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12. (★★)当$a=1,b=-2$时,求$\frac{1}{2}(a-b)^2 +$ 
的值.
的值.答案
解：
当$a=1$，$b=-2$时，
$a-b=1-(-2)=3$，
$a+b=1+(-2)=-1$。
原式$=\frac{1}{2}(a-b)^2 - \frac{(a-b)^2}{6} + \frac{1}{4}(a+b)^2 + \frac{(a+b)^2}{3}$
$= (\frac{1}{2}-\frac{1}{6})(a-b)^2 + (\frac{1}{4}+\frac{1}{3})(a+b)^2$
$= \frac{1}{3}(a-b)^2 + \frac{7}{12}(a+b)^2$
将$a-b=3$，$a+b=-1$代入得：
原式$=\frac{1}{3} × 3^2 + \frac{7}{12} × (-1)^2$
$=\frac{1}{3} × 9 + \frac{7}{12} × 1$
$=3 + \frac{7}{12}$
$=\frac{43}{12}$
当$a=1$，$b=-2$时，
$a-b=1-(-2)=3$，
$a+b=1+(-2)=-1$。
原式$=\frac{1}{2}(a-b)^2 - \frac{(a-b)^2}{6} + \frac{1}{4}(a+b)^2 + \frac{(a+b)^2}{3}$
$= (\frac{1}{2}-\frac{1}{6})(a-b)^2 + (\frac{1}{4}+\frac{1}{3})(a+b)^2$
$= \frac{1}{3}(a-b)^2 + \frac{7}{12}(a+b)^2$
将$a-b=3$，$a+b=-1$代入得：
原式$=\frac{1}{3} × 3^2 + \frac{7}{12} × (-1)^2$
$=\frac{1}{3} × 9 + \frac{7}{12} × 1$
$=3 + \frac{7}{12}$
$=\frac{43}{12}$
解析
【分析】
拿到本题的代数式求值问题，不要直接代入a、b的值计算，可先观察式子结构：原式仅含$(a+b)^2$和$(a-b)^2$两类项，我们可以先计算出$a+b$、$a-b$的整体值，再将原式中同类项合并化简，最后代入整体值计算，能大幅简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
当$a=1$，$b=-2$时：
先计算整体值：$a-b=1-(-2)=3$，$a+b=1+(-2)=-1$。
对原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}(a-b)^2 - \frac{(a-b)^2}{6} + \frac{1}{4}(a+b)^2 + \frac{(a+b)^2}{3}\\&= (\frac{1}{2}-\frac{1}{6})(a-b)^2 + (\frac{1}{4}+\frac{1}{3})(a+b)^2\\&= \frac{1}{3}(a-b)^2 + \frac{7}{12}(a+b)^2\end{aligned}$
将$a-b=3$，$a+b=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3} × 3^2 + \frac{7}{12} × (-1)^2\\&=\frac{1}{3} × 9 + \frac{7}{12} × 1\\&=3 + \frac{7}{12}\\&=\frac{43}{12}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{43}{12}$
【知识点】
代数式求值；合并同类项；有理数混合运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题时运用整体代入思想可简化计算，建议先观察代数式结构，优先合并同类项再代入数值，能有效减少计算量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
拿到本题的代数式求值问题，不要直接代入a、b的值计算，可先观察式子结构：原式仅含$(a+b)^2$和$(a-b)^2$两类项，我们可以先计算出$a+b$、$a-b$的整体值，再将原式中同类项合并化简，最后代入整体值计算，能大幅简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
当$a=1$，$b=-2$时：
先计算整体值：$a-b=1-(-2)=3$，$a+b=1+(-2)=-1$。
