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6. 已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象经过点$(-2,4),(-1,0)$。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）当$x$为何值时，$y=0$；当$x$为何值时，$y＜0$。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）当$x$为何值时，$y=0$；当$x$为何值时，$y＜0$。
答案
(1) $y=x^2-x-2$。
(2) 当$x=2$或$-1$时,$y=0$;当$-1＜x＜2$时,$y＜0$。
(2) 当$x=2$或$-1$时,$y=0$;当$-1＜x＜2$时,$y＜0$。
解析
【分析】
（1）求二次函数表达式可采用待定系数法，已知函数图象经过两个点，将两点坐标分别代入二次函数一般式，即可得到关于系数a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到函数表达式。（2）求y=0时x的值，本质是解关于x的一元二次方程；求y＜0时x的取值范围，可结合二次函数的开口方向和一元二次方程的根，根据抛物线图象的特点直接判断对应x的范围。
【解析】
（1）将点$(-2,4)$、$(-1,0)$分别代入二次函数$y=ax^2+bx-2$中，可得：
$\begin{cases}4=a×(-2)^2 + b×(-2) -2 \\0=a×(-1)^2 + b×(-1) -2 \end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}2a - b =3 ①\\a - b =2 ② \end{cases}$
用①-②得：$a=1$，将$a=1$代入②式，得$1 - b =2$，解得$b=-1$。
因此这个二次函数的表达式为$y=x^2 -x -2$。
（2）令$y=0$，则有$x^2 -x -2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即当$x=2$或$x=-1$时，$y=0$。
由二次函数表达式可知$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，结合方程的根可得：当$-1＜x＜2$时，函数图象位于x轴下方，即$y＜0$。
【答案】
(1) $y=x^2-x-2$；(2) 当$x=2$或$-1$时,$y=0$;当$-1＜x＜2$时,$y＜0$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的应用，以及二次函数和对应方程、不等式之间的关联，解题时结合图象分析不等式范围更直观简便，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）求二次函数表达式可采用待定系数法，已知函数图象经过两个点，将两点坐标分别代入二次函数一般式，即可得到关于系数a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到函数表达式。（2）求y=0时x的值，本质是解关于x的一元二次方程；求y＜0时x的取值范围，可结合二次函数的开口方向和一元二次方程的根，根据抛物线图象的特点直接判断对应x的范围。
【解析】
（1）将点$(-2,4)$、$(-1,0)$分别代入二次函数$y=ax^2+bx-2$中，可得：
$\begin{cases}4=a×(-2)^2 + b×(-2) -2 \\0=a×(-1)^2 + b×(-1) -2 \end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}2a - b =3 ①\\a - b =2 ② \end{cases}$
用①-②得：$a=1$，将$a=1$代入②式，得$1 - b =2$，解得$b=-1$。
因此这个二次函数的表达式为$y=x^2 -x -2$。
（2）令$y=0$，则有$x^2 -x -2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即当$x=2$或$x=-1$时，$y=0$。
由二次函数表达式可知$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，结合方程的根可得：当$-1＜x＜2$时，函数图象位于x轴下方，即$y＜0$。
【答案】
(1) $y=x^2-x-2$；(2) 当$x=2$或$-1$时,$y=0$;当$-1＜x＜2$时,$y＜0$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心考查待定系数法的应用，以及二次函数和对应方程、不等式之间的关联，解题时结合图象分析不等式范围更直观简便，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 利用图象判断方程$\frac{1}{2}x^2=3x-2$是否有解，若有解，请写出它的近似解（结果精确到0.1）。
答案
有解。$x_1≈5.2$,$x_2≈0.8$。
解析
【分析】
