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5. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元。为了扩大销售、增加盈利、减少库存，书店决定降价销售。已知一套书每降价1元，平均每天可多售出2套。设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元。
（1）求y关于x的函数表达式。
（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少？
（1）求y关于x的函数表达式。
（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？
（3）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少？
答案
5. （1）$y=(40-x)(20+2x)=-2x^2+60x+800$。
（2）解方程$-2x^2+60x+800=1\ 200$,得$x=10$或$x=20$。考虑到要减少库存的因素,所以以降价20元。
（3）每套书降价15元时,可获最大利润,最大利润为1 250元。
（2）解方程$-2x^2+60x+800=1\ 200$,得$x=10$或$x=20$。考虑到要减少库存的因素,所以以降价20元。
（3）每套书降价15元时,可获最大利润,最大利润为1 250元。
解析
【分析】
（1）解题核心依据销售问题的基本等量关系：总利润=每套利润×销售数量。每套降价x元后，单套利润为原盈利40元减去降价金额x，即(40-x)元；销量在原有20套的基础上，每降价1元多售2套，因此降价x元后总销量为(20+2x)套，两者相乘即可得到函数表达式，再化简即可。
（2）要求每天盈利1200元，即令函数值y=1200，得到关于x的一元二次方程，解方程得到两个解后，结合“减少库存”的要求，需选择销量更大的方案（即降价幅度更大的解）即可。
（3）求最大利润属于二次函数最值问题，由于所得二次函数二次项系数为负，图象开口向下，顶点处取最大值，可通过配方法或顶点坐标公式求出对应降价金额和最大利润。
【解析】
（1）由题意得，降价x元后每套利润为(40-x)元，日销售量为(20+2x)套，因此总利润：
$y=(40-x)(20+2x)$
展开化简得：$y=-2x^2+60x+800$
（2）令$y=1200$，列方程得：
$-2x^2+60x+800=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$
因要减少库存，需尽可能提高销量，降价越多销量越高，故选择$x=20$。
（3）对于二次函数$y=-2x^2+60x+800$，$a=-2＜0$，图象开口向下，存在最大值。
用顶点公式计算：顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-2)}=15$，
将$x=15$代入函数得：$y=-2×15^2+60×15+800=1250$。
即当$x=15$时，利润最大为1250元。
【答案】
（1）$y=-2x^2+60x+800$
（2）需降价20元
（3）每套书降价15元时可获最大利润，最大利润为1250元
【知识点】
二次函数的应用、一元二次方程的解法、二次函数的最值
【点评】
本题是销售利润类的典型应用题，综合考查了函数表达式列写、方程求解和二次函数最值的知识，解题关键是找准等量关系，同时要注意“减少库存”这类实际限制条件对解的取舍，提升结合实际分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）解题核心依据销售问题的基本等量关系：总利润=每套利润×销售数量。每套降价x元后，单套利润为原盈利40元减去降价金额x，即(40-x)元；销量在原有20套的基础上，每降价1元多售2套，因此降价x元后总销量为(20+2x)套，两者相乘即可得到函数表达式，再化简即可。
（2）要求每天盈利1200元，即令函数值y=1200，得到关于x的一元二次方程，解方程得到两个解后，结合“减少库存”的要求，需选择销量更大的方案（即降价幅度更大的解）即可。
（3）求最大利润属于二次函数最值问题，由于所得二次函数二次项系数为负，图象开口向下，顶点处取最大值，可通过配方法或顶点坐标公式求出对应降价金额和最大利润。
【解析】
（1）由题意得，降价x元后每套利润为(40-x)元，日销售量为(20+2x)套，因此总利润：
$y=(40-x)(20+2x)$
展开化简得：$y=-2x^2+60x+800$
（2）令$y=1200$，列方程得：
$-2x^2+60x+800=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$
因要减少库存，需尽可能提高销量，降价越多销量越高，故选择$x=20$。
（3）对于二次函数$y=-2x^2+60x+800$，$a=-2＜0$，图象开口向下，存在最大值。
用顶点公式计算：顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-2)}=15$，
将$x=15$代入函数得：$y=-2×15^2+60×15+800=1250$。
即当$x=15$时，利润最大为1250元。
【答案】
（1）$y=-2x^2+60x+800$
