登录
1. 对一个二次函数，两位同学分别说了它的一个特点：
小明:对称轴是直线$x=1$；
小亮:与$y$轴的交点坐标是$(0,2)$。
请你写出一个符合条件的函数表达式：$\underline{\hspace{8cm}}$。
小明:对称轴是直线$x=1$；
小亮:与$y$轴的交点坐标是$(0,2)$。
请你写出一个符合条件的函数表达式：$\underline{\hspace{8cm}}$。
答案
答案不唯一,如$y=x^2-2x+2$
解析
【分析】
要写出符合条件的二次函数表达式，可利用待定系数法求解：① 已知二次函数对称轴，可结合对称轴性质选择顶点式或一般式设解析式；② 结合与y轴交点的坐标，代入解析式确定系数间的关系；③ 给二次项系数取任意不为0的数值，即可得到满足条件的函数表达式，答案不唯一。
【解析】
设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
1. 由函数与$y$轴的交点为$(0,2)$，将$x=0$、$y=2$代入解析式，可得$c=2$；
2. 由对称轴为直线$x=1$，根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，推导得$b=-2a$；
3. 取$a=1$（$a$为任意不为0的实数均可），则$b=-2×1=-2$，代入解析式得$y=x^2-2x+2$。
也可设顶点式$y=a(x-1)^2+k$，代入$(0,2)$得$a+k=2$，取$a=1$时$k=1$，展开后可得到同样的表达式。
【答案】
答案不唯一，如$y=x^2-2x+2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴性质；二次函数与坐标轴交点特征
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查二次函数的基本性质与待定系数法的应用，解题时只需满足题干给出的两个条件即可，灵活度较高，能有效检验对二次函数基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要写出符合条件的二次函数表达式，可利用待定系数法求解：① 已知二次函数对称轴，可结合对称轴性质选择顶点式或一般式设解析式；② 结合与y轴交点的坐标，代入解析式确定系数间的关系；③ 给二次项系数取任意不为0的数值，即可得到满足条件的函数表达式，答案不唯一。
【解析】
设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）：
1. 由函数与$y$轴的交点为$(0,2)$，将$x=0$、$y=2$代入解析式，可得$c=2$；
2. 由对称轴为直线$x=1$，根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，推导得$b=-2a$；
3. 取$a=1$（$a$为任意不为0的实数均可），则$b=-2×1=-2$，代入解析式得$y=x^2-2x+2$。
也可设顶点式$y=a(x-1)^2+k$，代入$(0,2)$得$a+k=2$，取$a=1$时$k=1$，展开后可得到同样的表达式。
【答案】
答案不唯一，如$y=x^2-2x+2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴性质；二次函数与坐标轴交点特征
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查二次函数的基本性质与待定系数法的应用，解题时只需满足题干给出的两个条件即可，灵活度较高，能有效检验对二次函数基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数$y=(x-3)(x+2)$的图象的对称轴是(
A.直线$x=3$
B.直线$x=-2$
C.直线$x=-\dfrac{1}{2}$
D.直线$x=\dfrac{1}{2}$
D
)。A.直线$x=3$
B.直线$x=-2$
C.直线$x=-\dfrac{1}{2}$
D.直线$x=\dfrac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
本题要求二次函数图象的对称轴，可通过两种符合学段要求的思路求解：思路一：题中给出的是二次函数交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其与x轴两个交点的横坐标为$x_1$、$x_2$，二次函数的对称轴过两个交点的中点，因此对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，代入数值即可快速计算；思路二：将交点式展开为一般式$y=ax^2+bx+c$，再利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算结果。
【解析】
方法一（利用交点式性质求解）：
对于二次函数$y=(x-3)(x+2)$，令$y=0$，解得两个与x轴交点的横坐标为$x_1=3$，$x_2=-2$。
根据二次函数图象的对称性，对称轴为两个交点横坐标的中点，即：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3+(-2)}{2}=\frac{1}{2}$
因此对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
方法二（展开为一般式求解）：
先将函数展开整理为一般式：
$y=(x-3)(x+2)=x^2 -x -6$
其中$a=1$，$b=-1$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$x=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$
因此对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数交点式、对称轴计算
【点评】
本题属于基础题，两种求解方法均需熟练掌握，利用交点式的中点性质可以简化计算步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.85
