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19. (★★)先化简,再求值:$2(-3xy-2xy^2)+5(xy^2+xy)-xy^2$,其中$x=2025,y=2.$
答案
解：
原式$=-6xy -4xy^2 +5xy^2 +5xy -xy^2$
$=(-6xy+5xy)+(-4xy^2+5xy^2-xy^2)$
$=-xy$
当$x=2025$，$y=2$时，
原式$=-2025×2=-4050$
原式$=-6xy -4xy^2 +5xy^2 +5xy -xy^2$
$=(-6xy+5xy)+(-4xy^2+5xy^2-xy^2)$
$=-xy$
当$x=2025$，$y=2$时，
原式$=-2025×2=-4050$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步去括号，注意括号前的系数要乘括号内的每一项，若括号前是正号，去括号后各项符号不变；第二步合并同类项，将所含字母相同、且相同字母的指数也相同的项合并，系数相加减，字母和字母的指数保持不变；第三步代入数值计算，化简完成后代入已知的x、y的值计算结果，比直接代入原式计算更简便。
【解析】
解：先去括号：
原式$=-6xy -4xy^2 +5xy^2 +5xy -xy^2$
再合并同类项：
$=(-6xy+5xy)+(-4xy^2+5xy^2-xy^2)$
$=-xy$
将$x=2025$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=-2025×2=-4050$
【答案】
$-4050$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查去括号与合并同类项的运算规则，化简后再代入数值可大幅降低计算量，熟练掌握基础运算法则即可准确解答。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步去括号，注意括号前的系数要乘括号内的每一项，若括号前是正号，去括号后各项符号不变；第二步合并同类项，将所含字母相同、且相同字母的指数也相同的项合并，系数相加减，字母和字母的指数保持不变；第三步代入数值计算，化简完成后代入已知的x、y的值计算结果，比直接代入原式计算更简便。
【解析】
解：先去括号：
原式$=-6xy -4xy^2 +5xy^2 +5xy -xy^2$
再合并同类项：
$=(-6xy+5xy)+(-4xy^2+5xy^2-xy^2)$
$=-xy$
将$x=2025$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=-2025×2=-4050$
【答案】
$-4050$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查去括号与合并同类项的运算规则，化简后再代入数值可大幅降低计算量，熟练掌握基础运算法则即可准确解答。
【难度系数】
0.8
20. (★★)已知$A=3x^2+bx+6$，$B=6x^2+4x+1$.
(1)当$b=2$时,求$2A-B$;
(2)若$2A-B$的值与$x$无关,求$b$的值.
(1)当$b=2$时,求$2A-B$;
(2)若$2A-B$的值与$x$无关,求$b$的值.
答案
解：
(1) 当$b=2$时，
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2+2x+6)-(6x^2+4x+1)\\&=6x^2+4x+12-6x^2-4x-1\\&=11\end{aligned}$
(2) 对任意$b$，先化简$2A-B$：
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2+bx+6)-(6x^2+4x+1)\\&=6x^2+2bx+12-6x^2-4x-1\\&=(2b-4)x+11\end{aligned}$
因为$2A-B$的值与$x$无关，所以含$x$的项的系数为0，
即$2b-4=0$，
解得$b=2$。
综上，(1) $2A-B$的值为$\boldsymbol{11}$；(2) $b$的值为$\boldsymbol{2}$。
(1) 当$b=2$时，
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2+2x+6)-(6x^2+4x+1)\\&=6x^2+4x+12-6x^2-4x-1\\&=11\end{aligned}$
(2) 对任意$b$，先化简$2A-B$：
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2+bx+6)-(6x^2+4x+1)\\&=6x^2+2bx+12-6x^2-4x-1\\&=(2b-4)x+11\end{aligned}$
因为$2A-B$的值与$x$无关，所以含$x$的项的系数为0，
即$2b-4=0$，
解得$b=2$。
综上，(1) $2A-B$的值为$\boldsymbol{11}$；(2) $b$的值为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先将$b=2$代入$A$的表达式，再按照$2A-B$的运算要求，先计算$2A$再减去$B$，依据整式加减的规则，先去括号，再合并同类项即可得到结果。
