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1. 用提公因式法把多项式$4x^3y^3 + 6x^3y - 2xy^2$因式分解时，应提取的公因式是（
A.$2x^3y^3$
B.$-2x^3y^3$
C.$12x^3y^3$
D.$2xy$
D
）A.$2x^3y^3$
B.$-2x^3y^3$
C.$12x^3y^3$
D.$2xy$
答案
1. D
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照提公因式法中公因式的确定规则分步判断：第一步先找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后结合首项符号确定公因式的符号，即可得出正确的公因式。
【解析】
对多项式$4x^3y^3 + 6x^3y - 2xy^2$的三项逐项分析：
1. 系数部分：三项系数分别为4、6、-2，它们绝对值的最大公约数是2；
2. 字母部分：三项都含有的相同字母是x和y；
3. 字母的次数：x在三项中的次数分别为3、3、1，最低次为1；y在三项中的次数分别为3、1、2，最低次为1；
4. 符号：多项式首项符号为正，因此公因式取正号。
综上，应提取的公因式是$2xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法的基础考查题，核心是掌握公因式的确定方法，牢记“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.85
要确定多项式的公因式，需按照提公因式法中公因式的确定规则分步判断：第一步先找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后结合首项符号确定公因式的符号，即可得出正确的公因式。
【解析】
对多项式$4x^3y^3 + 6x^3y - 2xy^2$的三项逐项分析：
1. 系数部分：三项系数分别为4、6、-2，它们绝对值的最大公约数是2；
2. 字母部分：三项都含有的相同字母是x和y；
3. 字母的次数：x在三项中的次数分别为3、3、1，最低次为1；y在三项中的次数分别为3、1、2，最低次为1；
4. 符号：多项式首项符号为正，因此公因式取正号。
综上，应提取的公因式是$2xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法的基础考查题，核心是掌握公因式的确定方法，牢记“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.85
2. (东营模拟)把多项式$2(a-2)+6x(2-a)$因式分解，结果是（
A.$(a-2)(2+6x)$
B.$(a-2)(2-6x)$
C.$2(a-2)(1+3x)$
D.$2(a-2)(1-3x)$
D
）A.$(a-2)(2+6x)$
B.$(a-2)(2-6x)$
C.$2(a-2)(1+3x)$
D.$2(a-2)(1-3x)$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查提公因式法因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的两项，发现含有互为相反数的因式$(a-2)$和$(2-a)$，先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，统一两项的公因式形式；接着确定公因式，数字部分2和6的最大公因数是2，相同因式部分是$(a-2)$，因此公因式为$2(a-2)$；最后提取公因式，计算剩余项即可得到分解结果，注意提取公因式时不要弄错符号，且要保证公因式提尽。
【解析】
解：先对原式变形，将$(2-a)$转化为$-(a-2)$：
$\begin{aligned}2(a-2)+6x(2-a)&=2(a-2)-6x(a-2)\\&=2(a-2)×1 - 2(a-2)×3x\\&=2(a-2)(1-3x)\end{aligned}$
因此因式分解的结果为$2(a-2)(1-3x)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 相反数的整式变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的易错点有两个：一是不会处理互为相反数的因式，导致找错公因式；二是提取公因式时忽略数字公因式，或剩余项的符号计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查提公因式法因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的两项，发现含有互为相反数的因式$(a-2)$和$(2-a)$，先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，统一两项的公因式形式；接着确定公因式，数字部分2和6的最大公因数是2，相同因式部分是$(a-2)$，因此公因式为$2(a-2)$；最后提取公因式，计算剩余项即可得到分解结果，注意提取公因式时不要弄错符号，且要保证公因式提尽。
【解析】
解：先对原式变形，将$(2-a)$转化为$-(a-2)$：
$\begin{aligned}2(a-2)+6x(2-a)&=2(a-2)-6x(a-2)\\&=2(a-2)×1 - 2(a-2)×3x\\&=2(a-2)(1-3x)\end{aligned}$
因此因式分解的结果为$2(a-2)(1-3x)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 相反数的整式变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的易错点有两个：一是不会处理互为相反数的因式，导致找错公因式；二是提取公因式时忽略数字公因式，或剩余项的符号计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 把多项式$a^3b^4 - ab^n c$因式分解时，提取的公因式是$ab^4$，则$n$的值可能为（