本题要求二次函数图象的对称轴，可通过两种符合学段要求的思路求解：思路一：题中给出的是二次函数交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，其与x轴两个交点的横坐标为$x_1$、$x_2$，二次函数的对称轴过两个交点的中点，因此对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，代入数值即可快速计算；思路二：将交点式展开为一般式$y=ax^2+bx+c$，再利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算结果。
【解析】
方法一（利用交点式性质求解）：
对于二次函数$y=(x-3)(x+2)$，令$y=0$，解得两个与x轴交点的横坐标为$x_1=3$，$x_2=-2$。
根据二次函数图象的对称性，对称轴为两个交点横坐标的中点，即：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3+(-2)}{2}=\frac{1}{2}$
因此对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
方法二（展开为一般式求解）：
先将函数展开整理为一般式：
$y=(x-3)(x+2)=x^2 -x -6$
其中$a=1$，$b=-1$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$x=-\frac{-1}{2×1}=\frac{1}{2}$
因此对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数交点式、对称轴计算
【点评】
本题属于基础题，两种求解方法均需熟练掌握，利用交点式的中点性质可以简化计算步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.85
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，下列结论正确的是(
A.$a＞0,b＞0,c＞0$
B.$a＜0,b＜0,c＞0$
C.$a＜0,b＜0,c＜0$
D.$a＞0,b＜0,c＜0$
B
)。A.$a＞0,b＞0,c＞0$
B.$a＜0,b＜0,c＞0$
C.$a＜0,b＜0,c＜0$
D.$a＞0,b＜0,c＜0$
答案
B
解析
【分析】
要判断二次函数$y=ax^2+bx+c$的系数$a、b、c$的符号，可按三步推导：①根据抛物线开口方向判断$a$的符号：开口向下则$a＜0$，开口向上则$a＞0$；②根据抛物线与$y$轴的交点位置判断$c$的符号：交点在$y$轴正半轴则$c＞0$，交点在负半轴则$c＜0$；③根据对称轴位置结合$a$的符号判断$b$的符号，可借助“左同右异”规律：对称轴在$y$轴左侧时$a、b$符号相同，对称轴在$y$轴右侧时$a、b$符号相反。最后结合推导结果匹配选项即可。
【解析】
1. 判断$a$的符号：由图象可知抛物线开口向下，因此$a＜0$；
2. 判断$c$的符号：抛物线与$y$轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此$c＞0$；
3. 判断$b$的符号：抛物线对称轴在$y$轴左侧，根据“左同右异”规律，$a、b$符号相同，已知$a＜0$，因此$b＜0$。
综上，$a＜0，b＜0，c＞0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数对称轴性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查根据函数图象判断系数符号的方法，掌握“开口定a、y轴交点定c、对称轴结合a定b”的判断逻辑，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数$y=ax^2+bx+c$的系数$a、b、c$的符号，可按三步推导：①根据抛物线开口方向判断$a$的符号：开口向下则$a＜0$，开口向上则$a＞0$；②根据抛物线与$y$轴的交点位置判断$c$的符号：交点在$y$轴正半轴则$c＞0$，交点在负半轴则$c＜0$；③根据对称轴位置结合$a$的符号判断$b$的符号，可借助“左同右异”规律：对称轴在$y$轴左侧时$a、b$符号相同，对称轴在$y$轴右侧时$a、b$符号相反。最后结合推导结果匹配选项即可。
【解析】
1. 判断$a$的符号：由图象可知抛物线开口向下，因此$a＜0$；
2. 判断$c$的符号：抛物线与$y$轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此$c＞0$；
3. 判断$b$的符号：抛物线对称轴在$y$轴左侧，根据“左同右异”规律，$a、b$符号相同，已知$a＜0$，因此$b＜0$。
综上，$a＜0，b＜0，c＞0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数对称轴性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查根据函数图象判断系数符号的方法，掌握“开口定a、y轴交点定c、对称轴结合a定b”的判断逻辑，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
4. 求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴。
(1) $y=2x^2 -8x +1$；
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2 +x -\frac{3}{2}$。
(1) $y=2x^2 -8x +1$；
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2 +x -\frac{3}{2}$。
答案
(1) 开口向上,顶点坐标是$(2,-7)$,对称轴是直线$x=2$。
(2) 开口向下,顶点坐标是$(1,-1)$,对称轴是直线$x=1$。
(2) 开口向下,顶点坐标是$(1,-1)$,对称轴是直线$x=1$。
解析
【分析】