(2) 求解第二问时，先不代入$b$的值，先对$2A-B$进行化简合并同类项，若$2A-B$的值与$x$无关，说明含$x$的项的系数为0（此时无论$x$取何值，含$x$的项结果都为0，不会影响最终结果），据此列方程求解$b$的值即可。
【解析】
(1) 当$b=2$时，
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2+2x+6)-(6x^2+4x+1)\\&=6x^2+4x+12-6x^2-4x-1\\&=11\end{aligned}$
(2) 先化简$2A-B$：
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2+bx+6)-(6x^2+4x+1)\\&=6x^2+2bx+12-6x^2-4x-1\\&=(2b-4)x+11\end{aligned}$
因为$2A-B$的值与$x$无关，所以含$x$的项的系数为0，
即$2b-4=0$，
解得$b=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式与字母无关的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，第一问侧重考查代入求值、去括号及合并同类项的基础运算能力，第二问需要理解代数式值与某个字母无关的核心特征，是整式章节的常考题型，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求解第一问时，先将$b=2$代入$A$的表达式，再按照$2A-B$的运算要求，先计算$2A$再减去$B$，依据整式加减的规则，先去括号，再合并同类项即可得到结果。
(2) 求解第二问时，先不代入$b$的值，先对$2A-B$进行化简合并同类项，若$2A-B$的值与$x$无关，说明含$x$的项的系数为0（此时无论$x$取何值，含$x$的项结果都为0，不会影响最终结果），据此列方程求解$b$的值即可。
【解析】
(1) 当$b=2$时，
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2+2x+6)-(6x^2+4x+1)\\&=6x^2+4x+12-6x^2-4x-1\\&=11\end{aligned}$
(2) 先化简$2A-B$：
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2+bx+6)-(6x^2+4x+1)\\&=6x^2+2bx+12-6x^2-4x-1\\&=(2b-4)x+11\end{aligned}$
因为$2A-B$的值与$x$无关，所以含$x$的项的系数为0，
即$2b-4=0$，
解得$b=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式与字母无关的条件；解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，第一问侧重考查代入求值、去括号及合并同类项的基础运算能力，第二问需要理解代数式值与某个字母无关的核心特征，是整式章节的常考题型，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
21. (★★)已知$4x^2 -6xy=-5$，$6y^2 -4xy=20$，则式子$2x^2 -xy -3y^2$的值是 【 】
A.$-7.5$
B.$-12.5$
C.$5$
D.$7.5$
A.$-7.5$
B.$-12.5$
C.$5$
D.$7.5$
答案
B
解析
【分析】
观察待求式子与已知两个等式的系数特征可知，待求式中$2x^2$的系数是已知第一个式子$x^2$系数4的$\frac{1}{2}$，待求式中$-3y^2$的系数是已知第二个式子$y^2$系数6的$-\frac{1}{2}$，因此可先利用等式的性质对两个已知等式分别做除法变形，再将变形后的两个式子相加，即可直接得到待求式子的值，无需单独求出x、y的取值。
【解析】
解：已知①$4x^2 -6xy=-5$，②$6y^2 -4xy=20$
将等式①左右两边同时除以2，得：
$\frac{4x^2 -6xy}{2}=\frac{-5}{2}$
化简得：$2x^2 -3xy=-2.5$ ---③
将等式②左右两边同时除以$-2$，得：
$\frac{6y^2 -4xy}{-2}=\frac{20}{-2}$
化简得：$-3y^2 +2xy=-10$ ---④
将③和④的左右两边分别相加：
左边：$(2x^2 -3xy)+(-3y^2 +2xy)=2x^2 -xy -3y^2$
右边：$-2.5+(-10)=-12.5$
因此$2x^2 -xy -3y^2=-12.5$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，等式的性质
【点评】
本题主要考查整体思想在代数式求值中的应用，解题的核心是找准已知等式和待求式的系数关联，通过变形直接凑出目标式，大幅简化计算过程，避免了求解未知数的复杂运算。
