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数学课上,王老师展示了神奇的“读心术”.下面我们一起来跟随王老师,解密神奇的“读心术”.
神奇的“读心术”
组长 组员
王老师让同学们按照下列顺序完成运算:
①取任意一个三位数(设百位数字为$a$,十位数字为$b$,个位数字为$c$),使它的百位数字和个位数字的差大于1;
②交换百位数字和个位数字,构成另一个数;
③求第①步的三位数减第②步的三位数的差;
④交换这个差的百位数字和个位数字,又构成一个新的数;
⑤将第③步所得的差与第④步所得的新数加在一起.
完成后,王老师说,我知道你们的结果.
你知道“读心术”的结果吗?试说明你的理由.
阅读材料
解决问题
(续表)
组长 组员
搜集资料
请查阅相关资料,寻找与数学相关并能用我们所学知识解释的“读心术”游戏.请将你查到的游戏规则写在下面.
请“揭秘”你查到的“读心术”游戏规则.
我来设计
请尝试自己设计一个“读心术”游戏,并和同学交流.
神奇的“读心术”
组长 组员
王老师让同学们按照下列顺序完成运算:
①取任意一个三位数(设百位数字为$a$,十位数字为$b$,个位数字为$c$),使它的百位数字和个位数字的差大于1;
②交换百位数字和个位数字,构成另一个数;
③求第①步的三位数减第②步的三位数的差;
④交换这个差的百位数字和个位数字,又构成一个新的数;
⑤将第③步所得的差与第④步所得的新数加在一起.
完成后,王老师说,我知道你们的结果.
你知道“读心术”的结果吗?试说明你的理由.
阅读材料
解决问题
(续表)
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搜集资料
请查阅相关资料,寻找与数学相关并能用我们所学知识解释的“读心术”游戏.请将你查到的游戏规则写在下面.
请“揭秘”你查到的“读心术”游戏规则.
我来设计
请尝试自己设计一个“读心术”游戏,并和同学交流.
答案
解：
第一步得到的三位数为 $100a + 10b + c$，
交换百位和个位数字后得到的三位数为 $100c + 10b + a$。
第③步计算两数的差：
$\begin{aligned}(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)&= 99a - 99c\\&= 99(a - c)\end{aligned}$
由题意知 $a - c ＞ 1$，且 $a,c$ 为1~9的整数，因此 $2 ≤ a - c ≤ 8$，将差改写为三位数形式：
$99(a-c) = 100(a - c - 1) + 9×10 + (10 - a + c)$，
即该差的百位数字为 $a - c - 1$，十位数字为9，个位数字为 $10 - a + c$。
交换差的百位和个位数字得到的新数为：
$100(10 - a + c) + 9×10 + (a - c - 1)$
将差与新数相加：
$\begin{aligned}&99(a-c) + 100(10 - a + c) + 90 + (a - c - 1)\\=&99a - 99c + 1000 - 100a + 100c + 90 + a - c - 1\\=&1089\end{aligned}$
因此“读心术”的结果一定是1089。
---
搜集资料
查到的“读心术”游戏规则：
1. 参与者在心中任意想一个非零的数；
2. 将这个数乘3，再加上6；
3. 得到的结果除以3；
4. 再减去最开始心里想的数；
5. 记住最终结果，游戏主持者可以直接说出答案。
揭秘：
设参与者心里想的数为$x$（$x≠0$），按照运算步骤列式：
$\frac{3x + 6}{3} - x = x + 2 - x = 2$
无论最初选择的非零数是多少，最终的运算结果一定是2。
---
我来设计
我设计的“读心术”游戏规则：
1. 任意选一个两位数；
2. 将它的十位数字乘5，加上4，再乘2；
3. 所得结果加上这个数的个位数字；
4. 把你得到的最终结果告诉我，我可以立刻猜出你一开始选的两位数。
揭秘：设这个两位数的十位数字为$m$，个位数字为$n$，按照运算得到的结果为$2(5m+4)+n=10m + n +8$，将最终结果减去8，得到的数就是你最开始选的两位数。
第一步得到的三位数为 $100a + 10b + c$，
交换百位和个位数字后得到的三位数为 $100c + 10b + a$。
第③步计算两数的差：
$\begin{aligned}(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)&= 99a - 99c\\&= 99(a - c)\end{aligned}$
由题意知 $a - c ＞ 1$，且 $a,c$ 为1~9的整数，因此 $2 ≤ a - c ≤ 8$，将差改写为三位数形式：
$99(a-c) = 100(a - c - 1) + 9×10 + (10 - a + c)$，
即该差的百位数字为 $a - c - 1$，十位数字为9，个位数字为 $10 - a + c$。
交换差的百位和个位数字得到的新数为：
$100(10 - a + c) + 9×10 + (a - c - 1)$
将差与新数相加：
$\begin{aligned}&99(a-c) + 100(10 - a + c) + 90 + (a - c - 1)\\=&99a - 99c + 1000 - 100a + 100c + 90 + a - c - 1\\=&1089\end{aligned}$
因此“读心术”的结果一定是1089。
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搜集资料
查到的“读心术”游戏规则：
1. 参与者在心中任意想一个非零的数；
2. 将这个数乘3，再加上6；
3. 得到的结果除以3；
4. 再减去最开始心里想的数；
5. 记住最终结果，游戏主持者可以直接说出答案。
揭秘：
设参与者心里想的数为$x$（$x≠0$），按照运算步骤列式：
$\frac{3x + 6}{3} - x = x + 2 - x = 2$
无论最初选择的非零数是多少，最终的运算结果一定是2。
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我来设计
我设计的“读心术”游戏规则：
1. 任意选一个两位数；
2. 将它的十位数字乘5，加上4，再乘2；
3. 所得结果加上这个数的个位数字；
4. 把你得到的最终结果告诉我，我可以立刻猜出你一开始选的两位数。
揭秘：设这个两位数的十位数字为$m$，个位数字为$n$，按照运算得到的结果为$2(5m+4)+n=10m + n +8$，将最终结果减去8，得到的数就是你最开始选的两位数。
