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4. (★)有下列式子：$\frac{ab}{3}$，$π$，$a^2 + 2ab + b^2$，$3 - \frac{xy}{2}$，$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{a - b}$，其中单项式有个，多项式有个，整式有个，代数式有个。
答案
解：
根据整式相关定义逐一判断：
单项式为$\frac{ab}{3}$，$π$，共2个；
多项式为$a^2 + 2ab + b^2$，$3-\frac{xy}{2}$，共2个；
整式是单项式与多项式的统称，总数为$2+2=4$个；
题中给出的6个式子均属于代数式，共6个。
答案依次为：$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{6}$。
根据整式相关定义逐一判断：
单项式为$\frac{ab}{3}$，$π$，共2个；
多项式为$a^2 + 2ab + b^2$，$3-\frac{xy}{2}$，共2个；
整式是单项式与多项式的统称，总数为$2+2=4$个；
题中给出的6个式子均属于代数式，共6个。
答案依次为：$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确单项式、多项式、整式、代数式的定义及包含关系：①单项式是数与字母的积，单独的数或字母也属于单项式；②多项式是几个单项式的和；③整式是单项式和多项式的统称，整式的分母不能含有字母；④代数式是用运算符号连接数和字母得到的式子，单独的数或字母也属于代数式。接下来逐个判断给出的6个式子所属类别，最后统计对应类别的数量即可，注意易错点：π是常数，不是字母；分母含字母的式子不属于整式。
【解析】
我们对给出的6个式子逐一判断：
1. $\frac{ab}{3}$：是数$\frac{1}{3}$与字母a、b的乘积，属于单项式，也属于整式、代数式；
2. $π$：是单独的常数，属于单项式，也属于整式、代数式；
3. $a^2 + 2ab + b^2$：是$a^2$、$2ab$、$b^2$三个单项式的和，属于多项式，也属于整式、代数式；
4. $3 - \frac{xy}{2}$：是3、$-\frac{xy}{2}$两个单项式的和，属于多项式，也属于整式、代数式；
5. $\frac{1}{x}$：分母含有字母x，不属于整式，属于代数式；
6. $\frac{1}{a - b}$：分母含有字母a、b，不属于整式，属于代数式。
统计可得：单项式共2个，多项式共2个，整式总数为$2+2=4$个，6个式子均为代数式，共6个。
【答案】
$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{6}$
【知识点】
单项式的定义，多项式的定义，整式与代数式的概念
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题核心是准确区分各相关概念的差异，尤其要注意π是常数而非字母、分母含字母的式子不是整式这两个易错点，熟练掌握定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确单项式、多项式、整式、代数式的定义及包含关系：①单项式是数与字母的积，单独的数或字母也属于单项式；②多项式是几个单项式的和；③整式是单项式和多项式的统称，整式的分母不能含有字母；④代数式是用运算符号连接数和字母得到的式子，单独的数或字母也属于代数式。接下来逐个判断给出的6个式子所属类别，最后统计对应类别的数量即可，注意易错点：π是常数，不是字母；分母含字母的式子不属于整式。
【解析】
我们对给出的6个式子逐一判断：
1. $\frac{ab}{3}$：是数$\frac{1}{3}$与字母a、b的乘积，属于单项式，也属于整式、代数式；
2. $π$：是单独的常数，属于单项式，也属于整式、代数式；
3. $a^2 + 2ab + b^2$：是$a^2$、$2ab$、$b^2$三个单项式的和，属于多项式，也属于整式、代数式；
4. $3 - \frac{xy}{2}$：是3、$-\frac{xy}{2}$两个单项式的和，属于多项式，也属于整式、代数式；
5. $\frac{1}{x}$：分母含有字母x，不属于整式，属于代数式；
6. $\frac{1}{a - b}$：分母含有字母a、b，不属于整式，属于代数式。
统计可得：单项式共2个，多项式共2个，整式总数为$2+2=4$个，6个式子均为代数式，共6个。
【答案】
$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{6}$
【知识点】
单项式的定义，多项式的定义，整式与代数式的概念
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题核心是准确区分各相关概念的差异，尤其要注意π是常数而非字母、分母含字母的式子不是整式这两个易错点，熟练掌握定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
5. (★)已知$4x^{2m}y^{n+1}$与$-3x^4y^3$是同类项，则$2m+n=$.
