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7. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的对称轴为直线$x=1$，顶点在第四象限，且抛物线与$y$轴的交点在正半轴上。试判断下列说法是否正确，并说明理由。
(1) $ac＜0$。
(2) $ab＞0$。
(3) 抛物线$y=ax^2+2bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的对称轴为直线$x=2$。
(1) $ac＜0$。
(2) $ab＞0$。
(3) 抛物线$y=ax^2+2bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的对称轴为直线$x=2$。
答案
(1)(2)不正确,(3)正确。理由如下：
(1) 因为抛物线与$y$轴交点在正半轴上,所以$c＞0$。抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点在第四象限,则抛物线开口向上,$a＞0$,故$a· c＞0$。
(2) 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,$x=\frac{-b}{2a}＞0$。由(1),得$a＞0$,所以$ab＜0$。
(3) 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,即$\frac{-b}{2a}=1$,则抛物线$y=ax^2+2bx+c$的对称轴为直线$x=\frac{-2b}{2a}=2$。
(1) 因为抛物线与$y$轴交点在正半轴上,所以$c＞0$。抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点在第四象限,则抛物线开口向上,$a＞0$,故$a· c＞0$。
(2) 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,$x=\frac{-b}{2a}＞0$。由(1),得$a＞0$,所以$ab＜0$。
(3) 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,即$\frac{-b}{2a}=1$,则抛物线$y=ax^2+2bx+c$的对称轴为直线$x=\frac{-2b}{2a}=2$。
解析
【分析】
解决本题需结合二次函数的图象性质，逐步推导系数a、b、c的符号及关系，再验证各结论：①首先根据抛物线与y轴交点在正半轴，可得c＞0；②顶点在第四象限说明抛物线开口向上，可得a＞0；③结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可推导b与a的关系。再分别判断三个说法：结合a、c符号判断(1)，结合a、b符号判断(2)，利用对称轴公式计算新抛物线的对称轴判断(3)。
【解析】
根据已知条件推导相关结论：
1. 抛物线与y轴交点在正半轴，因此$c＞0$；
2. 抛物线顶点在第四象限，说明抛物线开口向上，因此$a＞0$；
3. 抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$。
(1) 由$a＞0$、$c＞0$，得$ac＞0$，故“$ac＜0$”说法错误；
(2) 由$b=-2a$、$a＞0$，得$b＜0$，故$ab＜0$，“$ab＞0$”说法错误；
(3) 抛物线$y=ax^2+2bx+c$的对称轴为$x=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}$，代入$b=-2a$得$x=2$，故该说法正确。
【答案】
(1)(2)不正确,(3)正确。理由如下：
(1) 因为抛物线与$y$轴交点在正半轴上,所以$c＞0$。抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点在第四象限,则抛物线开口向上,$a＞0$,故$a· c＞0$。
(2) 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,$x=\frac{-b}{2a}＞0$。由(1),得$a＞0$,所以$ab＜0$。
(3) 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,即$\frac{-b}{2a}=1$,则抛物线$y=ax^2+2bx+c$的对称轴为直线$x=\frac{-2b}{2a}=2$。
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考察二次函数图象特征和系数的对应关系，熟练掌握对称轴公式、开口方向、交点位置和系数的关联即可快速解题，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合二次函数的图象性质，逐步推导系数a、b、c的符号及关系，再验证各结论：①首先根据抛物线与y轴交点在正半轴，可得c＞0；②顶点在第四象限说明抛物线开口向上，可得a＞0；③结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可推导b与a的关系。再分别判断三个说法：结合a、c符号判断(1)，结合a、b符号判断(2)，利用对称轴公式计算新抛物线的对称轴判断(3)。
【解析】
