登录
8. 某超市以20元/千克的价格购进一批绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克。由销售经验知，这种食品每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(x≥30)存在如图所示的一次函数关系。
(1) 试写出y关于x的函数表达式。
(2) 设超市销售该绿色食品每天获得利润p元，问：当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
(1) 试写出y关于x的函数表达式。
(2) 设超市销售该绿色食品每天获得利润p元，问：当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
答案
8. （1）$y=-20x+1\ 000(30≤ x≤50)$。
（2）$p=(x-20)y=(x-20)(-20x+1\ 000)=-20x^2+1\ 400x-20\ 000$。
当$x=35$元时,每天可获得最大利润,最大利润是4 500元。
（2）$p=(x-20)y=(x-20)(-20x+1\ 000)=-20x^2+1\ 400x-20\ 000$。
当$x=35$元时,每天可获得最大利润,最大利润是4 500元。
解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式可采用待定系数法：从图像中提取两组对应值，即x=30时y=400，x=40时y=200，代入一次函数通式$y=kx+b$，解方程组得到k和b的值，再结合销售量$y≥0$确定x的取值范围即可。
(2) 按照“总利润=每千克利润×销售量”的数量关系，每千克利润为$(x-20)$元，销售量为第一问求出的y，代入即可得到p关于x的二次函数表达式，因为二次项系数小于0，函数图像开口向下，顶点处可取得最大值，利用顶点坐标公式求出对应x和最大p值即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图像可知函数过点$(30,400)$和$(40,200)$，代入得：
$\begin{cases}30k+b=400\\40k+b=200\end{cases}$
两式相减得$10k=-200$，解得$k=-20$，
将$k=-20$代入$30k+b=400$，解得$b=1000$，
结合$y≥0$得$-20x+1000≥0$，即$x≤50$，又题目给出$x≥30$，
因此y关于x的函数表达式为$y=-20x+1000(30≤x≤50)$。
(2) 由题意得总利润$p=(x-20)y$，
将$y=-20x+1000$代入得：
$p=(x-20)(-20x+1000)=-20x^2+1400x-20000$，
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1400}{2×(-20)}=35$，35在取值范围内，
将$x=35$代入得$p=-20×35^2+1400×35-20000=4500$（元）。
【答案】
(1) $y=-20x+1000(30≤ x≤50)$
(2) 当销售单价为35元时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是函数在实际销售场景的典型应用，核心是先通过图像信息求出一次函数解析式，再结合利润公式构建二次函数模型，最后利用二次函数性质求最值，解题时需注意自变量的取值范围，避免结果不符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数表达式可采用待定系数法：从图像中提取两组对应值，即x=30时y=400，x=40时y=200，代入一次函数通式$y=kx+b$，解方程组得到k和b的值，再结合销售量$y≥0$确定x的取值范围即可。
(2) 按照“总利润=每千克利润×销售量”的数量关系，每千克利润为$(x-20)$元，销售量为第一问求出的y，代入即可得到p关于x的二次函数表达式，因为二次项系数小于0，函数图像开口向下，顶点处可取得最大值，利用顶点坐标公式求出对应x和最大p值即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图像可知函数过点$(30,400)$和$(40,200)$，代入得：
$\begin{cases}30k+b=400\\40k+b=200\end{cases}$
两式相减得$10k=-200$，解得$k=-20$，
将$k=-20$代入$30k+b=400$，解得$b=1000$，
结合$y≥0$得$-20x+1000≥0$，即$x≤50$，又题目给出$x≥30$，
因此y关于x的函数表达式为$y=-20x+1000(30≤x≤50)$。
(2) 由题意得总利润$p=(x-20)y$，
将$y=-20x+1000$代入得：
$p=(x-20)(-20x+1000)=-20x^2+1400x-20000$，
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1400}{2×(-20)}=35$，35在取值范围内，
将$x=35$代入得$p=-20×35^2+1400×35-20000=4500$（元）。
【答案】
(1) $y=-20x+1000(30≤ x≤50)$
(2) 当销售单价为35元时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是函数在实际销售场景的典型应用，核心是先通过图像信息求出一次函数解析式，再结合利润公式构建二次函数模型，最后利用二次函数性质求最值，解题时需注意自变量的取值范围，避免结果不符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9. 某单位为测试某种无人机降落的安全性能，进行了针对性的测试。该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离$y$(单位:m)与滑行时间$x$(单位:s)之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示。
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式。
(2) 求该无人机在跑道上滑行的最远距离。
(3) 若该无人机在跑道上开始滑行时，同一跑道正前方$d$米处，有另外一架无人机以$20\ \mathrm{m/s}$的速度匀速滑行，且两架无人机的滑行方向相同。若要使两架无人机不相撞，请通过计算说明$d$的取值范围。
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式。
(2) 求该无人机在跑道上滑行的最远距离。
(3) 若该无人机在跑道上开始滑行时，同一跑道正前方$d$米处，有另外一架无人机以$20\ \mathrm{m/s}$的速度匀速滑行，且两架无人机的滑行方向相同。若要使两架无人机不相撞，请通过计算说明$d$的取值范围。
答案
9. （1）设抛物线的函数表达式为$y=ax^2+bx(a≠0)$,由图象可知抛物线过点$(10,600),(15,750)$,代入,解得$\begin{cases} a=-2,\\ b=80, \end{cases}$