A.5
B.3
C.2
D.1
A
）A.5
B.3
C.2
D.1
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆公因式的确定规则：提取公因式时，相同字母的指数要取多项式各项中该字母的最低次幂。本题已知提取的公因式是$ab^4$，说明公因式中$b$的指数4是两项中$b$的指数的最小值，据此推导$n$的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
根据提公因式法中公因式的确定规则：对于相同字母，取各项中该字母的最低次幂作为公因式中该字母的指数。
已知多项式$a^3b^4 - ab^n c$提取的公因式是$ab^4$：
1. 第一项$a^3b^4$中$b$的指数是4；
2. 第二项$-ab^n c$中$b$的指数是$n$；
因此4是4和$n$中的最小值，即$n≥4$。
观察选项，只有A选项的5满足$n≥4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题考查提公因式法中确定公因式的规则，核心是掌握相同字母取最低次幂的原则，属于基础题型，只要熟记公因式的确定方法就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆公因式的确定规则：提取公因式时，相同字母的指数要取多项式各项中该字母的最低次幂。本题已知提取的公因式是$ab^4$，说明公因式中$b$的指数4是两项中$b$的指数的最小值，据此推导$n$的取值范围，再匹配选项即可。
【解析】
根据提公因式法中公因式的确定规则：对于相同字母，取各项中该字母的最低次幂作为公因式中该字母的指数。
已知多项式$a^3b^4 - ab^n c$提取的公因式是$ab^4$：
1. 第一项$a^3b^4$中$b$的指数是4；
2. 第二项$-ab^n c$中$b$的指数是$n$；
因此4是4和$n$中的最小值，即$n≥4$。
观察选项，只有A选项的5满足$n≥4$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题考查提公因式法中确定公因式的规则，核心是掌握相同字母取最低次幂的原则，属于基础题型，只要熟记公因式的确定方法就能快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 因式分解：$ab - 3a =$
a(b-3)
.答案
4. a(b-3)
解析
【分析】
要对多项式$ab-3a$进行因式分解，首先观察多项式两项的特征，判断是否存在公因式。首先确定公因式：观察字母部分，两项都含有字母$a$，系数部分的最大公约数是1，因此公因式为$a$。接下来按照提公因式法的规则，提取公因式$a$，用原多项式的每一项分别除以公因式$a$，将得到的结果放在括号内，即可完成因式分解。
【解析】
第一步：确定公因式
多项式$ab - 3a$的两项为$ab$和$-3a$，两项均含有公共因式$a$，因此公因式是$a$。
第二步：提取公因式
将公因式$a$提出，分别计算两项除以$a$的结果：
$ab÷ a = b$，$-3a÷ a = -3$
因此$ab - 3a = a(b - 3)$。
【答案】
$a(b-3)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时需注意剩余项的符号不要出错。
【难度系数】
0.9
要对多项式$ab-3a$进行因式分解，首先观察多项式两项的特征，判断是否存在公因式。首先确定公因式：观察字母部分，两项都含有字母$a$，系数部分的最大公约数是1，因此公因式为$a$。接下来按照提公因式法的规则，提取公因式$a$，用原多项式的每一项分别除以公因式$a$，将得到的结果放在括号内，即可完成因式分解。
【解析】
第一步：确定公因式
多项式$ab - 3a$的两项为$ab$和$-3a$，两项均含有公共因式$a$，因此公因式是$a$。
第二步：提取公因式
将公因式$a$提出，分别计算两项除以$a$的结果：
$ab÷ a = b$，$-3a÷ a = -3$
因此$ab - 3a = a(b - 3)$。
【答案】
$a(b-3)$
【知识点】
提公因式法因式分解、公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时需注意剩余项的符号不要出错。
【难度系数】
0.9
5. 若 $ x + y = 4 $，$ xy = 3 $，则 $ x^2y + xy^2 = $
12
答案
5. 12
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现代数式的两项都含有公因式$xy$，因此可以利用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后所得式子恰好由已知条件中的$x+y$和$xy$组成，再将已知数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：对代数式$x^2y + xy^2$提取公因式$xy$，可得：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
已知$x + y = 4$，$xy = 3$，将其代入上式得：
原式$= 3×4 = 12$
【答案】
12