答案
解：
∵$4x^{2m}y^{n+1}$与$-3x^4y^3$是同类项，
∴可得
$2m=4$，$n+1=3$，
解得$m=2$，$n=2$，
∴$2m+n=4+2=6$。
∵$4x^{2m}y^{n+1}$与$-3x^4y^3$是同类项，
∴可得
$2m=4$，$n+1=3$，
解得$m=2$，$n=2$，
∴$2m+n=4+2=6$。
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。结合本题，两个单项式是同类项，说明x的指数对应相等，y的指数也对应相等，据此列出关于m、n的等式，求解得到m、n的值后，代入式子2m+n计算即可得到结果。
【解析】
∵$4x^{2m}y^{n+1}$与$-3x^4y^3$是同类项，
∴相同字母的指数对应相等，可得：
$2m=4$，$n+1=3$，
分别解两个等式得：$m=2$，$n=2$，
将$m=2$，$n=2$代入$2m+n$得：
$2m+n=2×2+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
同类项的概念；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查同类项的判定规则，只要准确掌握同类项中相同字母指数相等的特点，就能快速列式求解，是整式相关知识点中的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。结合本题，两个单项式是同类项，说明x的指数对应相等，y的指数也对应相等，据此列出关于m、n的等式，求解得到m、n的值后，代入式子2m+n计算即可得到结果。
【解析】
∵$4x^{2m}y^{n+1}$与$-3x^4y^3$是同类项，
∴相同字母的指数对应相等，可得：
$2m=4$，$n+1=3$，
分别解两个等式得：$m=2$，$n=2$，
将$m=2$，$n=2$代入$2m+n$得：
$2m+n=2×2+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
同类项的概念；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查同类项的判定规则，只要准确掌握同类项中相同字母指数相等的特点，就能快速列式求解，是整式相关知识点中的常考基础题。
【难度系数】
0.9
6. (★★)若单项式$\frac{2}{3}x^{m+6}y^{4-n}$与$2y^2x^3$的和仍是单项式，则$(m+n)^{2025}=$.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
解题的突破口是明确“两个单项式的和仍是单项式”说明这两个单项式是同类项。首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。接下来我们可以根据同类项的定义，分别对应x、y的指数列出关于m、n的等式，求解得到m、n的值后，代入$(m+n)^{2025}$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$\frac{2}{3}x^{m+6}y^{4-n}$与$2y^2x^3$的和仍是单项式
∴这两个单项式是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}m+6=3\\4-n=2\end{cases}$
分别解方程：
由$m+6=3$，解得$m=3-6=-3$
由$4-n=2$，解得$n=4-2=2$
将$m=-3$，$n=2$代入$(m+n)^{2025}$得：
$m+n=-3+2=-1$
∵2025是奇数，负数的奇数次幂是负数
∴$(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
同类项的概念，代数式求值，有理数乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同类项定义的理解与应用，解题关键是根据“和为单项式”的条件判断出两个单项式为同类项，进而求出参数的值再代入计算，熟练掌握同类项的判定规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是明确“两个单项式的和仍是单项式”说明这两个单项式是同类项。首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。接下来我们可以根据同类项的定义，分别对应x、y的指数列出关于m、n的等式，求解得到m、n的值后，代入$(m+n)^{2025}$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$\frac{2}{3}x^{m+6}y^{4-n}$与$2y^2x^3$的和仍是单项式
∴这两个单项式是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}m+6=3\\4-n=2\end{cases}$
分别解方程：
由$m+6=3$，解得$m=3-6=-3$
由$4-n=2$，解得$n=4-2=2$
将$m=-3$，$n=2$代入$(m+n)^{2025}$得：
$m+n=-3+2=-1$
∵2025是奇数，负数的奇数次幂是负数
∴$(-1)^{2025}=-1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
同类项的概念，代数式求值，有理数乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同类项定义的理解与应用，解题关键是根据“和为单项式”的条件判断出两个单项式为同类项，进而求出参数的值再代入计算，熟练掌握同类项的判定规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
7. (★)化简：
(1) $(x - y) - (x + y) = \underline{\hspace{8cm}}$.