对原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}(a-b)^2 - \frac{(a-b)^2}{6} + \frac{1}{4}(a+b)^2 + \frac{(a+b)^2}{3}\\&= (\frac{1}{2}-\frac{1}{6})(a-b)^2 + (\frac{1}{4}+\frac{1}{3})(a+b)^2\\&= \frac{1}{3}(a-b)^2 + \frac{7}{12}(a+b)^2\end{aligned}$
将$a-b=3$，$a+b=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3} × 3^2 + \frac{7}{12} × (-1)^2\\&=\frac{1}{3} × 9 + \frac{7}{12} × 1\\&=3 + \frac{7}{12}\\&=\frac{43}{12}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{43}{12}$
【知识点】
代数式求值；合并同类项；有理数混合运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题时运用整体代入思想可简化计算，建议先观察代数式结构，优先合并同类项再代入数值，能有效减少计算量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
13. (★)单项式$\frac{4}{3}π r^3$表示球的体积，其中π表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是
【 】
A.系数是$\frac{4}{3}$，次数是3
B.系数是$\frac{4}{3}π$，次数是3
C.系数是$\frac{4}{3}$，次数是4
D.系数是$\frac{4}{3}π$，次数是4
【 】
A.系数是$\frac{4}{3}$，次数是3
B.系数是$\frac{4}{3}π$，次数是3
C.系数是$\frac{4}{3}$，次数是4
D.系数是$\frac{4}{3}π$，次数是4
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是单项式中的数字因数；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。解题时要注意：圆周率π是常数，不是字母，计算系数时要包含π，计算次数时不需要算π的指数。接下来先找这个单项式的数字因数得到系数，再统计字母的指数和得到次数，最后对应选项判断即可。
【解析】
根据单项式系数、次数的定义：
1. 求系数：单项式$\frac{4}{3}π r^3$中，π是固定的常数，因此数字因数是$\frac{4}{3}π$，即该单项式的系数为$\frac{4}{3}π$；
2. 求次数：单项式中只有字母r，r的指数是3，因此该单项式的次数是3。
综上，选项B符合结论。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式概念的基础考查题，易错点是容易误将π当作字母，从而错误计算系数和次数，只要牢记π是常数，准确掌握系数、次数的定义即可正确作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是单项式中的数字因数；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。解题时要注意：圆周率π是常数，不是字母，计算系数时要包含π，计算次数时不需要算π的指数。接下来先找这个单项式的数字因数得到系数，再统计字母的指数和得到次数，最后对应选项判断即可。
【解析】
根据单项式系数、次数的定义：
1. 求系数：单项式$\frac{4}{3}π r^3$中，π是固定的常数，因此数字因数是$\frac{4}{3}π$，即该单项式的系数为$\frac{4}{3}π$；
2. 求次数：单项式中只有字母r，r的指数是3，因此该单项式的次数是3。
综上，选项B符合结论。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式概念的基础考查题，易错点是容易误将π当作字母，从而错误计算系数和次数，只要牢记π是常数，准确掌握系数、次数的定义即可正确作答。
【难度系数】
0.8
14. (★)已知多项式$3xy - 2xy^2 -5x^3y^3 -1$,
按要求解答下列问题:
(1)填空:该多项式的次数是________,
二次项是________,常数项是________;
(2)请将该多项式按$y$的降幂重新排列.
按要求解答下列问题:
(1)填空:该多项式的次数是________,
二次项是________,常数项是________;
(2)请将该多项式按$y$的降幂重新排列.
答案
解：