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入的思想即可快速求解，熟练掌握提公因式法的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时先观察所求代数式的结构，发现代数式的两项都含有公因式$xy$，因此可以利用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后所得式子恰好由已知条件中的$x+y$和$xy$组成，再将已知数值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：对代数式$x^2y + xy^2$提取公因式$xy$，可得：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
已知$x + y = 4$，$xy = 3$，将其代入上式得：
原式$= 3×4 = 12$
【答案】
12
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入的思想即可快速求解，熟练掌握提公因式法的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
6. 把下列多项式因式分解：
(1) $20a - 15ax$；
(2) $4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$；
(3) $-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$；
(4) $15m(x - y) - 3n(y - x)^2$。
(1) $20a - 15ax$；
(2) $4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$；
(3) $-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$；
(4) $15m(x - y) - 3n(y - x)^2$。
答案
6. 解:(1)$20a-15ax=5a(4-3x)$.
(2)$4a^3b^3+6a^2b-2ab=2ab(2a^2b^2+3a-1)$.
(3)$-10a^2bc+15bc^2-20ab^2c=-5bc(2a^2-3c+4ab)$.
(4)$15m(x-y)-3n(y-x)^2=3(x-y)·5m-3(x-y)·n(x-y)=3(x-y)[5m-n(x-y)]=3(x-y)(5m-nx+ny)$.
(2)$4a^3b^3+6a^2b-2ab=2ab(2a^2b^2+3a-1)$.
(3)$-10a^2bc+15bc^2-20ab^2c=-5bc(2a^2-3c+4ab)$.
(4)$15m(x-y)-3n(y-x)^2=3(x-y)·5m-3(x-y)·n(x-y)=3(x-y)[5m-n(x-y)]=3(x-y)(5m-nx+ny)$.
解析
【分析】
这组题目考查提公因式法因式分解，解题遵循固定步骤：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或整体）的最低次幂，两者相乘就是公因式；若多项式首项为负，通常将负号一起纳入公因式。②提取公因式：用多项式的每一项除以公因式，将所得的商作为另一个因式的项，注意提取公因式后剩余项的项数与原多项式项数一致，不要漏项。③对于含有(y-x)和(x-y)的项，可利用偶次幂的性质$(y-x)^n=(x-y)^n$（n为偶数），先统一公因式形式再提取。
【解析】
(1) 确定公因式：20和15的最大公约数是5，共有字母a的最低次幂为$a^1$，公因式为$5a$，提取公因式可得：
$20a - 15ax=5a·4 - 5a·3x=5a(4 - 3x)$
(2) 确定公因式：4、6、-2的最大公约数是2，共有字母a的最低次幂为$a^1$，b的最低次幂为$b^1$，公因式为$2ab$，提取公因式可得：
$4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab=2ab·2a^2b^2 + 2ab·3a - 2ab·1=2ab(2a^2b^2 + 3a - 1)$
(3) 首项为负，将负号纳入公因式：10、15、20的最大公约数是5，共有字母b的最低次幂为$b^1$，c的最低次幂为$c^1$，公因式为$-5bc$，提取公因式可得：
$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c=-5bc·2a^2 + (-5bc)·(-3c) + (-5bc)·4ab=-5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
(4) 先变形统一公因式：$(y-x)^2=(x-y)^2$，确定公因式为$3(x-y)$，提取公因式后整理可得：
$15m(x - y) - 3n(y - x)^2=3(x-y)·5m - 3(x-y)·n(x-y)=3(x-y)[5m - n(x-y)]=3(x-y)(5m - nx + ny)$
【答案】
(1) $5a(4 - 3x)$
(2) $2ab(2a^2b^2 + 3a - 1)$
(3) $-5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
(4) $3(x-y)(5m - nx + ny)$
【知识点】
1.提公因式法
2.公因式确定
3.整式变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，易错点包括：漏提负号、漏写剩余项的常数项1、整体因式变形时符号出错，提取公因式后注意检查剩余项是否还能进一步化简。
【难度系数】
0.8
这组题目考查提公因式法因式分解，解题遵循固定步骤：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母（或整体）的最低次幂，两者相乘就是公因式；若多项式首项为负，通常将负号一起纳入公因式。②提取公因式：用多项式的每一项除以公因式，将所得的商作为另一个因式的项，注意提取公因式后剩余项的项数与原多项式项数一致，不要漏项。③对于含有(y-x)和(x-y)的项，可利用偶次幂的性质$(y-x)^n=(x-y)^n$（n为偶数），先统一公因式形式再提取。
