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4. 根据图中所画抛物线，解答下列问题：
（1）写出如图所示抛物线的函数表达式。
（2）如果将此抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线C，写出抛物线C的函数表达式。
（1）写出如图所示抛物线的函数表达式。
（2）如果将此抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线C，写出抛物线C的函数表达式。
答案
(1) $y=-(x+1)^2+2$(或$y=-x^2-2x+1$)。
(2) $y=-(x-1)^2-1$(或$y=-x^2+2x-2$)。
(2) $y=-(x-1)^2-1$(或$y=-x^2+2x-2$)。
解析
【分析】
（1）求解抛物线解析式时，首先观察图像可得抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$，因此选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标）来求解会更简便，设出解析式后代入图像上任意一个已知点的坐标，求出$a$的值即可得到解析式；（2）抛物线平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对常数项）”的规律，按照题目给出的平移要求对原解析式变形，即可得到抛物线$C$的表达式。
【解析】
（1）由图像可知，抛物线的顶点坐标为$(-1, 2)$，因此设该抛物线的函数表达式为$y=a(x+1)^2+2$（$a≠ 0$）。
观察图像得抛物线过点$(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入解析式得：
$1=a·(0+1)^2 + 2$
解得$a=-1$
因此抛物线的函数表达式为$y=-(x+1)^2+2$，展开为一般式为$y=-x^2-2x+1$。
（2）根据平移规律：向右平移2个单位，将自变量$x$替换为$x-2$；向下平移3个单位，将表达式整体减3，代入原顶点式得：
$y=-[(x-2)+1]^2 + 2 - 3$
化简得$y=-(x-1)^2 -1$，展开为一般式为$y=-x^2+2x-2$。
【答案】
(1) $y=-(x+1)^2+2$（或$y=-x^2-2x+1$）
(2) $y=-(x-1)^2-1$（或$y=-x^2+2x-2$）
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数图像平移规律
3. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题，重点考查顶点式求解析式和平移变换的应用，熟练掌握顶点式的特点和“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）求解抛物线解析式时，首先观察图像可得抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$，因此选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标）来求解会更简便，设出解析式后代入图像上任意一个已知点的坐标，求出$a$的值即可得到解析式；（2）抛物线平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对常数项）”的规律，按照题目给出的平移要求对原解析式变形，即可得到抛物线$C$的表达式。
【解析】
（1）由图像可知，抛物线的顶点坐标为$(-1, 2)$，因此设该抛物线的函数表达式为$y=a(x+1)^2+2$（$a≠ 0$）。
观察图像得抛物线过点$(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入解析式得：
$1=a·(0+1)^2 + 2$
解得$a=-1$
因此抛物线的函数表达式为$y=-(x+1)^2+2$，展开为一般式为$y=-x^2-2x+1$。
（2）根据平移规律：向右平移2个单位，将自变量$x$替换为$x-2$；向下平移3个单位，将表达式整体减3，代入原顶点式得：
$y=-[(x-2)+1]^2 + 2 - 3$
化简得$y=-(x-1)^2 -1$，展开为一般式为$y=-x^2+2x-2$。
【答案】
(1) $y=-(x+1)^2+2$（或$y=-x^2-2x+1$）
(2) $y=-(x-1)^2-1$（或$y=-x^2+2x-2$）
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数图像平移规律
3. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题，重点考查顶点式求解析式和平移变换的应用，熟练掌握顶点式的特点和“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过$B(-1,0),C(2,3)$两点。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）如果此二次函数的图象沿$y$轴平移一次后过点$(-2,1)$，试确定这次平移的方向和距离。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）如果此二次函数的图象沿$y$轴平移一次后过点$(-2,1)$，试确定这次平移的方向和距离。
答案
(1) $y=-x^2+2x+3$。
(2) 向上平移6个单位。
(2) 向上平移6个单位。
解析
【分析】
（1）题中已给出二次函数的一般形式，仅含有b、c两个未知参数，已知函数图象经过两个点的坐标，可将两点坐标代入函数表达式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，进而得到二次函数表达式。
（2）二次函数沿y轴平移时，遵循“上加下减常数项”的规律，即向上平移m个单位则常数项加m，向下平移m个单位则常数项减m，可设平移后的函数表达式为原表达式加m（m为正代表向上平移，为负代表向下平移），再将已知的平移后经过的点代入表达式，求出m的值，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
（1）将$B(-1,0)$、$C(2,3)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-(-1)^2 -b + c = 0 \\-2^2 + 2b + c = 3\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}c - b = 1 \quad ① \\2b + c = 7 \quad ②\end{cases}$
用②式减去①式，得$3b=6$，解得$b=2$。
将$b=2$代入①式，得$c-2=1$，解得$c=3$。
因此二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
（2）设二次函数沿y轴平移了$m$个单位，则平移后的函数表达式为$y=-x^2+2x+3+m$。
已知平移后的图象过点$(-2,1)$，将$x=-2$，$y=1$代入平移后的表达式：
