次函数的性质，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，计算顶点横坐标后，验证其是否在给定的x取值范围（30＜x＜40，且x为整数）内，即可得到符合要求的售价。
【解析】
设该商品的总利润为y元。
由题意得，每件商品的利润为$(x-30)$元，销售量为$(42-x)$件，因此总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(42-x)\\&=-x^2+72x-1260\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值。
代入$a=-1$，$b=72$得：
$x=-\frac{72}{2×(-1)}=36$
验证得$30＜36＜40$，且36是整数，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的典型应用，解题的关键是正确建立利润与售价之间的函数关系，再结合二次函数的性质求解，解题时要注意自变量的取值限制，避免忽略整数要求导致错误。
【难度系数】
0.75
要解决这个利润最大的问题，首先需明确销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量。首先根据已知条件表示出单件利润和销售数量，进而列出总利润关于售价x的二次函数表达式；再结合二次函数的性质，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，计算顶点横坐标后，验证其是否在给定的x取值范围（30＜x＜40，且x为整数）内，即可得到符合要求的售价。
【解析】
设该商品的总利润为y元。
由题意得，每件商品的利润为$(x-30)$元，销售量为$(42-x)$件，因此总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(42-x)\\&=-x^2+72x-1260\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值。
代入$a=-1$，$b=72$得：
$x=-\frac{72}{2×(-1)}=36$
验证得$30＜36＜40$，且36是整数，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的典型应用，解题的关键是正确建立利润与售价之间的函数关系，再结合二次函数的性质求解，解题时要注意自变量的取值限制，避免忽略整数要求导致错误。
【难度系数】
0.75
4. 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦因数。有研究表明:晴天在某段公路上行驶时,汽车的刹车距离$s$(m)与汽车行驶的速度$v$(km/h)存在关系式$s=0.01v^2$;雨天行驶时,这个关系式为$s=0.02v^2$。
(1) 如果汽车行驶的速度是70 km/h,那么雨天行驶和晴天行驶相比,刹车距离相差多少米?
(2) 雨天在这段公路行驶,当汽车行驶的速度是60 km/h和80 km/h时,刹车距离相差多少米?
(1) 如果汽车行驶的速度是70 km/h,那么雨天行驶和晴天行驶相比,刹车距离相差多少米?
(2) 雨天在这段公路行驶,当汽车行驶的速度是60 km/h和80 km/h时,刹车距离相差多少米?
答案
4. （1）$s_{晴}=49\ \mathrm{m},s_{雨}=98\ \mathrm{m},相差49\ \mathrm{m}$。（2）$s_{60}=72\ \mathrm{m},s_{80}=128\ \mathrm{m},相差56\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用类题目，解题核心是利用给出的刹车距离与行驶速度的函数关系式，已知自变量速度v求函数值刹车距离s时，直接将v的取值代入对应关系式计算即可，求差值时将两个计算结果作差即可。第(1)问需分别将v=70代入晴天、雨天的刹车距离公式，算出两个刹车距离后求差；第(2)问需分别将v=60、v=80代入雨天的刹车距离公式，算出结果后求差。
【解析】
(1) 当行驶速度$v=70\ \mathrm{km/h}$时：
晴天刹车距离：$s_{晴}=0.01v^2=0.01×70^2=0.01×4900=49\ \mathrm{m}$
雨天刹车距离：$s_{雨}=0.02v^2=0.02×70^2=0.02×4900=98\ \mathrm{m}$
二者差值为$98-49=49\ \mathrm{m}$。
(2) 雨天行驶时：
当$v=60\ \mathrm{km/h}$时，刹车距离$s_{60}=0.02×60^2=0.02×3600=72\ \mathrm{m}$
当$v=80\ \mathrm{km/h}$时，刹车距离$s_{80}=0.02×80^2=0.02×6400=128\ \mathrm{m}$
二者差值为$128-72=56\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $s_{晴}=49\ \mathrm{m},s_{雨}=98\ \mathrm{m},相差49\ \mathrm{m}$
(2) $s_{60}=72\ \mathrm{m},s_{80}=128\ \mathrm{m},相差56\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用、代数式求值
【点评】
本题结合行车刹车的生活场景考查函数的基础应用，解题逻辑清晰，只需准确代入数值按运算顺序计算即可，解题时需注意区分不同场景下的函数关系式，避免代入出错。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数的实际应用类题目，解题核心是利用给出的刹车距离与行驶速度的函数关系式，已知自变量速度v求函数值刹车距离s时，直接将v的取值代入对应关系式计算即可，求差值时将两个计算结果作差即可。第(1)问需分别将v=70代入晴天、雨天的刹车距离公式，算出两个刹车距离后求差；第(2)问需分别将v=60、v=80代入雨天的刹车距离公式，算出结果后求差。
【解析】
(1) 当行驶速度$v=70\ \mathrm{km/h}$时：
晴天刹车距离：$s_{晴}=0.01v^2=0.01×70^2=0.01×4900=49\ \mathrm{m}$
雨天刹车距离：$s_{雨}=0.02v^2=0.02×70^2=0.02×4900=98\ \mathrm{m}$
二者差值为$98-49=49\ \mathrm{m}$。
(2) 雨天行驶时：
当$v=60\ \mathrm{km/h}$时，刹车距离$s_{60}=0.02×60^2=0.02×3600=72\ \mathrm{m}$
当$v=80\ \mathrm{km/h}$时，刹车距离$s_{80}=0.02×80^2=0.02×6400=128\ \mathrm{m}$
二者差值为$128-72=56\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $s_{晴}=49\ \mathrm{m},s_{雨}=98\ \mathrm{m},相差49\ \mathrm{m}$
(2) $s_{60}=72\ \mathrm{m},s_{80}=128\ \mathrm{m},相差56\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用、代数式求值
【点评】
本题结合行车刹车的生活场景考查函数的基础应用，解题逻辑清晰，只需准确代入数值按运算顺序计算即可，解题时需注意区分不同场景下的函数关系式，避免代入出错。
【难度系数】
0.8