【解析】
(1) 确定公因式：20和15的最大公约数是5，共有字母a的最低次幂为$a^1$，公因式为$5a$，提取公因式可得：
$20a - 15ax=5a·4 - 5a·3x=5a(4 - 3x)$
(2) 确定公因式：4、6、-2的最大公约数是2，共有字母a的最低次幂为$a^1$，b的最低次幂为$b^1$，公因式为$2ab$，提取公因式可得：
$4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab=2ab·2a^2b^2 + 2ab·3a - 2ab·1=2ab(2a^2b^2 + 3a - 1)$
(3) 首项为负，将负号纳入公因式：10、15、20的最大公约数是5，共有字母b的最低次幂为$b^1$，c的最低次幂为$c^1$，公因式为$-5bc$，提取公因式可得：
$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c=-5bc·2a^2 + (-5bc)·(-3c) + (-5bc)·4ab=-5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
(4) 先变形统一公因式：$(y-x)^2=(x-y)^2$，确定公因式为$3(x-y)$，提取公因式后整理可得：
$15m(x - y) - 3n(y - x)^2=3(x-y)·5m - 3(x-y)·n(x-y)=3(x-y)[5m - n(x-y)]=3(x-y)(5m - nx + ny)$
【答案】
(1) $5a(4 - 3x)$
(2) $2ab(2a^2b^2 + 3a - 1)$
(3) $-5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
(4) $3(x-y)(5m - nx + ny)$
【知识点】
1.提公因式法
2.公因式确定
3.整式变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，易错点包括：漏提负号、漏写剩余项的常数项1、整体因式变形时符号出错，提取公因式后注意检查剩余项是否还能进一步化简。
【难度系数】
0.8
7.(烟台模拟)如图,长、宽分别为a,b的长方形的周长为16,面积为12,则$a(a+b)(a-b)-a(a+b)^2$的值为 (
A.193
B.−192
C.384
D.−384
B
)A.193
B.−192
C.384
D.−384
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，直接展开计算较为繁琐，因此优先考虑因式分解简化代数式：首先提取公因式$a(a+b)$，对代数式进行化简，再结合长方形周长和面积公式求出$a+b$与$ab$的值，最后整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体数值。
【解析】
解：由题意得：
长方形周长为16，故$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$；
长方形面积为12，故$ab=12$。
对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a(a+b)(a-b)-a(a+b)^2&=a(a+b)[(a-b)-(a+b)]\\&=a(a+b)(a-b-a-b)\\&=a(a+b)(-2b)\\&=-2ab(a+b)\end{aligned}$
将$a+b=8$，$ab=12$代入上式得：
原式$=-2×12×8=-192$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式化简求值；长方形周长与面积计算
【点评】
本题属于因式分解的应用型题目，通过提公因式法将复杂代数式化简后整体代入已知条件计算，简化了运算步骤，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求代数式的结构，直接展开计算较为繁琐，因此优先考虑因式分解简化代数式：首先提取公因式$a(a+b)$，对代数式进行化简，再结合长方形周长和面积公式求出$a+b$与$ab$的值，最后整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体数值。
【解析】
解：由题意得：
长方形周长为16，故$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$；
长方形面积为12，故$ab=12$。
对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a(a+b)(a-b)-a(a+b)^2&=a(a+b)[(a-b)-(a+b)]\\&=a(a+b)(a-b-a-b)\\&=a(a+b)(-2b)\\&=-2ab(a+b)\end{aligned}$
将$a+b=8$，$ab=12$代入上式得：
原式$=-2×12×8=-192$
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式化简求值；长方形周长与面积计算
【点评】
本题属于因式分解的应用型题目，通过提公因式法将复杂代数式化简后整体代入已知条件计算，简化了运算步骤，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
8. 用简便方法计算：
(1)$18.9×0.125+1.1×\frac{1}{8}$；
(2)$2^{2027} -5×2^{2026} +6×2^{2025} +2027$.