(2) $(x^2 - 2xy + 3y^2) - 3(x^2 + xy + y^2) = \underline{\hspace{8cm}}$.
(1) $(x - y) - (x + y) = \underline{\hspace{8cm}}$.
(2) $(x^2 - 2xy + 3y^2) - 3(x^2 + xy + y^2) = \underline{\hspace{8cm}}$.
答案
解：
(1) 去括号得：
原式 = x - y - x - y
合并同类项得：
原式 = -2y
(2) 去括号得：
原式 = x² - 2xy + 3y² - 3x² - 3xy - 3y²
合并同类项得：
原式 = -2x² - 5y²？不对不对，哦不对，3y²减3y²是0，剩下x²-3x²=-2x²，-2xy-3xy=-5xy，对，是-2x²-5xy。
最终结果：
(1) $\boldsymbol{-2y}$
(2) $\boldsymbol{-2x^2 -5xy}$
(1) 去括号得：
原式 = x - y - x - y
合并同类项得：
原式 = -2y
(2) 去括号得：
原式 = x² - 2xy + 3y² - 3x² - 3xy - 3y²
合并同类项得：
原式 = -2x² - 5y²？不对不对，哦不对，3y²减3y²是0，剩下x²-3x²=-2x²，-2xy-3xy=-5xy，对，是-2x²-5xy。
最终结果：
(1) $\boldsymbol{-2y}$
(2) $\boldsymbol{-2x^2 -5xy}$
解析
【分析】
这两道题属于整式的加减化简题，解题遵循“去括号→合并同类项”的步骤即可：①去括号时要注意符号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号；如果括号前有数字因数，要把数字因数乘遍括号内的每一项，不能漏乘。②合并同类项时，只需把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) 先去括号：
原式 = x - y - x - y
再合并同类项：x与-x抵消，-y与-y合并，得：
原式 = -2y
(2) 先去括号，将-3乘入第二个括号的每一项：
原式 = x² - 2xy + 3y² - 3x² - 3xy - 3y²
再合并同类项：x²-3x²=-2x²，-2xy-3xy=-5xy，3y²-3y²=0，得：
原式 = -2x² -5xy
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2y}$；(2) $\boldsymbol{-2x^2 -5xy}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考察去括号的符号规则和同类项的合并方法，解题时要注意括号前带负系数时，既要避免符号错误，也要避免漏乘括号内的项。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式的加减化简题，解题遵循“去括号→合并同类项”的步骤即可：①去括号时要注意符号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号；如果括号前有数字因数，要把数字因数乘遍括号内的每一项，不能漏乘。②合并同类项时，只需把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) 先去括号：
原式 = x - y - x - y
再合并同类项：x与-x抵消，-y与-y合并，得：
原式 = -2y
(2) 先去括号，将-3乘入第二个括号的每一项：
原式 = x² - 2xy + 3y² - 3x² - 3xy - 3y²
再合并同类项：x²-3x²=-2x²，-2xy-3xy=-5xy，3y²-3y²=0，得：
原式 = -2x² -5xy
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2y}$；(2) $\boldsymbol{-2x^2 -5xy}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考察去括号的符号规则和同类项的合并方法，解题时要注意括号前带负系数时，既要避免符号错误，也要避免漏乘括号内的项。
【难度系数】
0.8
8. (★★)如果$ a $和$-4b$互为相反数，那么多项式$ 2(-b - 2a + 10) + 3(a + 2b - 3) $的值是
【 】
A.11
B.29
C.0
D.9
【 】
A.11
B.29
C.0
D.9
答案
A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数相加为0，得出a与-4b的等量关系；其次对给出的多项式去括号、合并同类项进行化简；最后将得到的等量关系整体代入化简后的式子计算，即可求出结果。
【解析】
解：
∵a和-4b互为相反数
∴a + (-4b) = 0，即$a - 4b = 0$
先化简多项式：
$\begin{aligned}&2(-b - 2a + 10) + 3(a + 2b - 3)\\=&-2b -4a +20 +3a +6b -9\\=&(-4a + 3a) + (-2b + 6b) + (20 - 9)\\=&-a +4b +11\\=&-(a - 4b) +11\end{aligned}$
将$a - 4b = 0$代入上式，得：
原式$= -0 +11 = 11$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 整式的化简求值
【点评】