【难度系数】
0.6
观察待求式子与已知两个等式的系数特征可知，待求式中$2x^2$的系数是已知第一个式子$x^2$系数4的$\frac{1}{2}$，待求式中$-3y^2$的系数是已知第二个式子$y^2$系数6的$-\frac{1}{2}$，因此可先利用等式的性质对两个已知等式分别做除法变形，再将变形后的两个式子相加，即可直接得到待求式子的值，无需单独求出x、y的取值。
【解析】
解：已知①$4x^2 -6xy=-5$，②$6y^2 -4xy=20$
将等式①左右两边同时除以2，得：
$\frac{4x^2 -6xy}{2}=\frac{-5}{2}$
化简得：$2x^2 -3xy=-2.5$ ---③
将等式②左右两边同时除以$-2$，得：
$\frac{6y^2 -4xy}{-2}=\frac{20}{-2}$
化简得：$-3y^2 +2xy=-10$ ---④
将③和④的左右两边分别相加：
左边：$(2x^2 -3xy)+(-3y^2 +2xy)=2x^2 -xy -3y^2$
右边：$-2.5+(-10)=-12.5$
因此$2x^2 -xy -3y^2=-12.5$
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，等式的性质
【点评】
本题主要考查整体思想在代数式求值中的应用，解题的核心是找准已知等式和待求式的系数关联，通过变形直接凑出目标式，大幅简化计算过程，避免了求解未知数的复杂运算。
【难度系数】
0.6
22. (★★)当$x=1$时，代数式$px^3+qx+1$的值为2026，则当$x=-1$时，代数式$px^3+qx+1$的值为
【 】
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-2025$
D.$-2026$
【 】
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-2025$
D.$-2026$
答案
A
解析
【分析】
解决这道题的思路分为两步：第一步，先将x=1代入已知代数式，求出p与q的和；第二步，利用负数的奇次幂是负数的性质，将x=-1代入代数式，变形后把p+q的值整体代入计算即可，不需要单独求出p、q的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
当x=1时，代入代数式$px^3+qx+1$得：
$p×1^3 + q×1 +1 = 2026$
化简得：$p+q+1=2026$，因此$p+q=2026-1=2025$。
当x=-1时，代入代数式$px^3+qx+1$得：
$p×(-1)^3 + q×(-1) +1 = -p -q +1$
将式子变形为：$-(p+q) +1$
把$p+q=2025$代入上式得：
$-2025 +1 = -2024$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；整体代入法；有理数乘方性质
【点评】
本题是代数式求值类的基础题型，解题核心是利用已知条件得到p+q的整体值，再代入目标代数式运算，避免了求解单个未知数的繁琐，体现了整体代入思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
解决这道题的思路分为两步：第一步，先将x=1代入已知代数式，求出p与q的和；第二步，利用负数的奇次幂是负数的性质，将x=-1代入代数式，变形后把p+q的值整体代入计算即可，不需要单独求出p、q的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
当x=1时，代入代数式$px^3+qx+1$得：
$p×1^3 + q×1 +1 = 2026$
化简得：$p+q+1=2026$，因此$p+q=2026-1=2025$。
当x=-1时，代入代数式$px^3+qx+1$得：
$p×(-1)^3 + q×(-1) +1 = -p -q +1$
将式子变形为：$-(p+q) +1$
把$p+q=2025$代入上式得：
$-2025 +1 = -2024$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；整体代入法；有理数乘方性质
【点评】
本题是代数式求值类的基础题型，解题核心是利用已知条件得到p+q的整体值，再代入目标代数式运算，避免了求解单个未知数的繁琐，体现了整体代入思想在代数运算中的应用。
【难度系数】
0.7
23. (★★★)材料一:对于任意三位自然数,三个数字均不为0,百位数字小于十位数字,十位数字小于个位数字,且百位数字与个位数字的和是十位数字的三倍,称为“顺数”.例如:125是“顺数”,因为1,2,5都不为0,1＜2＜5,且$1+5=3×2$;568不是“顺数”,虽然5,6,8都不为0,5＜6＜8,但$5+8≠3×6$.
材料二:若一个整数的各位数字之和能被3整除,则这个数也能被3整除.
(1)349 “顺数”,457 “顺数”;(填“是”或“不是”)
(2)写出所有能被3整除的“顺数”:
.
材料二:若一个整数的各位数字之和能被3整除,则这个数也能被3整除.
(1)349 “顺数”,457 “顺数”;(填“是”或“不是”)
(2)写出所有能被3整除的“顺数”:
.
