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11. (多选题)小明、小亮、小聪、小慧四人共同探讨代数式$-x^2 -4x +5$求值问题，他们作了如下分工：小明负责找其值为9时的$x$的值，小亮负责找其值为0时的$x$的值，小聪负责找该代数式的最大值，小慧负责找该代数式的最小值。经过探究，他们各自通报结论，其中正确的是（
A.小明认为只有当$x=-2$时，$-x^2 -4x +5$的值为9
B.小亮认为有两个实数$x$，使$-x^2 -4x +5$的值为0
C.小聪发现$-x^2 -4x +5$的值随$x$的变化而变化，因此认为没有最大值
D.小慧发现当$x$取大于$-2$的实数时，$-x^2 -4x +5$的值随$x$的增大而减小，因此认为没有最小值
ABD
）。A.小明认为只有当$x=-2$时，$-x^2 -4x +5$的值为9
B.小亮认为有两个实数$x$，使$-x^2 -4x +5$的值为0
C.小聪发现$-x^2 -4x +5$的值随$x$的变化而变化，因此认为没有最大值
D.小慧发现当$x$取大于$-2$的实数时，$-x^2 -4x +5$的值随$x$的增大而减小，因此认为没有最小值
答案
ABD。提示:当$-x^2-4x+5=9$时,得$x^2+4x+4=0$,所以$(x+2)^2=0$,解得$x_1=x_2=-2$,所以小明的说法正确；
当$-x^2-4x+5=0$时,得$(x+5)(x-1)=0$,解得$x_1=-5,x_2=1$,所以小亮的说法正确；
因为$-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9$,所以当$x=-2$时,$y$有最大值9。所以小聪的说法不正确；
因为$-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9$,在对称轴直线$x=-2$的右侧,$y$随$x$的增大而减小,所以$y$没有最小值,所以小慧的说法正确。
当$-x^2-4x+5=0$时,得$(x+5)(x-1)=0$,解得$x_1=-5,x_2=1$,所以小亮的说法正确；
因为$-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9$,所以当$x=-2$时,$y$有最大值9。所以小聪的说法不正确；
因为$-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9$,在对称轴直线$x=-2$的右侧,$y$随$x$的增大而减小,所以$y$没有最小值,所以小慧的说法正确。
解析
【分析】
要判断四人的结论是否正确，我们可以分三步处理：1. 对代数式$-x^2 -4x +5$进行配方转化为顶点式，方便后续分析最值和增减性；2. 针对小明、小亮的结论，分别令代数式等于对应取值，转化为一元二次方程求解，判断解的情况；3. 针对小聪、小慧的结论，结合二次函数的开口方向、对称轴、增减性分析最值情况。
【解析】
先将代数式配方为顶点式：
$\begin{aligned}-x^2 -4x +5 &= -(x^2 +4x) +5 \\&= -(x^2+4x+4 -4)+5 \\&= -(x+2)^2 +9\end{aligned}$
逐一分析选项：
1. 验证A选项：令$-x^2 -4x +5 =9$
代入顶点式得$-(x+2)^2 +9 =9$，化简得$(x+2)^2=0$，解得$x_1=x_2=-2$，仅$x=-2$满足条件，故小明结论正确，A符合题意。
2. 验证B选项：令$-x^2 -4x +5 =0$
整理得$x^2 +4x -5=0$，因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x_1=-5$、$x_2=1$，存在两个不同的实数解，故小亮结论正确，B符合题意。
3. 验证C选项：代数式对应的二次函数二次项系数为$-1＜0$，开口向下，顶点坐标为$(-2,9)$，因此当$x=-2$时，代数式有最大值9，小聪认为没有最大值的结论错误，C不符合题意。
4. 验证D选项：该二次函数对称轴为直线$x=-2$，开口向下，因此当$x＞-2$时，代数式的值随$x$的增大而减小，$x$越大，代数式的值越小、没有下界，因此不存在最小值，小慧结论正确，D符合题意。
【答案】
ABD
【知识点】
一元二次方程的解法；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题综合考查一元二次方程求解与二次函数的性质，解题核心是先对代数式配方得到顶点式，再结合二次函数的图象特征逐一判断结论，需注意开口方向对函数增减性、最值的影响。
【难度系数】
0.7
要判断四人的结论是否正确，我们可以分三步处理：1. 对代数式$-x^2 -4x +5$进行配方转化为顶点式，方便后续分析最值和增减性；2. 针对小明、小亮的结论，分别令代数式等于对应取值，转化为一元二次方程求解，判断解的情况；3. 针对小聪、小慧的结论，结合二次函数的开口方向、对称轴、增减性分析最值情况。