（2）需降价20元
（3）每套书降价15元时可获最大利润，最大利润为1250元
【知识点】
二次函数的应用、一元二次方程的解法、二次函数的最值
【点评】
本题是销售利润类的典型应用题，综合考查了函数表达式列写、方程求解和二次函数最值的知识，解题关键是找准等量关系，同时要注意“减少库存”这类实际限制条件对解的取舍，提升结合实际分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
6. (多选题)小明借助器械将小球以一定角度抛出，小球飞行路线是一条抛物线的一部分。小球距离地面的高度$h$(单位:m)与小球被抛出后经过的时间$t$(单位:s)之间的关系如下表(部分数据)：
下列结论错误的是(
A.小球距离地面的最大高度为24 m
B.小球飞行路线的对称轴是直线$t=4$
C.小球被抛出10 s时落地
D.小球距离地面的高度为21 m时，恰好小球被抛出3 s
下列结论错误的是(
ABD
)。A.小球距离地面的最大高度为24 m
B.小球飞行路线的对称轴是直线$t=4$
C.小球被抛出10 s时落地
D.小球距离地面的高度为21 m时，恰好小球被抛出3 s
答案
6. ABD。提示:因为二次函数的图象经过原点,设该抛物线的表达式为$h=at^2+bt$,代入表中的二对数据,解得$\begin{cases} a=-1,\\ b=10, \end{cases}$所以$h=-t^2+10t=-(t-5)^2+25$。
当$t=5$时,$h$取得最大值,此时$h=25$,故A错误。
该抛物线的对称轴是直线$t=5$,故B错误。
当$h=0$时,得$t=0$或$t=10$,故C正确。
当$h=21$时,$t=3$或7,故D错误。
当$t=5$时,$h$取得最大值,此时$h=25$,故A错误。
该抛物线的对称轴是直线$t=5$,故B错误。
当$h=0$时,得$t=0$或$t=10$,故C正确。
当$h=21$时,$t=3$或7,故D错误。
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据小球运动轨迹是抛物线，且t=0时h=0，可设二次函数解析式为$h=at^2+bt$；再代入表格中两组已知的t、h值，求解得到a、b的值，确定函数解析式；最后利用二次函数的性质，分别判断四个选项的正误，选出所有错误的结论即可。
【解析】
解：设高度$h$与时间$t$的二次函数解析式为$h=at^2+bt(a≠0)$，
将$t=1,h=9$和$t=2,h=16$代入解析式，得：
$\begin{cases}a+b=9\\4a+2b=16\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=10\end{cases}$
因此函数解析式为$h=-t^2+10t$，配方得$h=-(t-5)^2+25$。
逐一判断选项：
选项A：由配方结果可知，当$t=5$时，$h$取得最大值25m，不是24m，故A结论错误；
选项B：二次函数的对称轴为直线$t=5$，不是直线$t=4$，故B结论错误；
选项C：小球落地时$h=0$，令$-t^2+10t=0$，解得$t=0$（抛出时刻）或$t=10$，即小球被抛出10s时落地，故C结论正确；
选项D：令$h=21$，得$-t^2+10t=21$，整理为$t^2-10t+21=0$，解得$t=3$或$t=7$，即高度为21m时，对应抛出3s或7s，故D结论错误。
题目要求选择错误的结论，因此选ABD。
【答案】
ABD
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；解一元二次方程
【点评】
本题将抛球运动与二次函数结合，解题核心是先用待定系数法求出函数解析式，再结合二次函数的最值、对称轴、解方程等知识分析选项，要注意二次函数中除最值外，一个函数值通常对应两个自变量的值，避免漏解导致判断错误。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据小球运动轨迹是抛物线，且t=0时h=0，可设二次函数解析式为$h=at^2+bt$；再代入表格中两组已知的t、h值，求解得到a、b的值，确定函数解析式；最后利用二次函数的性质，分别判断四个选项的正误，选出所有错误的结论即可。
【解析】
解：设高度$h$与时间$t$的二次函数解析式为$h=at^2+bt(a≠0)$，
将$t=1,h=9$和$t=2,h=16$代入解析式，得：
$\begin{cases}a+b=9\\4a+2b=16\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=10\end{cases}$
因此函数解析式为$h=-t^2+10t$，配方得$h=-(t-5)^2+25$。
逐一判断选项：
选项A：由配方结果可知，当$t=5$时，$h$取得最大值25m，不是24m，故A结论错误；
选项B：二次函数的对称轴为直线$t=5$，不是直线$t=4$，故B结论错误；
选项C：小球落地时$h=0$，令$-t^2+10t=0$，解得$t=0$（抛出时刻）或$t=10$，即小球被抛出10s时落地，故C结论正确；
选项D：令$h=21$，得$-t^2+10t=21$，整理为$t^2-10t+21=0$，解得$t=3$或$t=7$，即高度为21m时，对应抛出3s或7s，故D结论错误。
题目要求选择错误的结论，因此选ABD。