要利用图象判断方程是否有解并求近似解，核心思路是利用“函数图象交点的横坐标就是对应方程的解”这一关系：①先将原方程拆分为我们熟悉的二次函数和一次函数；②在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，观察是否有交点，有交点即说明方程有解，交点个数就是解的个数；③通过观察交点横坐标所在的区间，代入数值试算逐步缩小范围，最终得到精确到0.1的近似解。
【解析】
步骤1：将方程转化为两个函数的形式
设$y_1=\frac{1}{2}x^2$（开口向上、顶点在原点的二次函数），$y_2=3x-2$（斜率为3、与y轴交于$(0,-2)$的一次函数），原方程$\frac{1}{2}x^2=3x-2$的解就是$y_1=y_2$时$x$的取值，即两个函数图象交点的横坐标。
步骤2：判断解的存在性
在同一坐标系中画出两个函数的图象，可观察到两个函数有2个交点，因此原方程有两个解。
步骤3：估算近似解
① 估算较小的解：观察交点横坐标在0~1之间，代入试值：
当$x=0.7$时，$y_1=\frac{1}{2}×0.7^2=0.245$，$y_2=3×0.7-2=0.1$，此时$y_1＞y_2$；
当$x=0.8$时，$y_1=\frac{1}{2}×0.8^2=0.32$，$y_2=3×0.8-2=0.4$，此时$y_1＜y_2$；
进一步验证可知该解在0.75~0.8之间，精确到0.1为$x\approx0.8$。
② 估算较大的解：观察交点横坐标在5~6之间，代入试值：
当$x=5$时，$y_1=\frac{1}{2}×5^2=12.5$，$y_2=3×5-2=13$，此时$y_1＜y_2$；
当$x=5.2$时，$y_1=\frac{1}{2}×5.2^2=13.52$，$y_2=3×5.2-2=13.6$，两个函数值非常接近；
当$x=5.3$时，$y_1=\frac{1}{2}×5.3^2=14.045$，$y_2=3×5.3-2=13.9$，此时$y_1＞y_2$；
可知该解在5.2~5.3之间，更接近5.2，精确到0.1为$x\approx5.2$。
【答案】
有解。$x_1≈5.2$,$x_2≈0.8$。
【知识点】
函数与方程的关系、二次函数的图象、一次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想在解方程中的应用，解题关键是建立方程与函数的对应关系，通过观察图象定位解的区间，再用试值法得到符合精度要求的近似解，能帮助我们理解函数和方程之间的内在联系。
【难度系数】
0.6
要利用图象判断方程是否有解并求近似解，核心思路是利用“函数图象交点的横坐标就是对应方程的解”这一关系：①先将原方程拆分为我们熟悉的二次函数和一次函数；②在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，观察是否有交点，有交点即说明方程有解，交点个数就是解的个数；③通过观察交点横坐标所在的区间，代入数值试算逐步缩小范围，最终得到精确到0.1的近似解。
【解析】
步骤1：将方程转化为两个函数的形式
设$y_1=\frac{1}{2}x^2$（开口向上、顶点在原点的二次函数），$y_2=3x-2$（斜率为3、与y轴交于$(0,-2)$的一次函数），原方程$\frac{1}{2}x^2=3x-2$的解就是$y_1=y_2$时$x$的取值，即两个函数图象交点的横坐标。
步骤2：判断解的存在性
在同一坐标系中画出两个函数的图象，可观察到两个函数有2个交点，因此原方程有两个解。
步骤3：估算近似解
① 估算较小的解：观察交点横坐标在0~1之间，代入试值：
当$x=0.7$时，$y_1=\frac{1}{2}×0.7^2=0.245$，$y_2=3×0.7-2=0.1$，此时$y_1＞y_2$；
当$x=0.8$时，$y_1=\frac{1}{2}×0.8^2=0.32$，$y_2=3×0.8-2=0.4$，此时$y_1＜y_2$；
进一步验证可知该解在0.75~0.8之间，精确到0.1为$x\approx0.8$。
② 估算较大的解：观察交点横坐标在5~6之间，代入试值：
当$x=5$时，$y_1=\frac{1}{2}×5^2=12.5$，$y_2=3×5-2=13$，此时$y_1＜y_2$；
当$x=5.2$时，$y_1=\frac{1}{2}×5.2^2=13.52$，$y_2=3×5.2-2=13.6$，两个函数值非常接近；
当$x=5.3$时，$y_1=\frac{1}{2}×5.3^2=14.045$，$y_2=3×5.3-2=13.9$，此时$y_1＞y_2$；
可知该解在5.2~5.3之间，更接近5.2，精确到0.1为$x\approx5.2$。
【答案】
有解。$x_1≈5.2$,$x_2≈0.8$。
【知识点】
函数与方程的关系、二次函数的图象、一次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想在解方程中的应用，解题关键是建立方程与函数的对应关系，通过观察图象定位解的区间，再用试值法得到符合精度要求的近似解，能帮助我们理解函数和方程之间的内在联系。
【难度系数】
0.6
8. 抛物线 $y=2x^2+4x+5$ 与坐标轴的交点个数为（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
）。A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