【解析】
先将代数式配方为顶点式：
$\begin{aligned}-x^2 -4x +5 &= -(x^2 +4x) +5 \\&= -(x^2+4x+4 -4)+5 \\&= -(x+2)^2 +9\end{aligned}$
逐一分析选项：
1. 验证A选项：令$-x^2 -4x +5 =9$
代入顶点式得$-(x+2)^2 +9 =9$，化简得$(x+2)^2=0$，解得$x_1=x_2=-2$，仅$x=-2$满足条件，故小明结论正确，A符合题意。
2. 验证B选项：令$-x^2 -4x +5 =0$
整理得$x^2 +4x -5=0$，因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x_1=-5$、$x_2=1$，存在两个不同的实数解，故小亮结论正确，B符合题意。
3. 验证C选项：代数式对应的二次函数二次项系数为$-1＜0$，开口向下，顶点坐标为$(-2,9)$，因此当$x=-2$时，代数式有最大值9，小聪认为没有最大值的结论错误，C不符合题意。
4. 验证D选项：该二次函数对称轴为直线$x=-2$，开口向下，因此当$x＞-2$时，代数式的值随$x$的增大而减小，$x$越大，代数式的值越小、没有下界，因此不存在最小值，小慧结论正确，D符合题意。
【答案】
ABD
【知识点】
一元二次方程的解法；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题综合考查一元二次方程求解与二次函数的性质，解题核心是先对代数式配方得到顶点式，再结合二次函数的图象特征逐一判断结论，需注意开口方向对函数增减性、最值的影响。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在某场足球比赛中,球员甲从球门线中心点O的正前方10 m的点P处起脚射门,足球沿抛物线飞向球门中心线。当足球飞行的水平距离为6 m时,达到最高点,此时足球飞离地面高度为3 m。已知球门的横梁高为2.44 m。
（1）建立如图所示直角坐标系。此次射门,足球能否射进球门？（不计其他影响因素）
（2）守门员站在距离球门2 m处,他跳起时手的最大摸高为2.52 m。问:他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能,他至少后退多少米才能阻止球员甲的此次射门？
（1）建立如图所示直角坐标系。此次射门,足球能否射进球门？（不计其他影响因素）
（2）守门员站在距离球门2 m处,他跳起时手的最大摸高为2.52 m。问:他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能,他至少后退多少米才能阻止球员甲的此次射门？
答案
(1) $y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3(0≤x≤10)$。当$x=0$时,$y=\frac{5}{3}＜2.44$,所以足球能射入球门。
(2) 当$x=2$时,$y=\frac{8}{3}＞2.52$,所以守门员不能阻止此次射门。由$-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=2.52$,得$x=1.6$或$x=6.4$(不合题意,舍去)。所以守门员至少后退0.4 m才能阻止球员甲的此次射门。
(2) 当$x=2$时,$y=\frac{8}{3}＞2.52$,所以守门员不能阻止此次射门。由$-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=2.52$,得$x=1.6$或$x=6.4$(不合题意,舍去)。所以守门员至少后退0.4 m才能阻止球员甲的此次射门。
解析
【分析】
解题思路：首先根据抛物线的顶点坐标设出二次函数的顶点式，代入已知点坐标求出完整的函数解析式。第（1）问计算球门位置x=0对应的y值，和球门横梁高度对比判断是否能进球；第（2）问先计算守门员当前站位x=2对应的y值，和他的最大摸高对比判断能否拦截，再令y等于最大摸高求解对应的x值，计算需要后退的距离。
步骤：1. 确定抛物线顶点为(4,3)，设顶点式解析式；2. 代入点P(10,0)求出参数a，得到完整函数解析式；3. 代入x=0求y，与2.44比较；4. 代入x=2求y，与2.52比较；5. 令y=2.52解方程，选取符合题意的解计算后退距离。
【解析】
（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为$(4,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-4)^2+3$。