【答案】
ABD
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；解一元二次方程
【点评】
本题将抛球运动与二次函数结合，解题核心是先用待定系数法求出函数解析式，再结合二次函数的最值、对称轴、解方程等知识分析选项，要注意二次函数中除最值外，一个函数值通常对应两个自变量的值，避免漏解导致判断错误。
【难度系数】
0.6
7. 如图，AC⊥CD，甲，乙两人分别从相距25 km的A，C两地同时出发，各沿箭头所指方向前进。已知甲的速度是4 km/h，乙的速度是3 km/h，且当甲到过C地时两人停止运动。问：出发多少时间后两人相距最近？最近距离为多少千米？
答案
7. 设两人出发$x$(h)后相距$y$(km),得
$y=\sqrt{(25-4x)^2+(3x)^2}=\sqrt{25(x-4)^2+225}$,
所以当$x=4$(h)时,两人相距最近,最近距离为15 km。
$y=\sqrt{(25-4x)^2+(3x)^2}=\sqrt{25(x-4)^2+225}$,
所以当$x=4$(h)时,两人相距最近,最近距离为15 km。
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，AC垂直CD，两人运动x小时后，甲到点C的距离、乙到点C的距离与两人的距离恰好构成直角三角形的三边。首先设运动时间为x小时，用含x的代数式分别表示出甲、乙到点C的距离，再结合勾股定理写出两人距离的函数表达式，最后对表达式内的二次函数配方求最值即可，同时需注意x的取值范围要满足甲未到达C地的限制。
【解析】
设出发$x$小时后两人相距$y$km，根据题意：
甲沿$A\to C$方向以4km/h的速度运动，$x$小时后行驶了$4x$km，因此甲到C点的距离为$(25-4x)$km，且$0≤ x≤ \frac{25}{4}$（甲到达C地后运动停止）；
乙沿$C\to D$方向以3km/h的速度运动，$x$小时后行驶了$3x$km，因此乙到C点的距离为$3x$km。
$\because AC⊥ CD$，根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}y&=\sqrt{(25-4x)^2+(3x)^2}\\&=\sqrt{625-200x+16x^2+9x^2}\\&=\sqrt{25x^2-200x+625}\\&=\sqrt{25(x^2-8x)+625}\\&=\sqrt{25(x-4)^2+225}\end{aligned}$
$\because 25＞0$，根号内的二次函数开口向上，当$x=4$时，根号内的代数式取得最小值225，且$x=4$在$0≤ x≤ \frac{25}{4}$的取值范围内，此时$y_{\mathrm{最小}}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
出发4小时后两人相距最近，最近距离为15 km。
【知识点】
勾股定理；二次函数最值；二次函数实际应用
【点评】
本题是几何与二次函数结合的实际应用题，解题核心是结合勾股定理正确建立距离与运动时间的函数关系，再通过配方求二次函数的最值，求解过程中要注意验证自变量的取值是否符合实际运动的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，AC垂直CD，两人运动x小时后，甲到点C的距离、乙到点C的距离与两人的距离恰好构成直角三角形的三边。首先设运动时间为x小时，用含x的代数式分别表示出甲、乙到点C的距离，再结合勾股定理写出两人距离的函数表达式，最后对表达式内的二次函数配方求最值即可，同时需注意x的取值范围要满足甲未到达C地的限制。
【解析】
设出发$x$小时后两人相距$y$km，根据题意：
甲沿$A\to C$方向以4km/h的速度运动，$x$小时后行驶了$4x$km，因此甲到C点的距离为$(25-4x)$km，且$0≤ x≤ \frac{25}{4}$（甲到达C地后运动停止）；
乙沿$C\to D$方向以3km/h的速度运动，$x$小时后行驶了$3x$km，因此乙到C点的距离为$3x$km。
$\because AC⊥ CD$，根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}y&=\sqrt{(25-4x)^2+(3x)^2}\\&=\sqrt{625-200x+16x^2+9x^2}\\&=\sqrt{25x^2-200x+625}\\&=\sqrt{25(x^2-8x)+625}\\&=\sqrt{25(x-4)^2+225}\end{aligned}$
$\because 25＞0$，根号内的二次函数开口向上，当$x=4$时，根号内的代数式取得最小值225，且$x=4$在$0≤ x≤ \frac{25}{4}$的取值范围内，此时$y_{\mathrm{最小}}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
出发4小时后两人相距最近，最近距离为15 km。
【知识点】
勾股定理；二次函数最值；二次函数实际应用
【点评】
本题是几何与二次函数结合的实际应用题，解题核心是结合勾股定理正确建立距离与运动时间的函数关系，再通过配方求二次函数的最值，求解过程中要注意验证自变量的取值是否符合实际运动的限制条件。
【难度系数】
0.7