B
解析
【分析】
要判断抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与x轴、y轴的交点数量再求和。首先，抛物线与y轴的交点可通过令x=0代入解析式求解；其次，抛物线与x轴的交点对应y=0时一元二次方程的实根个数，可通过根的判别式Δ判断：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时无交点，最后汇总两类交点的总个数即可。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入抛物线解析式得$y=2×0^2+4×0+5=5$，因此抛物线与y轴交于点$(0,5)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，得到一元二次方程$2x^2+4x+5=0$，其中$a=2$，$b=4$，$c=5$。
计算根的判别式：$\Delta=b^2-4ac=4^2 - 4×2×5=16-40=-24＜0$，因此该方程无实数根，即抛物线与x轴没有交点。
综上，抛物线与坐标轴的交点总个数为1个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题易出现仅计算抛物线与x轴交点、遗漏与y轴交点的错误，解题时需明确坐标轴包含x轴和y轴，同时要熟练掌握用判别式判断二次函数与x轴交点个数的方法，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与x轴、y轴的交点数量再求和。首先，抛物线与y轴的交点可通过令x=0代入解析式求解；其次，抛物线与x轴的交点对应y=0时一元二次方程的实根个数，可通过根的判别式Δ判断：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时无交点，最后汇总两类交点的总个数即可。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入抛物线解析式得$y=2×0^2+4×0+5=5$，因此抛物线与y轴交于点$(0,5)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，得到一元二次方程$2x^2+4x+5=0$，其中$a=2$，$b=4$，$c=5$。
计算根的判别式：$\Delta=b^2-4ac=4^2 - 4×2×5=16-40=-24＜0$，因此该方程无实数根，即抛物线与x轴没有交点。
综上，抛物线与坐标轴的交点总个数为1个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题易出现仅计算抛物线与x轴交点、遗漏与y轴交点的错误，解题时需明确坐标轴包含x轴和y轴，同时要熟练掌握用判别式判断二次函数与x轴交点个数的方法，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 已知二次函数$y=x^2 -4x +m +4$的图象经过原点，它可以由哪条顶点在原点的抛物线经过平移得到？说出平移的过程。
答案
该抛物线可以由抛物线$y=x^2$向右平移2个单位,再向下平移4个单位得到。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“图象经过原点”入手，原点坐标为(0,0)，将其代入二次函数解析式即可求出未知参数m的值，得到完整的函数解析式。接下来要判断由顶点在原点的抛物线平移得到的方法，顶点在原点的最简抛物线为$y=x^2$，二次函数平移的规律是顶点的平移方向与抛物线整体平移方向一致，因此需要将所求二次函数配方为顶点式，得到其顶点坐标，对比$y=x^2$的顶点(0,0)，就能得出平移过程。
【解析】
1. 求参数m的值：
∵ 二次函数$y=x^2 -4x +m +4$的图象经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=0^2 -4×0 +m +4$
解得$m=-4$
2. 得到完整的二次函数解析式并配方为顶点式：
将$m=-4$代入原式，得$y=x^2 -4x$
配方：$y=x^2 -4x = (x^2 -4x +4) -4 = (x-2)^2 -4$
3. 分析平移过程：
顶点在原点的抛物线为$y=x^2$，其顶点坐标为$(0,0)$；
所求抛物线的顶点式为$y=(x-2)^2 -4$，顶点坐标为$(2,-4)$。
根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2$向右平移2个单位，再向下平移4个单位，即可得到目标抛物线。
【答案】
该抛物线可以由抛物线$y=x^2$向右平移2个单位,再向下平移4个单位得到。
【知识点】
二次函数图象上点的特征、二次函数配方、二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移相关的基础题型，需要熟练掌握利用函数图象上点的坐标求解参数的方法，以及二次函数配方的步骤和平移规则，是后续解决复杂二次函数综合题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“图象经过原点”入手，原点坐标为(0,0)，将其代入二次函数解析式即可求出未知参数m的值，得到完整的函数解析式。接下来要判断由顶点在原点的抛物线平移得到的方法，顶点在原点的最简抛物线为$y=x^2$，二次函数平移的规律是顶点的平移方向与抛物线整体平移方向一致，因此需要将所求二次函数配方为顶点式，得到其顶点坐标，对比$y=x^2$的顶点(0,0)，就能得出平移过程。