$1 = -(-2)^2 + 2×(-2) + 3 + m$
计算得$1 = m-5$，解得$m=6$。
因为$m=6＞0$，所以平移方向为向上，平移距离为6个单位。
【答案】
（1）$y=-x^2+2x+3$
（2）向上平移6个单位
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象平移规律
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查待定系数法求解析式和二次函数平移规律的应用，熟练掌握相关基础知识点，按步骤代入计算即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）题中已给出二次函数的一般形式，仅含有b、c两个未知参数，已知函数图象经过两个点的坐标，可将两点坐标代入函数表达式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，进而得到二次函数表达式。
（2）二次函数沿y轴平移时，遵循“上加下减常数项”的规律，即向上平移m个单位则常数项加m，向下平移m个单位则常数项减m，可设平移后的函数表达式为原表达式加m（m为正代表向上平移，为负代表向下平移），再将已知的平移后经过的点代入表达式，求出m的值，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
（1）将$B(-1,0)$、$C(2,3)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}-(-1)^2 -b + c = 0 \\-2^2 + 2b + c = 3\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}c - b = 1 \quad ① \\2b + c = 7 \quad ②\end{cases}$
用②式减去①式，得$3b=6$，解得$b=2$。
将$b=2$代入①式，得$c-2=1$，解得$c=3$。
因此二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
（2）设二次函数沿y轴平移了$m$个单位，则平移后的函数表达式为$y=-x^2+2x+3+m$。
已知平移后的图象过点$(-2,1)$，将$x=-2$，$y=1$代入平移后的表达式：
$1 = -(-2)^2 + 2×(-2) + 3 + m$
计算得$1 = m-5$，解得$m=6$。
因为$m=6＞0$，所以平移方向为向上，平移距离为6个单位。
【答案】
（1）$y=-x^2+2x+3$
（2）向上平移6个单位
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图象平移规律
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查待定系数法求解析式和二次函数平移规律的应用，熟练掌握相关基础知识点，按步骤代入计算即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6. (多选题)如图,一座圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下。选取如图抛物线水流路径,建立平面直角坐标系,水流喷出的高度 y(m)与水平距离x(m)满足$y=-x^2+2x+\frac{3}{4}(x≥0)$。下列说法正确的是(
A.点M的坐标是(0,0.75)
B.水流喷出的最大高度是0.75 m
C.水流喷出的最大高度是1.75 m
D.水平距离为2 m时,水流已经落到地面
AC
)。A.点M的坐标是(0,0.75)
B.水流喷出的最大高度是0.75 m
C.水流喷出的最大高度是1.75 m
D.水平距离为2 m时,水流已经落到地面
答案
AC
解析
【分析】
这是二次函数在实际场景中的应用问题，我们可以结合二次函数的性质逐个分析选项：①求点M的坐标，M对应x=0时的函数值，直接代入x=0计算即可；②求水流最大高度，即求开口向下的二次函数的顶点纵坐标，用配方法或顶点公式计算即可；③判断水平距离为2m时水流是否落地，只需代入x=2计算y值是否为0，即可判断。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 验证选项A：点M是x=0时水流的高度，将$x=0$代入解析式$y=-x^2+2x+\frac{3}{4}$，得$y=\frac{3}{4}=0.75$，因此点M的坐标为$(0,0.75)$，A正确。
2. 验证选项B、C：水流最大高度为二次函数的最大值，对解析式配方得：
$y=-x^2+2x+\frac{3}{4}=-(x^2-2x)+\frac{3}{4}=-(x-1)^2+1+\frac{3}{4}=-(x-1)^2+\frac{7}{4}$
因为二次项系数$-1＜0$，所以当$x=1$时，y取得最大值$\frac{7}{4}=1.75$m，因此B错误，C正确。
3. 验证选项D：当$x=2$时，代入解析式得$y=-2^2+2×2+\frac{3}{4}=0.75＞0$，说明此时水流高度为0.75m，还未落到地面，D错误。
综上，正确选项为AC。
【答案】
AC
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合喷泉水流的生活场景考查二次函数的基础应用，要求学生掌握代入求值、配方法求二次函数最值、函数值与实际意义对应等核心技能，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际场景中的应用问题，我们可以结合二次函数的性质逐个分析选项：①求点M的坐标，M对应x=0时的函数值，直接代入x=0计算即可；②求水流最大高度，即求开口向下的二次函数的顶点纵坐标，用配方法或顶点公式计算即可；③判断水平距离为2m时水流是否落地，只需代入x=2计算y值是否为0，即可判断。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 验证选项A：点M是x=0时水流的高度，将$x=0$代入解析式$y=-x^2+2x+\frac{3}{4}$，得$y=\frac{3}{4}=0.75$，因此点M的坐标为$(0,0.75)$，A正确。
2. 验证选项B、C：水流最大高度为二次函数的最大值，对解析式配方得：
$y=-x^2+2x+\frac{3}{4}=-(x^2-2x)+\frac{3}{4}=-(x-1)^2+1+\frac{3}{4}=-(x-1)^2+\frac{7}{4}$
因为二次项系数$-1＜0$，所以当$x=1$时，y取得最大值$\frac{7}{4}=1.75$m，因此B错误，C正确。
3. 验证选项D：当$x=2$时，代入解析式得$y=-2^2+2×2+\frac{3}{4}=0.75＞0$，说明此时水流高度为0.75m，还未落到地面，D错误。
综上，正确选项为AC。
【答案】
AC
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合喷泉水流的生活场景考查二次函数的基础应用，要求学生掌握代入求值、配方法求二次函数最值、函数值与实际意义对应等核心技能，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