根据已知条件推导相关结论：
1. 抛物线与y轴交点在正半轴，因此$c＞0$；
2. 抛物线顶点在第四象限，说明抛物线开口向上，因此$a＞0$；
3. 抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$。
(1) 由$a＞0$、$c＞0$，得$ac＞0$，故“$ac＜0$”说法错误；
(2) 由$b=-2a$、$a＞0$，得$b＜0$，故$ab＜0$，“$ab＞0$”说法错误；
(3) 抛物线$y=ax^2+2bx+c$的对称轴为$x=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}$，代入$b=-2a$得$x=2$，故该说法正确。
【答案】
(1)(2)不正确,(3)正确。理由如下：
(1) 因为抛物线与$y$轴交点在正半轴上,所以$c＞0$。抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点在第四象限,则抛物线开口向上,$a＞0$,故$a· c＞0$。
(2) 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,$x=\frac{-b}{2a}＞0$。由(1),得$a＞0$,所以$ab＜0$。
(3) 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$,即$\frac{-b}{2a}=1$,则抛物线$y=ax^2+2bx+c$的对称轴为直线$x=\frac{-2b}{2a}=2$。
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考察二次函数图象特征和系数的对应关系，熟练掌握对称轴公式、开口方向、交点位置和系数的关联即可快速解题，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
8. 若将抛物线$C_1: y=x^2+2x+3$先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，然后绕着顶点旋转$180°$，得到一条新的抛物线$C_2$。
（1）求抛物线$C_1$的对称轴和顶点坐标。
（2）求抛物线$C_2$的函数表达式。
（1）求抛物线$C_1$的对称轴和顶点坐标。
（2）求抛物线$C_2$的函数表达式。
答案
(1) $y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,2)$。
(2) 抛物线$C_1$的顶点$(-1,2)$向右平移5个单位,再向上平移3个单位后为$(4,5)$,则抛物线$C_2$的顶点为$(4,5)$,开口与抛物线$C_1$相反,所以其函数表达式为$y=-(x-4)^2+5$,即$y=-x^2+8x-11$。
(2) 抛物线$C_1$的顶点$(-1,2)$向右平移5个单位,再向上平移3个单位后为$(4,5)$,则抛物线$C_2$的顶点为$(4,5)$,开口与抛物线$C_1$相反,所以其函数表达式为$y=-(x-4)^2+5$,即$y=-x^2+8x-11$。
解析
【分析】
（1）求抛物线的对称轴和顶点坐标，可先将二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，该形式下可直接读出对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
（2）抛物线平移时仅顶点位置发生变化，形状、开口方向均不变，遵循“横坐标左加右减、纵坐标上加下减”的规律；绕顶点旋转$180°$时，顶点位置不变、形状不变，仅开口方向相反，即二次项系数变为原来的相反数。因此先计算平移后的顶点坐标，再结合旋转后系数的变化，即可写出$C_2$的表达式。
【解析】
（1）对$C_1$的表达式配方：
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$
根据顶点式可得，抛物线$C_1$的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$。
（2）第一步，计算平移后的顶点坐标：
将顶点$(-1,2)$向右平移5个单位，横坐标变为$-1+5=4$；再向上平移3个单位，纵坐标变为$2+3=5$，可得平移后的顶点坐标为$(4,5)$。
第二步，分析旋转后的参数：
绕顶点旋转$180°$后，顶点仍为$(4,5)$，开口方向与原抛物线相反，原抛物线二次项系数为1，故旋转后二次项系数为$-1$。
因此$C_2$的顶点式为$y=-(x-4)^2+5$，展开为一般式：
$y=-(x^2-8x+16)+5=-x^2+8x-11$
【答案】
（1）对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$；
（2）$y=-x^2+8x-11$（或$y=-(x-4)^2+5$）
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数图象的平移；二次函数图象的旋转
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，核心是抓住图象变换过程中“顶点坐标、二次项系数”两个核心要素的变化规律，熟练掌握配方法、平移口诀和旋转的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）求抛物线的对称轴和顶点坐标，可先将二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，该形式下可直接读出对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