【解析】
1. 求参数m的值：
∵ 二次函数$y=x^2 -4x +m +4$的图象经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=0^2 -4×0 +m +4$
解得$m=-4$
2. 得到完整的二次函数解析式并配方为顶点式：
将$m=-4$代入原式，得$y=x^2 -4x$
配方：$y=x^2 -4x = (x^2 -4x +4) -4 = (x-2)^2 -4$
3. 分析平移过程：
顶点在原点的抛物线为$y=x^2$，其顶点坐标为$(0,0)$；
所求抛物线的顶点式为$y=(x-2)^2 -4$，顶点坐标为$(2,-4)$。
根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2$向右平移2个单位，再向下平移4个单位，即可得到目标抛物线。
【答案】
该抛物线可以由抛物线$y=x^2$向右平移2个单位,再向下平移4个单位得到。
【知识点】
二次函数图象上点的特征、二次函数配方、二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移相关的基础题型，需要熟练掌握利用函数图象上点的坐标求解参数的方法，以及二次函数配方的步骤和平移规则，是后续解决复杂二次函数综合题的基础。
【难度系数】
0.8
10. 已知二次函数$y=(x-x_1)(x-x_2),x_1＜x_2$。若点$P(m,n)$在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（
A.当$n＞0$时，$m＜x_1$
B.当$n＞0$时，$m＞x_2$
C.当$n＜0$时，$m＜0$
D.当$n＜0$时，$x_1＜m＜x_2$
D
）。A.当$n＞0$时，$m＜x_1$
B.当$n＞0$时，$m＞x_2$
C.当$n＜0$时，$m＜0$
D.当$n＜0$时，$x_1＜m＜x_2$
答案
D
解析
【分析】
本题给出的二次函数为交点式，首先可确定其开口方向和与x轴的交点坐标：二次项系数为1＞0，故抛物线开口向上，与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$两点，且$x_1＜x_2$。接下来结合抛物线图象特征，分别分析函数值$n＞0$、$n＜0$时对应的自变量m的取值范围，逐一验证选项即可。
【解析】
二次函数$y=(x-x_1)(x-x_2)$的二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，且与x轴的交点为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，已知$x_1＜x_2$。
1. 当$n＞0$时，即函数图象在x轴上方，对应的自变量取值范围为$m＜x_1$或$m＞x_2$，因此A、B选项均只描述了其中一种情况，错误；
2. 当$n＜0$时，即函数图象在x轴下方，对应的自变量取值范围为$x_1＜m＜x_2$，与m的正负无关，因此C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数交点式，抛物线图象性质，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，核心是结合开口方向和抛物线与x轴的交点，判断函数值正负对应的自变量取值范围，解题时注意不要遗漏函数值为正的两种区间情况。
【难度系数】
0.8
本题给出的二次函数为交点式，首先可确定其开口方向和与x轴的交点坐标：二次项系数为1＞0，故抛物线开口向上，与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$两点，且$x_1＜x_2$。接下来结合抛物线图象特征，分别分析函数值$n＞0$、$n＜0$时对应的自变量m的取值范围，逐一验证选项即可。
【解析】
二次函数$y=(x-x_1)(x-x_2)$的二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，且与x轴的交点为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，已知$x_1＜x_2$。
1. 当$n＞0$时，即函数图象在x轴上方，对应的自变量取值范围为$m＜x_1$或$m＞x_2$，因此A、B选项均只描述了其中一种情况，错误；
2. 当$n＜0$时，即函数图象在x轴下方，对应的自变量取值范围为$x_1＜m＜x_2$，与m的正负无关，因此C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数交点式，抛物线图象性质，二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，核心是结合开口方向和抛物线与x轴的交点，判断函数值正负对应的自变量取值范围，解题时注意不要遗漏函数值为正的两种区间情况。
【难度系数】
0.8