所以$y$关于$x$的函数表达式为$y=-2x^2+80x$。
（2）$y=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$。
所以当$x=20$时,$y$取得最大值800,即该无人机在跑道上滑行20 s,滑行的最远距离为800 m。
（3）当后方无人机还没超越前方无人机时,设两机之间的距离为$S$,则有$S=d+20x-(-2x^2+80x)$,可得$S=2x^2-60x+d=2(x-15)^2+d-450$。当$x=15$时,$S$有最小值$(d-450)$。当$S$的最小值大于0时,两架无人机不会撞,即$d＞450$时,两无人机不会相撞。
所以$y$关于$x$的函数表达式为$y=-2x^2+80x$。
（2）$y=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$。
所以当$x=20$时,$y$取得最大值800,即该无人机在跑道上滑行20 s,滑行的最远距离为800 m。
（3）当后方无人机还没超越前方无人机时,设两机之间的距离为$S$,则有$S=d+20x-(-2x^2+80x)$,可得$S=2x^2-60x+d=2(x-15)^2+d-450$。当$x=15$时,$S$有最小值$(d-450)$。当$S$的最小值大于0时,两架无人机不会撞,即$d＞450$时,两无人机不会相撞。
解析
【分析】
(1) 观察图象可知无人机从原点开始滑行，因此二次函数常数项为0，可设解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$，再将图象给出的两个点$(10,600)$、$(15,750)$代入解析式，得到二元一次方程组，求解即可确定函数表达式。
(2) 滑行最远距离就是二次函数的最大值，将第一问得到的解析式配方为顶点式，结合二次函数开口方向即可求出y的最大值。
(3) 两架无人机不相撞的条件是任意时刻两机距离大于0，据此列出两机距离的函数表达式，整理为二次函数形式后求出最小值，令最小值大于0即可得到d的取值范围。
【解析】
(1) 由题意设$y$关于$x$的函数表达式为$y=ax^2+bx(a≠0)$，
将点$(10,600)$、$(15,750)$代入得：
$\begin{cases}100a+10b=600\\225a+15b=750\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases} a=-2\\b=80 \end{cases}$
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=-2x^2+80x$。
(2) 将函数配方得：
$y=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$
$\because a=-2＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=20$时，$y$取最大值800，即无人机滑行的最远距离为800m。
(3) 设两机距离为$S$，由题意得：
$S=d+20x-(-2x^2+80x)$
整理得$S=2x^2-60x+d=2(x-15)^2+d-450$
$\because 2＞0$，函数开口向上，
$\therefore x=15$时$S$取最小值$d-450$，
要使两机不相撞，则$d-450＞0$，解得$d＞450$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x^2+80x}$
(2) $\boldsymbol{800\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{d＞450}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值计算，二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是将实际问题转化为二次函数数学模型，前两问侧重基础运算，第三问需要准确理解不相撞的条件建立函数关系，能有效考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 观察图象可知无人机从原点开始滑行，因此二次函数常数项为0，可设解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$，再将图象给出的两个点$(10,600)$、$(15,750)$代入解析式，得到二元一次方程组，求解即可确定函数表达式。
(2) 滑行最远距离就是二次函数的最大值，将第一问得到的解析式配方为顶点式，结合二次函数开口方向即可求出y的最大值。
(3) 两架无人机不相撞的条件是任意时刻两机距离大于0，据此列出两机距离的函数表达式，整理为二次函数形式后求出最小值，令最小值大于0即可得到d的取值范围。
【解析】
(1) 由题意设$y$关于$x$的函数表达式为$y=ax^2+bx(a≠0)$，
将点$(10,600)$、$(15,750)$代入得：
$\begin{cases}100a+10b=600\\225a+15b=750\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases} a=-2\\b=80 \end{cases}$
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=-2x^2+80x$。
(2) 将函数配方得：
$y=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$
$\because a=-2＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=20$时，$y$取最大值800，即无人机滑行的最远距离为800m。
(3) 设两机距离为$S$，由题意得：
$S=d+20x-(-2x^2+80x)$
整理得$S=2x^2-60x+d=2(x-15)^2+d-450$
$\because 2＞0$，函数开口向上，
$\therefore x=15$时$S$取最小值$d-450$，
要使两机不相撞，则$d-450＞0$，解得$d＞450$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x^2+80x}$
(2) $\boldsymbol{800\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{d＞450}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值计算，二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是将实际问题转化为二次函数数学模型，前两问侧重基础运算，第三问需要准确理解不相撞的条件建立函数关系，能有效考查学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