(1)$18.9×0.125+1.1×\frac{1}{8}$；
(2)$2^{2027} -5×2^{2026} +6×2^{2025} +2027$.
答案
8. 解:(1)原式=$0.125×(18.9+1.1)=0.125×20=2.5$.
(2)原式=$2^{2025}×(2^2-5×2+6)+2027=2^{2025}×(4-10+6)+2027=2027$.
(2)原式=$2^{2025}×(2^2-5×2+6)+2027=2^{2025}×(4-10+6)+2027=2027$.
解析
【分析】
(1) 观察算式可发现，$0.125$和$\frac{1}{8}$数值相等，因此可以先统一因数形式，再利用乘法分配律的逆运算（提公因式）提取公共因数$0.125$，剩余的$18.9$和$1.1$相加可凑成整数$20$，大幅简化计算。
(2) 观察前三项均为底数为2的幂，指数最小为$2025$，因此确定公因式为$2^{2025}$，将前三项都拆成含$2^{2025}$的形式后提取公因式，括号内的运算结果为0，即可直接得到最终结果，避免高次幂的复杂计算。
【解析】
(1) 先将$\frac{1}{8}$转化为$0.125$，再提取公因式$0.125$：
原式$=18.9×0.125+1.1×0.125$
$=0.125×(18.9+1.1)$
$=0.125×20$
$=2.5$
(2) 提取公因式$2^{2025}$：
原式$=2^{2025}×2^2 - 5×2^{2025}×2 + 6×2^{2025} + 2027$
$=2^{2025}×(2^2 - 5×2 + 6)$
$=2^{2025}×(4 - 10 + 6)$
$=2^{2025}×0 + 2027$
$=2027$
【答案】
(1) $\boxed{2.5}$；(2) $\boxed{2027}$
【知识点】
1. 提公因式法
2. 乘法分配律逆运算
3. 同底数幂变形
【点评】
这两道是利用提公因式法简便运算的典型习题，解题核心是快速识别算式中的公共因式，通过提取公因式凑出整数或0的简化项，降低计算量，避免无效的硬算。
【难度系数】
0.8
(1) 观察算式可发现，$0.125$和$\frac{1}{8}$数值相等，因此可以先统一因数形式，再利用乘法分配律的逆运算（提公因式）提取公共因数$0.125$，剩余的$18.9$和$1.1$相加可凑成整数$20$，大幅简化计算。
(2) 观察前三项均为底数为2的幂，指数最小为$2025$，因此确定公因式为$2^{2025}$，将前三项都拆成含$2^{2025}$的形式后提取公因式，括号内的运算结果为0，即可直接得到最终结果，避免高次幂的复杂计算。
【解析】
(1) 先将$\frac{1}{8}$转化为$0.125$，再提取公因式$0.125$：
原式$=18.9×0.125+1.1×0.125$
$=0.125×(18.9+1.1)$
$=0.125×20$
$=2.5$
(2) 提取公因式$2^{2025}$：
原式$=2^{2025}×2^2 - 5×2^{2025}×2 + 6×2^{2025} + 2027$
$=2^{2025}×(2^2 - 5×2 + 6)$
$=2^{2025}×(4 - 10 + 6)$
$=2^{2025}×0 + 2027$
$=2027$
【答案】
(1) $\boxed{2.5}$；(2) $\boxed{2027}$
【知识点】
1. 提公因式法