本题属于基础题，解题时不需要单独求解a、b的具体值，利用整体代入的思想可以快速计算出结果，能有效考查学生对相反数性质的掌握和整式化简的运算能力。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先根据相反数的性质，互为相反数的两个数相加为0，得出a与-4b的等量关系；其次对给出的多项式去括号、合并同类项进行化简；最后将得到的等量关系整体代入化简后的式子计算，即可求出结果。
【解析】
解：
∵a和-4b互为相反数
∴a + (-4b) = 0，即$a - 4b = 0$
先化简多项式：
$\begin{aligned}&2(-b - 2a + 10) + 3(a + 2b - 3)\\=&-2b -4a +20 +3a +6b -9\\=&(-4a + 3a) + (-2b + 6b) + (20 - 9)\\=&-a +4b +11\\=&-(a - 4b) +11\end{aligned}$
将$a - 4b = 0$代入上式，得：
原式$= -0 +11 = 11$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 整式的化简求值
【点评】
本题属于基础题，解题时不需要单独求解a、b的具体值，利用整体代入的思想可以快速计算出结果，能有效考查学生对相反数性质的掌握和整式化简的运算能力。
【难度系数】
0.8
9. (★★)如图,四边形ABCD是长方形,用代数式表示图中阴影部分的面积为 【 】
A.$\frac{3a}{2}$
B.$\frac{3+a}{2}$
C.$\frac{ab}{2}$
D.$\frac{3+b}{2}$
A.$\frac{3a}{2}$
B.$\frac{3+a}{2}$
C.$\frac{ab}{2}$
D.$\frac{3+b}{2}$
答案
A
解析
【分析】
观察图形可知，阴影部分由两个三角形组成，我们可以用割补法拆分阴影后计算面积：两个三角形的高都等于长方形的宽3，两个三角形的底相加的和恰好等于线段DC的长度a，利用三角形面积公式分别计算两部分面积再相加即可，计算过程中字母b会被抵消，不用被多余条件干扰。
【解析】
将阴影部分拆分为△ABC和△BCE两部分：
1. 计算△ABC的面积：底AB长为b，高等于长方形的宽3，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × b × 3 = \frac{3b}{2}$。
2. 计算△BCE的面积：底对应的长度为$(a-b)$，高等于长方形的宽3，同理得$S_{△ BCE}=\frac{1}{2} × (a-b) × 3 = \frac{3(a-b)}{2}$。
3. 阴影部分总面积为两部分面积之和：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}+S_{△ BCE}=\frac{3b}{2}+\frac{3(a-b)}{2}=\frac{3b+3a-3b}{2}=\frac{3a}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算、整式的加减、割补法求面积
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的基础题，解题核心是合理拆分阴影部分，发现两个三角形同高的特点，简化计算过程，同时要注意区分题目中的有用条件和干扰条件。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，阴影部分由两个三角形组成，我们可以用割补法拆分阴影后计算面积：两个三角形的高都等于长方形的宽3，两个三角形的底相加的和恰好等于线段DC的长度a，利用三角形面积公式分别计算两部分面积再相加即可，计算过程中字母b会被抵消，不用被多余条件干扰。
【解析】
将阴影部分拆分为△ABC和△BCE两部分：
1. 计算△ABC的面积：底AB长为b，高等于长方形的宽3，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × b × 3 = \frac{3b}{2}$。
2. 计算△BCE的面积：底对应的长度为$(a-b)$，高等于长方形的宽3，同理得$S_{△ BCE}=\frac{1}{2} × (a-b) × 3 = \frac{3(a-b)}{2}$。
3. 阴影部分总面积为两部分面积之和：
$S_{阴影}=S_{△ ABC}+S_{△ BCE}=\frac{3b}{2}+\frac{3(a-b)}{2}=\frac{3b+3a-3b}{2}=\frac{3a}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算、整式的加减、割补法求面积
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的基础题，解题核心是合理拆分阴影部分，发现两个三角形同高的特点，简化计算过程，同时要注意区分题目中的有用条件和干扰条件。
【难度系数】
0.7
10. (★★)已知多项式$M=(2x^2+3xy+3x)-2(x^2-xy+x-\frac{1}{2})$。
(1)先化简，再求值，其中$x=\frac{1}{5}$，$y=-1$；
(2)若多项式$M$的值与字母$x$的取值无关，求$y$的值。
(1)先化简，再求值，其中$x=\frac{1}{5}$，$y=-1$；
(2)若多项式$M$的值与字母$x$的取值无关，求$y$的值。
答案
解：
(1) 先化简多项式M：
$\begin{aligned}M&=(2x^2+3xy+3x)-2(x^2-xy+x-\frac{1}{2})\\&=2x^2+3xy+3x-2x^2+2xy-2x+1\\&=5xy+x+1\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{5}$，$y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}M&=5×\frac{1}{5}×(-1)+\frac{1}{5}+1\\&=-1+\frac{1}{5}+1\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