（2）抛物线平移时仅顶点位置发生变化，形状、开口方向均不变，遵循“横坐标左加右减、纵坐标上加下减”的规律；绕顶点旋转$180°$时，顶点位置不变、形状不变，仅开口方向相反，即二次项系数变为原来的相反数。因此先计算平移后的顶点坐标，再结合旋转后系数的变化，即可写出$C_2$的表达式。
【解析】
（1）对$C_1$的表达式配方：
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$
根据顶点式可得，抛物线$C_1$的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$。
（2）第一步，计算平移后的顶点坐标：
将顶点$(-1,2)$向右平移5个单位，横坐标变为$-1+5=4$；再向上平移3个单位，纵坐标变为$2+3=5$，可得平移后的顶点坐标为$(4,5)$。
第二步，分析旋转后的参数：
绕顶点旋转$180°$后，顶点仍为$(4,5)$，开口方向与原抛物线相反，原抛物线二次项系数为1，故旋转后二次项系数为$-1$。
因此$C_2$的顶点式为$y=-(x-4)^2+5$，展开为一般式：
$y=-(x^2-8x+16)+5=-x^2+8x-11$
【答案】
（1）对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,2)$；
（2）$y=-x^2+8x-11$（或$y=-(x-4)^2+5$）
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数图象的平移；二次函数图象的旋转
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题型，核心是抓住图象变换过程中“顶点坐标、二次项系数”两个核心要素的变化规律，熟练掌握配方法、平移口诀和旋转的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 已知抛物线$y=2x^2$上有点$A(-1,a),B(a,8)$。平移抛物线，点$A,B$的对应点为$A',B'$。
（1）求$a$的值。
（2）已知点$C(3,0)$，当抛物线$y=2x^2$向右平移到某个位置时，$A'C + CB'$最短，求平移后抛物线的函数表达式。
（1）求$a$的值。
（2）已知点$C(3,0)$，当抛物线$y=2x^2$向右平移到某个位置时，$A'C + CB'$最短，求平移后抛物线的函数表达式。
答案
(1) 点$A(-1,a)$在二次函数$y=2x^2$的图象上,故$a=2$。
(2) 设抛物线$y=2x^2$向右平移$t$个单位,平移后函数式为$y=2(x-t)^2$,对应点$A'(-1+t,2)$,$B'(2+t,8)$,$B'(2+t,8)$关于$x$轴的对称点是$B''(2+t,-8)$。$A'C+CB'$最短时,即$A',C,B''$三点共线。设直线$A'B''$的函数表达式为$y=kx+b$,则有$\begin{cases}k(-1+t)+b=2,\\k(2+t)+b=-8,\end{cases}$解得$k=-\frac{10}{3}$。将点$C(3,0)$代入$y=-\frac{10}{3}x+b$,得$b=10$,所以直线$A'B''$的函数表达式为$y=-\frac{10}{3}x+10$。把$A'(-1+t,2)$代入,得$t=\frac{17}{5}$。此时抛物线的函数表达式为$y=2(x-\frac{17}{5})^2$,即$y=2x^2-\frac{68}{5}x+\frac{578}{25}$。
(2) 设抛物线$y=2x^2$向右平移$t$个单位,平移后函数式为$y=2(x-t)^2$,对应点$A'(-1+t,2)$,$B'(2+t,8)$,$B'(2+t,8)$关于$x$轴的对称点是$B''(2+t,-8)$。$A'C+CB'$最短时,即$A',C,B''$三点共线。设直线$A'B''$的函数表达式为$y=kx+b$,则有$\begin{cases}k(-1+t)+b=2,\\k(2+t)+b=-8,\end{cases}$解得$k=-\frac{10}{3}$。将点$C(3,0)$代入$y=-\frac{10}{3}x+b$,得$b=10$,所以直线$A'B''$的函数表达式为$y=-\frac{10}{3}x+10$。把$A'(-1+t,2)$代入,得$t=\frac{17}{5}$。此时抛物线的函数表达式为$y=2(x-\frac{17}{5})^2$,即$y=2x^2-\frac{68}{5}x+\frac{578}{25}$。
解析
【分析】
（1）已知点在抛物线上，将点的横坐标代入二次函数解析式，即可求出对应纵坐标a的值。
（2）首先设抛物线向右平移t个单位，写出平移后的函数解析式，同时表示出A'、B'的坐标；要使A'C + CB'最短，属于x轴上一点到同侧两点距离和最小的将军饮马问题，作B'关于x轴的对称点B''，根据两点之间线段最短，当A'、C、B''三点共线时，A'C + CB'的和最小；接下来求出过点C的直线解析式，将A'坐标代入直线解析式即可求出t的值，进而得到平移后的抛物线表达式。
【解析】
（1）
∵点$A(-1,a)$在抛物线$y=2x^2$上，
将$x=-1$代入解析式得：