(1) 该多项式的次数是$\boldsymbol{6}$，二次项是$\boldsymbol{3xy}$，常数项是$\boldsymbol{-1}$；
(2) 将该多项式按$y$的降幂重新排列为：
$-5x^3y^3 - 2xy^2 + 3xy - 1$
(1) 该多项式的次数是$\boldsymbol{6}$，二次项是$\boldsymbol{3xy}$，常数项是$\boldsymbol{-1}$；
(2) 将该多项式按$y$的降幂重新排列为：
$-5x^3y^3 - 2xy^2 + 3xy - 1$
解析
【分析】
本题考查多项式的基础概念与降幂排列方法。解题思路如下：（1）先回忆相关定义：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，单项式的次数是所有字母的指数和；二次项是次数为2的项；常数项是不含字母的项。先拆分多项式的所有项，分别计算每个项的次数，再对应填空即可。（2）按y的降幂排列的规则是：将各个项按照y的指数从大到小的顺序排列，注意移动项时要连同项前面的符号一起移动，不改变原式的大小。
【解析】
(1) 先拆分多项式$3xy - 2xy^2 -5x^3y^3 -1$的各个项：$3xy$、$-2xy^2$、$-5x^3y^3$、$-1$。
分别计算每个项的次数：
$3xy$的次数：$1+1=2$，是二次项；
$-2xy^2$的次数：$1+2=3$；
$-5x^3y^3$的次数：$3+3=6$，是最高次项；
$-1$是不含字母的项，为常数项。
因此该多项式的次数是6，二次项是$3xy$，常数项是$-1$。
(2) 先确定每个项中y的指数：
$-5x^3y^3$中y的指数是3；
$-2xy^2$中y的指数是2；
$3xy$中y的指数是1；
$-1$中y的指数是0。
按照y的指数从大到小排列，注意带项的符号移动，得到排列结果。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{3xy}$，$\boldsymbol{-1}$；
(2) $\boldsymbol{-5x^3y^3 - 2xy^2 + 3xy - 1}$
【知识点】
多项式的次数，多项式的项，降幂排列
【点评】
本题属于多项式概念的基础考查题，重点要求掌握多项式次数、项、常数项的定义，以及按指定字母排序的规则，解题时需注意移动多项式的项时要连同项前的符号一同移动，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
本题考查多项式的基础概念与降幂排列方法。解题思路如下：（1）先回忆相关定义：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，单项式的次数是所有字母的指数和；二次项是次数为2的项；常数项是不含字母的项。先拆分多项式的所有项，分别计算每个项的次数，再对应填空即可。（2）按y的降幂排列的规则是：将各个项按照y的指数从大到小的顺序排列，注意移动项时要连同项前面的符号一起移动，不改变原式的大小。
【解析】
(1) 先拆分多项式$3xy - 2xy^2 -5x^3y^3 -1$的各个项：$3xy$、$-2xy^2$、$-5x^3y^3$、$-1$。
分别计算每个项的次数：
$3xy$的次数：$1+1=2$，是二次项；
$-2xy^2$的次数：$1+2=3$；
$-5x^3y^3$的次数：$3+3=6$，是最高次项；
$-1$是不含字母的项，为常数项。
因此该多项式的次数是6，二次项是$3xy$，常数项是$-1$。
(2) 先确定每个项中y的指数：
$-5x^3y^3$中y的指数是3；
$-2xy^2$中y的指数是2；
$3xy$中y的指数是1；
$-1$中y的指数是0。
按照y的指数从大到小排列，注意带项的符号移动，得到排列结果。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{3xy}$，$\boldsymbol{-1}$；
(2) $\boldsymbol{-5x^3y^3 - 2xy^2 + 3xy - 1}$
【知识点】
多项式的次数，多项式的项，降幂排列
【点评】
本题属于多项式概念的基础考查题，重点要求掌握多项式次数、项、常数项的定义，以及按指定字母排序的规则，解题时需注意移动多项式的项时要连同项前的符号一同移动，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
15. (★) 有下列代数式: ①$-\dfrac{1}{2}mn$, ②$m$, ③$\dfrac{1}{2}$, ④$\dfrac{b}{a}$, ⑤$2m+1$, ⑥$\dfrac{x-y}{5}$, ⑦$\dfrac{2x+y}{x-y}$, ⑧$x^2+2x+\dfrac{2}{3}$, ⑨$y^3 -5y+\dfrac{3}{y}$. 其中整式有(只填序号).