答案
138，237。
解析
【分析】
(1)判断一个数是否为“顺数”，只需严格对照“顺数”的三个判定条件：①三个数字均不为0；②百位数字＜十位数字＜个位数字；③百位数字与个位数字的和是十位数字的3倍，逐一验证即可。
(2)求能被3整除的“顺数”时，先设“顺数”的百位、十位、个位数字分别为a、b、c（均为1~9的正整数），先根据“顺数”定义得到$a＜b＜c$、$a+c=3b$；再结合能被3整除的特征：各位数字之和能被3整除，将$a+c$替换为$3b$，可得数字总和为$4b$，因此$4b$能被3整除，推出$b$是3的倍数；再结合$b$的取值范围（个位数字$c≤9$且$c＞b$，百位数字$a≥1$且$a＜b$）筛选出$b$的可能值，最后代入求出对应$a$、$c$，验证大小关系即可得到所有符合条件的数。
【解析】
(1)验证349：三个数字3、4、9都不为0，$3＜4＜9$，且$3+9=12=3×4$，满足所有“顺数”条件，故349是“顺数”；
验证457：$4+7=11$，$3×5=15$，$11≠15$，不满足百位与个位的和是十位的3倍，故457不是“顺数”。
(2)设“顺数”的百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$，其中$a、b、c$均为1到9的正整数，根据“顺数”定义可得：
① $a ＜ b ＜ c$；
② $a + c = 3b$。
∵该数能被3整除，根据材料二结论，各位数字之和$a+b+c$能被3整除，
将②代入得：$a+b+c = 3b + b = 4b$，即$4b$能被3整除，
∵4和3互质，
∴$b$是3的倍数。
结合$a ＜ b ＜ c$，$c≤9$，$a≥1$，可得$b$的可能取值为3、6：
当$b=6$时，$a+c=3×6=18$，两个一位数相加得18只能是$9+9$，不符合$a＜6＜c$的要求，舍去；
当$b=3$时，$a+c=3×3=9$，且$a＜3$，$a≥1$，因此$a$可取1或2：
① $a=1$时，$c=9-1=8$，满足$1＜3＜8$，对应数为138；
② $a=2$时，$c=9-2=7$，满足$2＜3＜7$，对应数为237。
综上，所有能被3整除的“顺数”为138、237。
【答案】
(1)是；不是
(2)138，237
【知识点】
新定义理解，3的整除特征，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类创新题，核心是准确把握新定义的判定规则，结合整除性质逐步缩小未知量的取值范围，再通过分类讨论验证得到最终结果，侧重考查逻辑推理能力和严谨的分析习惯。
【难度系数】
0.6
(1)判断一个数是否为“顺数”，只需严格对照“顺数”的三个判定条件：①三个数字均不为0；②百位数字＜十位数字＜个位数字；③百位数字与个位数字的和是十位数字的3倍，逐一验证即可。
(2)求能被3整除的“顺数”时，先设“顺数”的百位、十位、个位数字分别为a、b、c（均为1~9的正整数），先根据“顺数”定义得到$a＜b＜c$、$a+c=3b$；再结合能被3整除的特征：各位数字之和能被3整除，将$a+c$替换为$3b$，可得数字总和为$4b$，因此$4b$能被3整除，推出$b$是3的倍数；再结合$b$的取值范围（个位数字$c≤9$且$c＞b$，百位数字$a≥1$且$a＜b$）筛选出$b$的可能值，最后代入求出对应$a$、$c$，验证大小关系即可得到所有符合条件的数。
【解析】
(1)验证349：三个数字3、4、9都不为0，$3＜4＜9$，且$3+9=12=3×4$，满足所有“顺数”条件，故349是“顺数”；
验证457：$4+7=11$，$3×5=15$，$11≠15$，不满足百位与个位的和是十位的3倍，故457不是“顺数”。
(2)设“顺数”的百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$，其中$a、b、c$均为1到9的正整数，根据“顺数”定义可得：
① $a ＜ b ＜ c$；
② $a + c = 3b$。
∵该数能被3整除，根据材料二结论，各位数字之和$a+b+c$能被3整除，
将②代入得：$a+b+c = 3b + b = 4b$，即$4b$能被3整除，
∵4和3互质，
∴$b$是3的倍数。
结合$a ＜ b ＜ c$，$c≤9$，$a≥1$，可得$b$的可能取值为3、6：
当$b=6$时，$a+c=3×6=18$，两个一位数相加得18只能是$9+9$，不符合$a＜6＜c$的要求，舍去；
当$b=3$时，$a+c=3×3=9$，且$a＜3$，$a≥1$，因此$a$可取1或2：
① $a=1$时，$c=9-1=8$，满足$1＜3＜8$，对应数为138；
② $a=2$时，$c=9-2=7$，满足$2＜3＜7$，对应数为237。
综上，所有能被3整除的“顺数”为138、237。
【答案】
(1)是；不是
(2)138，237
【知识点】
新定义理解，3的整除特征，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类创新题，核心是准确把握新定义的判定规则，结合整除性质逐步缩小未知量的取值范围，再通过分类讨论验证得到最终结果，侧重考查逻辑推理能力和严谨的分析习惯。
【难度系数】
0.6