解析
【分析】
要解密该“读心术”，我们可以通过代数式表示每一步的运算结果，再利用整式加减化简得出最终值。首先回忆三位数的表示规则：三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字，我们先按题目要求依次写出各步骤对应的代数式，再通过去括号、合并同类项化简，若最终结果不含字母a、b、c，就说明结果是固定值，即为“读心术”的答案。
【解析】
设原三位数百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$（$a-c＞1$，$a、c$为1~9的正整数，$b$为0~9的整数）：
1. 原三位数为：$100a + 10b + c$
2. 交换百位和个位数字后的三位数为：$100c + 10b + a$
3. 计算两数的差：
$\begin{aligned}(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)&=100a + 10b + c -100c -10b -a\\&= 99a - 99c\\&= 99(a - c)\end{aligned}$
由$a - c ＞ 1$，可得$2 ≤ a - c ≤ 8$，将差改写为三位数形式：
$99(a-c) = 100(a - c - 1) + 9×10 + (10 - a + c)$，即该差的百位数字为$a - c - 1$，十位数字为9，个位数字为$10 - a + c$。
4. 交换差的百位和个位数字得到的新数为：$100(10 - a + c) + 9×10 + (a - c - 1)$
5. 将差与新数相加：
$\begin{aligned}&99(a-c) + 100(10 - a + c) + 90 + (a - c - 1)\\=&99a - 99c + 1000 - 100a + 100c + 90 + a - c - 1\\=&(99a-100a+a)+(-99c+100c-c)+(1000+90-1)\\=&1089\end{aligned}$
*拓展任务参考：
（1）查到的“读心术”游戏规则：
①参与者在心中任意想一个非零的数；②将这个数乘3，再加上6；③得到的结果除以3；④再减去最开始心里想的数；⑤记住最终结果，游戏主持者可以直接说出答案。
揭秘：设心里想的数为$x$（$x≠0$），运算结果为$\frac{3x + 6}{3} - x = x + 2 - x = 2$，即最终结果恒为2。
（2）设计“读心术”游戏参考：
规则：①任意选一个两位数；②将它的十位数字乘5，加上4，再乘2；③所得结果加上这个数的个位数字；④把最终结果告诉我，我可以立刻猜出你一开始选的两位数。
揭秘：设两位数十位数字为$m$，个位数字为$n$，运算结果为$2(5m+4)+n=10m + n +8$，将最终结果减去8，就是最初选的两位数。
【答案】
“读心术”的结果一定是$\boxed{1089}$，拓展内容见解析。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题以趣味数字游戏为载体，核心是通过代数运算揭示“读心术”的本质，运算过程中含字母的项相互抵消得到固定常数，既体现了数学的趣味性，也能锻炼用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解密该“读心术”，我们可以通过代数式表示每一步的运算结果，再利用整式加减化简得出最终值。首先回忆三位数的表示规则：三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字，我们先按题目要求依次写出各步骤对应的代数式，再通过去括号、合并同类项化简，若最终结果不含字母a、b、c，就说明结果是固定值，即为“读心术”的答案。
【解析】
设原三位数百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$（$a-c＞1$，$a、c$为1~9的正整数，$b$为0~9的整数）：
1. 原三位数为：$100a + 10b + c$
2. 交换百位和个位数字后的三位数为：$100c + 10b + a$
3. 计算两数的差：
$\begin{aligned}(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)&=100a + 10b + c -100c -10b -a\\&= 99a - 99c\\&= 99(a - c)\end{aligned}$
由$a - c ＞ 1$，可得$2 ≤ a - c ≤ 8$，将差改写为三位数形式：
$99(a-c) = 100(a - c - 1) + 9×10 + (10 - a + c)$，即该差的百位数字为$a - c - 1$，十位数字为9，个位数字为$10 - a + c$。
4. 交换差的百位和个位数字得到的新数为：$100(10 - a + c) + 9×10 + (a - c - 1)$
5. 将差与新数相加：
$\begin{aligned}&99(a-c) + 100(10 - a + c) + 90 + (a - c - 1)\\=&99a - 99c + 1000 - 100a + 100c + 90 + a - c - 1\\=&(99a-100a+a)+(-99c+100c-c)+(1000+90-1)\\=&1089\end{aligned}$
*拓展任务参考：
（1）查到的“读心术”游戏规则：
①参与者在心中任意想一个非零的数；②将这个数乘3，再加上6；③得到的结果除以3；④再减去最开始心里想的数；⑤记住最终结果，游戏主持者可以直接说出答案。
揭秘：设心里想的数为$x$（$x≠0$），运算结果为$\frac{3x + 6}{3} - x = x + 2 - x = 2$，即最终结果恒为2。
（2）设计“读心术”游戏参考：
规则：①任意选一个两位数；②将它的十位数字乘5，加上4，再乘2；③所得结果加上这个数的个位数字；④把最终结果告诉我，我可以立刻猜出你一开始选的两位数。
揭秘：设两位数十位数字为$m$，个位数字为$n$，运算结果为$2(5m+4)+n=10m + n +8$，将最终结果减去8，就是最初选的两位数。
【答案】
“读心术”的结果一定是$\boxed{1089}$，拓展内容见解析。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题以趣味数字游戏为载体，核心是通过代数运算揭示“读心术”的本质，运算过程中含字母的项相互抵消得到固定常数，既体现了数学的趣味性，也能锻炼用代数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