要确定二次函数的开口方向、顶点坐标和对称轴，可结合二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质求解：①开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②顶点坐标和对称轴可通过两种方法计算：一是用配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到顶点为$(h,k)$、对称轴为直线$x=h$；二是用顶点公式，先算对称轴$x=-\frac{b}{2a}$，再代入函数求对应$y$值即可得到顶点纵坐标。
【解析】
(1) 对于$y=2x^2 -8x +1$：
$\because$ 二次项系数$a=2＞0$，$\therefore$ 函数图象开口向上；
用配方法化为顶点式：
$y=2x^2-8x+1=2(x^2-4x)+1=2(x^2-4x+4-4)+1=2(x-2)^2-8+1=2(x-2)^2-7$
根据顶点式可得，顶点坐标为$(2,-7)$，对称轴为直线$x=2$。
(2) 对于$y=-\frac{1}{2}x^2 +x -\frac{3}{2}$：
$\because$ 二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 函数图象开口向下；
用配方法化为顶点式：
$y=-\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x^2-2x)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x^2-2x+1-1)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)^2-1$
根据顶点式可得，顶点坐标为$(1,-1)$，对称轴为直线$x=1$。
【答案】
(1) 开口向上,顶点坐标是$(2,-7)$,对称轴是直线$x=2$。
(2) 开口向下,顶点坐标是$(1,-1)$,对称轴是直线$x=1$。
【知识点】
二次函数图象性质、配方法化顶点式、二次函数顶点与对称轴求解
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察二次函数一般式与图象特征的对应关系，配方法和顶点公式法都是二次函数章节的必备基础技能，掌握该类题型是后续学习二次函数增减性、最值、实际应用等内容的前提。
【难度系数】
0.85
要确定二次函数的开口方向、顶点坐标和对称轴，可结合二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质求解：①开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②顶点坐标和对称轴可通过两种方法计算：一是用配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到顶点为$(h,k)$、对称轴为直线$x=h$；二是用顶点公式，先算对称轴$x=-\frac{b}{2a}$，再代入函数求对应$y$值即可得到顶点纵坐标。
【解析】
(1) 对于$y=2x^2 -8x +1$：
$\because$ 二次项系数$a=2＞0$，$\therefore$ 函数图象开口向上；
用配方法化为顶点式：
$y=2x^2-8x+1=2(x^2-4x)+1=2(x^2-4x+4-4)+1=2(x-2)^2-8+1=2(x-2)^2-7$
根据顶点式可得，顶点坐标为$(2,-7)$，对称轴为直线$x=2$。
(2) 对于$y=-\frac{1}{2}x^2 +x -\frac{3}{2}$：
$\because$ 二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 函数图象开口向下；
用配方法化为顶点式：
$y=-\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x^2-2x)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x^2-2x+1-1)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)^2-1$
根据顶点式可得，顶点坐标为$(1,-1)$，对称轴为直线$x=1$。
【答案】
(1) 开口向上,顶点坐标是$(2,-7)$,对称轴是直线$x=2$。
(2) 开口向下,顶点坐标是$(1,-1)$,对称轴是直线$x=1$。
【知识点】
二次函数图象性质、配方法化顶点式、二次函数顶点与对称轴求解
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察二次函数一般式与图象特征的对应关系，配方法和顶点公式法都是二次函数章节的必备基础技能，掌握该类题型是后续学习二次函数增减性、最值、实际应用等内容的前提。
【难度系数】
0.85
5. 已知抛物线的顶点坐标是$(2,-3)$，且经过点$(1,-\dfrac{5}{2})$。
（1）求这条抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象。
（2）当$x=3$时，求$y$的值。
（3）当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而增大？当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？
（1）求这条抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图象。
（2）当$x=3$时，求$y$的值。
（3）当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而增大？当$x$在什么范围内时，$y$随$x$的增大而减小？
答案
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-2x-1$,即$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3$。图象略。
(2) $y=-\frac{5}{2}$。