答案
①②③⑤⑥⑧
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确整式的判定标准：整式是单项式和多项式的统称，判断的核心要点是代数式的分母中不能含有字母。解题时我们只需按照这个标准逐个核对给出的代数式，筛选出符合要求的即可。
【解析】
首先明确整式的判定规则：分母中含有字母的代数式不属于整式，单独的数、单独的字母、数与字母的乘积（单项式），以及几个单项式的和（多项式）都属于整式。我们逐个分析每个代数式：
①$-\dfrac{1}{2}mn$是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
②$m$是单独的字母，属于单项式，是整式；
③$\dfrac{1}{2}$是单独的数，属于单项式，是整式；
④$\dfrac{b}{a}$的分母含有字母$a$，不是整式；
⑤$2m+1$是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑥$\dfrac{x-y}{5}$可变形为$\dfrac{1}{5}x-\dfrac{1}{5}y$，是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑦$\dfrac{2x+y}{x-y}$的分母含有字母$x、y$，不是整式；
⑧$x^2+2x+\dfrac{2}{3}$是三个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑨$y^3 -5y+\dfrac{3}{y}$的最后一项分母含有字母$y$，不是整式。
综上，整式的序号为①②③⑤⑥⑧。
【答案】
①②③⑤⑥⑧
【知识点】
整式的定义、单项式、多项式
【点评】
本题属于整式识别的基础题，解题关键是抓住“整式的分母不含字母”这一核心判定要点，注意不要将分母为常数的分数形式代数式误判为非整式。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要明确整式的判定标准：整式是单项式和多项式的统称，判断的核心要点是代数式的分母中不能含有字母。解题时我们只需按照这个标准逐个核对给出的代数式，筛选出符合要求的即可。
【解析】
首先明确整式的判定规则：分母中含有字母的代数式不属于整式，单独的数、单独的字母、数与字母的乘积（单项式），以及几个单项式的和（多项式）都属于整式。我们逐个分析每个代数式：
①$-\dfrac{1}{2}mn$是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
②$m$是单独的字母，属于单项式，是整式；
③$\dfrac{1}{2}$是单独的数，属于单项式，是整式；
④$\dfrac{b}{a}$的分母含有字母$a$，不是整式；
⑤$2m+1$是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑥$\dfrac{x-y}{5}$可变形为$\dfrac{1}{5}x-\dfrac{1}{5}y$，是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑦$\dfrac{2x+y}{x-y}$的分母含有字母$x、y$，不是整式；
⑧$x^2+2x+\dfrac{2}{3}$是三个单项式的和，属于多项式，是整式；
⑨$y^3 -5y+\dfrac{3}{y}$的最后一项分母含有字母$y$，不是整式。
综上，整式的序号为①②③⑤⑥⑧。
【答案】
①②③⑤⑥⑧
【知识点】
整式的定义、单项式、多项式
【点评】
本题属于整式识别的基础题，解题关键是抓住“整式的分母不含字母”这一核心判定要点，注意不要将分母为常数的分数形式代数式误判为非整式。
【难度系数】
0.9
16. (★)如果单项式$2x^m y$与$-5x^4 y^{-n}$是同类项，那么$n - m =$.
答案
$\boldsymbol{-5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式叫做同类项。首先观察两个单项式都含有x、y两个字母，满足同类项的第一个条件，接下来只需让相同字母的指数对应相等即可：x的指数在两个单项式中分别为m和4，因此可得m=4；y的指数在第一个单项式中是省略书写的1，第二个单项式中是-n，因此可得1=-n，求出n的值后代入n-m计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$2x^m y$与$-5x^4 y^{-n}$是同类项，
根据同类项的定义，相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}m=4\\1=-n\end{cases}$
解得：$m=4$，$n=-1$，
将m、n代入$n-m$得：
$n-m=-1-4=-5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题是同类项定义的基础应用题型，解题核心是抓住同类项“字母相同、相同字母指数也相同”的两个特征，注意不要遗漏单独字母隐含的指数为1的情况，掌握定义即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式叫做同类项。首先观察两个单项式都含有x、y两个字母，满足同类项的第一个条件，接下来只需让相同字母的指数对应相等即可：x的指数在两个单项式中分别为m和4，因此可得m=4；y的指数在第一个单项式中是省略书写的1，第二个单项式中是-n，因此可得1=-n，求出n的值后代入n-m计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$2x^m y$与$-5x^4 y^{-n}$是同类项，
根据同类项的定义，相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}m=4\\1=-n\end{cases}$
解得：$m=4$，$n=-1$，
将m、n代入$n-m$得：
$n-m=-1-4=-5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题是同类项定义的基础应用题型，解题核心是抓住同类项“字母相同、相同字母指数也相同”的两个特征，注意不要遗漏单独字母隐含的指数为1的情况，掌握定义即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