2. 乘法分配律逆运算
3. 同底数幂变形
【点评】
这两道是利用提公因式法简便运算的典型习题，解题核心是快速识别算式中的公共因式，通过提取公因式凑出整数或0的简化项，降低计算量，避免无效的硬算。
【难度系数】
0.8
9. 已知正整数 $ n $ 满足 $ 5^{n+2} × 2^{n+1} - 5^{n+1} × 2^{n+2} = 3000 $，求 $ n $ 的值。
答案
9. 解:因为 $5^{n+2}×2^{n+1}-5^{n+1}×2^{n+2}=3000$,
所以 $5^{n+1}×2^{n+1}×(5-2)=3000$,
所以 $(5×2)^{n+1}=1000$,
则 $10^{n+1}=1000=10^3$,
故 $n=2$.
所以 $5^{n+1}×2^{n+1}×(5-2)=3000$,
所以 $(5×2)^{n+1}=1000$,
则 $10^{n+1}=1000=10^3$,
故 $n=2$.
解析
【分析】
解题时先观察等式左侧的结构，发现两项都是5的幂与2的幂相乘的形式，首先考虑用提公因式法化简：先把两项中相同的因式$5^{n+1}$和$2^{n+1}$作为公因式提取出来，再利用积的乘方的逆运算将提取公因式后的式子转化为底数为10的幂，最后根据同底数幂相等时指数相等的特征，即可列方程求出n的值。
【解析】
解：因为 $5^{n+2}×2^{n+1}-5^{n+1}×2^{n+2}=3000$，
所以提取公因式$5^{n+1}×2^{n+1}$可得：$5^{n+1}×2^{n+1}×(5 - 2)=3000$，
根据积的乘方逆运算$a^m×b^m=(ab)^m$，可得$(5×2)^{n+1}=1000$，
即 $10^{n+1}=1000=10^3$，
因为底数相同的正整数次幂相等时，指数相等，所以$n+1=3$，
解得 $n=2$。
【答案】
$n=2$
【知识点】
提公因式法因式分解、积的乘方逆运算、同底数幂的性质
【点评】
本题考查提公因式法与幂的运算性质的综合应用，解题的关键是准确找出公因式，熟练运用幂的运算法则对式子进行化简，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察等式左侧的结构，发现两项都是5的幂与2的幂相乘的形式，首先考虑用提公因式法化简：先把两项中相同的因式$5^{n+1}$和$2^{n+1}$作为公因式提取出来，再利用积的乘方的逆运算将提取公因式后的式子转化为底数为10的幂，最后根据同底数幂相等时指数相等的特征，即可列方程求出n的值。
【解析】
解：因为 $5^{n+2}×2^{n+1}-5^{n+1}×2^{n+2}=3000$，
所以提取公因式$5^{n+1}×2^{n+1}$可得：$5^{n+1}×2^{n+1}×(5 - 2)=3000$，
根据积的乘方逆运算$a^m×b^m=(ab)^m$，可得$(5×2)^{n+1}=1000$，
即 $10^{n+1}=1000=10^3$，
因为底数相同的正整数次幂相等时，指数相等，所以$n+1=3$，
解得 $n=2$。
【答案】
$n=2$
【知识点】
提公因式法因式分解、积的乘方逆运算、同底数幂的性质
【点评】
本题考查提公因式法与幂的运算性质的综合应用，解题的关键是准确找出公因式，熟练运用幂的运算法则对式子进行化简，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.7