(3) 当$x≥2$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x≤2$时,$y$随$x$的增大而减小。
(2) $y=-\frac{5}{2}$。
(3) 当$x≥2$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x≤2$时,$y$随$x$的增大而减小。
解析
【分析】
（1）已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式可简化计算：设顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，先代入顶点坐标$(2,-3)$确定$h$、$k$的值，再代入已知点$(1,-\frac{5}{2})$求出系数$a$，即可得到解析式；绘制图象时先确定顶点、对称轴、与坐标轴交点等关键点，再描点连线即可。
（2）求$x=3$对应的$y$值，直接将$x=3$代入已求出的解析式计算即可。
（3）根据抛物线的开口方向和对称轴位置，结合二次函数增减性的规律即可判断对应范围。
【解析】
（1）设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2-3(a≠0)$，将点$(1,-\frac{5}{2})$代入解析式：
$\begin{aligned}-\frac{5}{2}&=a×(1-2)^2-3\\-\frac{5}{2}&=a-3\\a&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3$，展开为一般式得$y=\frac{1}{2}x^2-2x-1$。
图象绘制：先确定对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-3)$，再取$x=0、1、3、4$等点计算对应$y$值，描点后用平滑曲线连接即可（图象略）。
（2）将$x=3$代入$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3$：
$y=\frac{1}{2}×(3-2)^2-3=\frac{1}{2}-3=-\frac{5}{2}$
（3）由$a=\frac{1}{2}＞0$可知抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线$x=2$，因此：
当$x≥2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x≤2$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-2x-1$,即$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3$。图象略。
(2) $y=-\frac{5}{2}$。
(3) 当$x≥2$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x≤2$时,$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数解析式的求解及性质应用，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
（1）已知抛物线顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式可简化计算：设顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，先代入顶点坐标$(2,-3)$确定$h$、$k$的值，再代入已知点$(1,-\frac{5}{2})$求出系数$a$，即可得到解析式；绘制图象时先确定顶点、对称轴、与坐标轴交点等关键点，再描点连线即可。
（2）求$x=3$对应的$y$值，直接将$x=3$代入已求出的解析式计算即可。
（3）根据抛物线的开口方向和对称轴位置，结合二次函数增减性的规律即可判断对应范围。
【解析】
（1）设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2-3(a≠0)$，将点$(1,-\frac{5}{2})$代入解析式：
$\begin{aligned}-\frac{5}{2}&=a×(1-2)^2-3\\-\frac{5}{2}&=a-3\\a&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3$，展开为一般式得$y=\frac{1}{2}x^2-2x-1$。
图象绘制：先确定对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-3)$，再取$x=0、1、3、4$等点计算对应$y$值，描点后用平滑曲线连接即可（图象略）。
（2）将$x=3$代入$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3$：
$y=\frac{1}{2}×(3-2)^2-3=\frac{1}{2}-3=-\frac{5}{2}$
（3）由$a=\frac{1}{2}＞0$可知抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线$x=2$，因此：
当$x≥2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x≤2$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-2x-1$,即$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-3$。图象略。
(2) $y=-\frac{5}{2}$。
(3) 当$x≥2$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x≤2$时,$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次函数解析式的求解及性质应用，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