∵抛物线过点$P(10,0)$，将$x=10,y=0$代入解析式：
$0=a(10-4)^2+3$
$36a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{12}$
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3\quad(0≤ x≤10)$
球门对应横坐标$x=0$，将$x=0$代入解析式：
$y=-\frac{1}{12}×(0-4)^2+3=\frac{5}{3}\ \mathrm{m}$
∵$\frac{5}{3}＜2.44$，因此足球能射进球门。
（2）守门员站在距离球门2m处，对应横坐标$x=2$，将$x=2$代入解析式：
$y=-\frac{1}{12}×(2-4)^2+3=\frac{8}{3}\ \mathrm{m}$
∵$\frac{8}{3}＞2.52$，因此守门员不能阻止此次射门。
若要成功拦截，令$y=2.52$，代入解析式得：
$-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=2.52$
整理得$(x-4)^2=5.76$，解得$x_1=1.6$，$x_2=6.4$（$x=6.4$靠近射门点，不符合实际站位要求，舍去）
守门员至少后退的距离为$2-1.6=0.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 足球能射进球门；
(2) 守门员不能阻止此次射门，至少后退0.4 m才能阻止。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；一元二次方程解法
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查二次函数的实际应用，要求熟练掌握二次函数解析式的求法，能够通过代入求值、解方程解决实际问题，解题时需注意结合实际情境对解的合理性进行判断。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据抛物线的顶点坐标设出二次函数的顶点式，代入已知点坐标求出完整的函数解析式。第（1）问计算球门位置x=0对应的y值，和球门横梁高度对比判断是否能进球；第（2）问先计算守门员当前站位x=2对应的y值，和他的最大摸高对比判断能否拦截，再令y等于最大摸高求解对应的x值，计算需要后退的距离。
步骤：1. 确定抛物线顶点为(4,3)，设顶点式解析式；2. 代入点P(10,0)求出参数a，得到完整函数解析式；3. 代入x=0求y，与2.44比较；4. 代入x=2求y，与2.52比较；5. 令y=2.52解方程，选取符合题意的解计算后退距离。
【解析】
（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为$(4,3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-4)^2+3$。
∵抛物线过点$P(10,0)$，将$x=10,y=0$代入解析式：
$0=a(10-4)^2+3$
$36a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{12}$
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3\quad(0≤ x≤10)$
球门对应横坐标$x=0$，将$x=0$代入解析式：
$y=-\frac{1}{12}×(0-4)^2+3=\frac{5}{3}\ \mathrm{m}$
∵$\frac{5}{3}＜2.44$，因此足球能射进球门。
（2）守门员站在距离球门2m处，对应横坐标$x=2$，将$x=2$代入解析式：
$y=-\frac{1}{12}×(2-4)^2+3=\frac{8}{3}\ \mathrm{m}$
∵$\frac{8}{3}＞2.52$，因此守门员不能阻止此次射门。
若要成功拦截，令$y=2.52$，代入解析式得：
$-\frac{1}{12}(x-4)^2+3=2.52$
整理得$(x-4)^2=5.76$，解得$x_1=1.6$，$x_2=6.4$（$x=6.4$靠近射门点，不符合实际站位要求，舍去）
守门员至少后退的距离为$2-1.6=0.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 足球能射进球门；
(2) 守门员不能阻止此次射门，至少后退0.4 m才能阻止。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数实际应用；一元二次方程解法
【点评】
本题结合足球射门的生活场景考查二次函数的实际应用，要求熟练掌握二次函数解析式的求法，能够通过代入求值、解方程解决实际问题，解题时需注意结合实际情境对解的合理性进行判断。
【难度系数】
0.7