17. (★)下列各式去括号正确的是【 】
A.$-(-m-n)=m-n$
B.$(-a^2)+2(a-2b)=-a^2+2a-2b$
C.$x-(y-1)=x-y+1$
D.$x^2-\frac{1}{2}(x^2-y^2)=x^2-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2$
A.$-(-m-n)=m-n$
B.$(-a^2)+2(a-2b)=-a^2+2a-2b$
C.$x-(y-1)=x-y+1$
D.$x^2-\frac{1}{2}(x^2-y^2)=x^2-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查去括号的相关运算，解题思路如下：首先回忆去括号的核心规则：1. 括号前是正号时，去掉括号后括号内所有项的符号不变；括号前是负号时，去掉括号后括号内所有项的符号都要改变；2. 若括号前有不为±1的系数，需要用这个系数乘括号内的每一项，不能漏乘。接下来我们逐一验证四个选项的去括号结果是否符合规则，就能选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$-(-m-n)$，括号外因数为$-1$，去括号后两项均变号，结果为$m+n$，与选项中$m-n$不符，故A错误；
B选项：$(-a^2)+2(a-2b)$，先将系数2乘括号内的每一项，得$(-a^2)+2a-4b=-a^2+2a-4b$，与选项中$-a^2+2a-2b$不符，故B错误；
C选项：$x-(y-1)$，括号外因数为$-1$，去括号后各项变号，结果为$x-y+1$，与选项表述一致，故C正确；
D选项：$x^2-\frac{1}{2}(x^2-y^2)$，将$-\frac{1}{2}$乘括号内每一项，得$x^2-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2$，与选项中$x^2-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2$不符，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则、乘法分配律
【点评】
本题是去括号运算的基础题型，常见的错误是漏乘括号内的项、忘记改变括号内项的符号，熟练掌握去括号规则和乘法分配律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查去括号的相关运算，解题思路如下：首先回忆去括号的核心规则：1. 括号前是正号时，去掉括号后括号内所有项的符号不变；括号前是负号时，去掉括号后括号内所有项的符号都要改变；2. 若括号前有不为±1的系数，需要用这个系数乘括号内的每一项，不能漏乘。接下来我们逐一验证四个选项的去括号结果是否符合规则，就能选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$-(-m-n)$，括号外因数为$-1$，去括号后两项均变号，结果为$m+n$，与选项中$m-n$不符，故A错误；
B选项：$(-a^2)+2(a-2b)$，先将系数2乘括号内的每一项，得$(-a^2)+2a-4b=-a^2+2a-4b$，与选项中$-a^2+2a-2b$不符，故B错误；
C选项：$x-(y-1)$，括号外因数为$-1$，去括号后各项变号，结果为$x-y+1$，与选项表述一致，故C正确；
D选项：$x^2-\frac{1}{2}(x^2-y^2)$，将$-\frac{1}{2}$乘括号内每一项，得$x^2-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2$，与选项中$x^2-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2$不符，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则、乘法分配律
【点评】
本题是去括号运算的基础题型，常见的错误是漏乘括号内的项、忘记改变括号内项的符号，熟练掌握去括号规则和乘法分配律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
18. (★★)如图是某软件的表格区,字母A,B,C,…表示列,数字1,2,3,…表示行.列和行相交的部分叫作单元格,用列号和行号表示,如B2表示B列第2行的单元格.用该软件的表格区可以进行数值计算.例如,计算当$x=2,y=-3$时式子$3x - y^2$的值,分别在单元格A2和B2中输入2和-3(即x和y的值),在C2中输入“$=3*A2-B2^2$”(“*”表示乘号,“^”表示乘方),电脑会把计算结果自动填入C2.则C2中的数值应是.
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
首先要明确每个单元格对应的数值：A2=2，B2=-3，C2的表达式对应代数式$3x-y^2$，我们只需将A2、B2的数值代入代数式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算即可，计算时要注意负数乘方的符号处理。
【解析】
由题意得A2=2，B2=-3，代入$3*A2-B2^2$计算：
先算乘方：$(-3)^2=9$
再算乘法：$3×2=6$
最后算减法：$6-9=-3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；乘方运算
【点评】
本题结合表格软件的计算场景考查基础运算，解题关键是读懂题意，准确提取对应数值，遵循运算顺序计算即可，属于基础题。
【难度系数】
0.8
首先要明确每个单元格对应的数值：A2=2，B2=-3，C2的表达式对应代数式$3x-y^2$，我们只需将A2、B2的数值代入代数式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算即可，计算时要注意负数乘方的符号处理。
【解析】
由题意得A2=2，B2=-3，代入$3*A2-B2^2$计算：
先算乘方：$(-3)^2=9$
再算乘法：$3×2=6$
最后算减法：$6-9=-3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；乘方运算
【点评】
本题结合表格软件的计算场景考查基础运算，解题关键是读懂题意，准确提取对应数值，遵循运算顺序计算即可，属于基础题。
【难度系数】
0.8