$a=2×(-1)^2=2$。
（2）设抛物线$y=2x^2$向右平移$t$个单位，平移后抛物线的函数表达式为$y=2(x-t)^2$，
由平移的坐标变化规律可得：$A'(-1+t, 2)$，$B'(2+t, 8)$。
作点$B'$关于x轴的对称点$B''$，则$B''$的坐标为$(2+t, -8)$，根据轴对称的性质可知$CB'=CB''$，因此$A'C + CB' = A'C + CB''$，当$A'、C、B''$三点共线时，$A'C + CB''$的和最小，即$A'C + CB'$最短。
设直线$A'B''$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(-1+t,2)$、$B''(2+t,-8)$代入得：
$\begin{cases} k(-1+t)+b=2 \\ k(2+t)+b=-8 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得：$3k=-10$，解得$k=-\frac{10}{3}$。
∵点$C(3,0)$在直线$A'B''$上，将$C(3,0)$、$k=-\frac{10}{3}$代入$y=kx+b$得：
$0=-\frac{10}{3}×3 + b$，解得$b=10$。
∴直线$A'B''$的解析式为$y=-\frac{10}{3}x + 10$。
将$A'(-1+t,2)$代入直线解析式得：
$2=-\frac{10}{3}×(-1+t) +10$，
解得$t=\frac{17}{5}$。
∴平移后抛物线的函数表达式为$y=2(x-\frac{17}{5})^2$，化为一般式为$y=2x^2 - \frac{68}{5}x + \frac{578}{25}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=2}$；
(2) $\boldsymbol{y=2(x-\dfrac{17}{5})^2}$（或$\boldsymbol{y=2x^2-\dfrac{68}{5}x+\dfrac{578}{25}}$）
【知识点】
二次函数点的坐标特征；二次函数图象平移；最短路径问题
【点评】
本题将二次函数的平移与最短路径问题相结合，既考查了二次函数的基础性质，也考查了将军饮马模型在函数综合题中的应用，需要学生熟练掌握数形结合思想，将代数计算与几何规律结合解题。
【难度系数】
0.6
（1）已知点在抛物线上，将点的横坐标代入二次函数解析式，即可求出对应纵坐标a的值。
（2）首先设抛物线向右平移t个单位，写出平移后的函数解析式，同时表示出A'、B'的坐标；要使A'C + CB'最短，属于x轴上一点到同侧两点距离和最小的将军饮马问题，作B'关于x轴的对称点B''，根据两点之间线段最短，当A'、C、B''三点共线时，A'C + CB'的和最小；接下来求出过点C的直线解析式，将A'坐标代入直线解析式即可求出t的值，进而得到平移后的抛物线表达式。
【解析】
（1）
∵点$A(-1,a)$在抛物线$y=2x^2$上，
将$x=-1$代入解析式得：
$a=2×(-1)^2=2$。
（2）设抛物线$y=2x^2$向右平移$t$个单位，平移后抛物线的函数表达式为$y=2(x-t)^2$，
由平移的坐标变化规律可得：$A'(-1+t, 2)$，$B'(2+t, 8)$。
作点$B'$关于x轴的对称点$B''$，则$B''$的坐标为$(2+t, -8)$，根据轴对称的性质可知$CB'=CB''$，因此$A'C + CB' = A'C + CB''$，当$A'、C、B''$三点共线时，$A'C + CB''$的和最小，即$A'C + CB'$最短。
设直线$A'B''$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(-1+t,2)$、$B''(2+t,-8)$代入得：
$\begin{cases} k(-1+t)+b=2 \\ k(2+t)+b=-8 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得：$3k=-10$，解得$k=-\frac{10}{3}$。
∵点$C(3,0)$在直线$A'B''$上，将$C(3,0)$、$k=-\frac{10}{3}$代入$y=kx+b$得：
$0=-\frac{10}{3}×3 + b$，解得$b=10$。
∴直线$A'B''$的解析式为$y=-\frac{10}{3}x + 10$。
将$A'(-1+t,2)$代入直线解析式得：
$2=-\frac{10}{3}×(-1+t) +10$，
解得$t=\frac{17}{5}$。
∴平移后抛物线的函数表达式为$y=2(x-\frac{17}{5})^2$，化为一般式为$y=2x^2 - \frac{68}{5}x + \frac{578}{25}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=2}$；
(2) $\boldsymbol{y=2(x-\dfrac{17}{5})^2}$（或$\boldsymbol{y=2x^2-\dfrac{68}{5}x+\dfrac{578}{25}}$）
【知识点】
二次函数点的坐标特征；二次函数图象平移；最短路径问题
【点评】
本题将二次函数的平移与最短路径问题相结合，既考查了二次函数的基础性质，也考查了将军饮马模型在函数综合题中的应用，需要学生熟练掌握数形结合思想，将代数计算与几何规律结合解题。
【难度系数】
0.6