(2) 整理化简后的M可得：$M=(5y+1)x + 1$
因为多项式M的值与字母x的取值无关，
所以含x的项的系数为0，即$5y+1=0$
解得$y=-\frac{1}{5}$
(1) 先化简多项式M：
$\begin{aligned}M&=(2x^2+3xy+3x)-2(x^2-xy+x-\frac{1}{2})\\&=2x^2+3xy+3x-2x^2+2xy-2x+1\\&=5xy+x+1\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{5}$，$y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}M&=5×\frac{1}{5}×(-1)+\frac{1}{5}+1\\&=-1+\frac{1}{5}+1\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
(2) 整理化简后的M可得：$M=(5y+1)x + 1$
因为多项式M的值与字母x的取值无关，
所以含x的项的系数为0，即$5y+1=0$
解得$y=-\frac{1}{5}$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 化简求值类问题首先对多项式M进行整式加减运算，先去括号，注意括号前是负因数时，去括号后括号内每一项都要变号且乘对应系数，再合并同类项得到最简式，最后将x、y的取值代入最简式计算即可得到结果。(2) 若多项式的值与x的取值无关，说明所有含x的项的总系数为0，因此先将化简后的M整理为“x的系数乘x加常数项”的形式，令x的系数等于0，解关于y的一元一次方程即可求出y的值。
【解析】
(1) 先化简多项式$M$：
$\begin{aligned}M&=(2x^2+3xy+3x)-2(x^2-xy+x-\frac{1}{2})\\&=2x^2+3xy+3x-2x^2+2xy-2x+1\\&=5xy+x+1\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{5}$，$y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}M&=5×\frac{1}{5}×(-1)+\frac{1}{5}+1\\&=-1+\frac{1}{5}+1\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
(2) 将化简后的$M$变形，合并含$x$的项：$M=(5y+1)x + 1$
因为多项式$M$的值与字母$x$的取值无关，所以含$x$的项的系数为0，即：
$5y+1=0$
解得$y=-\frac{1}{5}$
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$；(2) $y=-\frac{1}{5}$
【知识点】
整式的加减，化简求值，多项式取值无关问题
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查去括号、合并同类项的运算能力，第二问的取值无关问题是整式章节的常考题型，核心规律是与某字母无关则该字母的所有项系数之和为0，熟练掌握该规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 化简求值类问题首先对多项式M进行整式加减运算，先去括号，注意括号前是负因数时，去括号后括号内每一项都要变号且乘对应系数，再合并同类项得到最简式，最后将x、y的取值代入最简式计算即可得到结果。(2) 若多项式的值与x的取值无关，说明所有含x的项的总系数为0，因此先将化简后的M整理为“x的系数乘x加常数项”的形式，令x的系数等于0，解关于y的一元一次方程即可求出y的值。
【解析】
(1) 先化简多项式$M$：
$\begin{aligned}M&=(2x^2+3xy+3x)-2(x^2-xy+x-\frac{1}{2})\\&=2x^2+3xy+3x-2x^2+2xy-2x+1\\&=5xy+x+1\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{5}$，$y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}M&=5×\frac{1}{5}×(-1)+\frac{1}{5}+1\\&=-1+\frac{1}{5}+1\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
(2) 将化简后的$M$变形，合并含$x$的项：$M=(5y+1)x + 1$
因为多项式$M$的值与字母$x$的取值无关，所以含$x$的项的系数为0，即：
$5y+1=0$
解得$y=-\frac{1}{5}$
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$；(2) $y=-\frac{1}{5}$
【知识点】
整式的加减，化简求值，多项式取值无关问题
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查去括号、合并同类项的运算能力，第二问的取值无关问题是整式章节的常考题型，核心规律是与某字母无关则该字母的所有项系数之和为0，熟练掌握该规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. (★★)已知$a^2+ab=3$，$ab+b^2=6$，求：
(1)$a^2-b^2$的值；
(2)$a^2+4ab+3b^2$的值.
(1)$a^2-b^2$的值；
(2)$a^2+4ab+3b^2$的值.
答案
解：
(1) 已知 $a^2+ab=3$，$ab+b^2=6$，
则 $a^2 - b^2 = (a^2 + ab) - (ab + b^2) = 3 - 6 = -3$。
(2) $a^2 + 4ab + 3b^2 = (a^2 + ab) + 3(ab + b^2)$，
代入已知条件得：原式$= 3 + 3×6 = 21$。
(1) 已知 $a^2+ab=3$，$ab+b^2=6$，
则 $a^2 - b^2 = (a^2 + ab) - (ab + b^2) = 3 - 6 = -3$。
(2) $a^2 + 4ab + 3b^2 = (a^2 + ab) + 3(ab + b^2)$，
代入已知条件得：原式$= 3 + 3×6 = 21$。
解析
【分析】
本题可通过观察待求代数式与已知两个代数式的结构特征，利用整体代入的思想求解，无需单独计算a、b的具体值。(1)观察$a^2 - b^2$，发现将已知的第一个式子减去第二个式子，中间的ab项会相互抵消，即可直接得到$a^2 - b^2$的结果；(2)观察$a^2+4ab+3b^2$，可将其拆分为$(a^2+ab)$加上3倍的$(ab+b^2)$，刚好对应已知的两个代数式，代入数值即可计算结果。
【解析】
(1) 已知$a^2+ab=3$，$ab+b^2=6$，
将两个已知式子相减可得：
$a^2 - b^2 = (a^2 + ab) - (ab + b^2) = 3 - 6 = -3$。
(2) 把待求式$a^2 + 4ab + 3b^2$变形，拆分为已知式子的组合：
$a^2 + 4ab + 3b^2 = (a^2 + ab) + 3ab + 3b^2 = (a^2 + ab) + 3(ab + b^2)$，
代入已知条件计算：
原式$= 3 + 3×6 = 3 + 18 = 21$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{21}$
【知识点】
整式的加减，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是运用整体思想，通过对待求式进行合理变形，转化为已知代数式的和差倍分形式，避免了求解单个字母值的繁琐过程，是整式求值类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
本题可通过观察待求代数式与已知两个代数式的结构特征，利用整体代入的思想求解，无需单独计算a、b的具体值。(1)观察$a^2 - b^2$，发现将已知的第一个式子减去第二个式子，中间的ab项会相互抵消，即可直接得到$a^2 - b^2$的结果；(2)观察$a^2+4ab+3b^2$，可将其拆分为$(a^2+ab)$加上3倍的$(ab+b^2)$，刚好对应已知的两个代数式，代入数值即可计算结果。
【解析】
(1) 已知$a^2+ab=3$，$ab+b^2=6$，
将两个已知式子相减可得：
$a^2 - b^2 = (a^2 + ab) - (ab + b^2) = 3 - 6 = -3$。
(2) 把待求式$a^2 + 4ab + 3b^2$变形，拆分为已知式子的组合：
$a^2 + 4ab + 3b^2 = (a^2 + ab) + 3ab + 3b^2 = (a^2 + ab) + 3(ab + b^2)$，
代入已知条件计算：
原式$= 3 + 3×6 = 3 + 18 = 21$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{21}$
【知识点】
整式的加减，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是运用整体思想，通过对待求式进行合理变形，转化为已知代数式的和差倍分形式，避免了求解单个字母值的繁琐过程，是整式求值类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
