【例1】把下列多项式因式分解：
(1)$a^2 -9$；
(2)$16mx^2 -4my^2$。

(1) 原式=(a+3)(a−3)。
(2) 原式=4m(4x²−y²)=4m(2x+y)(2x−y)。

【分析】
因式分解需遵循“先提公因式，再套用公式”的思路：首先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，再根据剩余多项式的结构选择对应公式分解。本题两个多项式均为两项且符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征。(1)中$9=3^2$，可直接套用平方差公式分解；(2)先提取公因式$4m$后，剩余的$4x^2-y^2$仍符合平方差公式特征，需再次套用公式分解至不能再分解为止。
【解析】
(1) 原式$=a^2 - 3^2=(a+3)(a-3)$
(2) 先提取公因式$4m$，得：
原式$=4m(4x^2 - y^2)$
再将$4x^2$改写为$(2x)^2$，套用平方差公式：
$=4m[(2x)^2 - y^2]=4m(2x+y)(2x-y)$
【答案】
(1) $(a+3)(a-3)$
(2) $4m(2x+y)(2x-y)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要牢记“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再根据多项式特征套用对应公式，最后检查分解是否彻底，熟练识别平方差公式的结构是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.9

【变式1】(南阳模拟)把多项式$(x-1)^2 -9$因式分解的结果是（）

A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$

D

【分析】
要对该多项式因式分解，首先观察式子特征：$(x-1)^2$是一个整式的平方，9是3的平方，整体符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的结构，所以先套用平方差公式展开，再合并同类项化简即可得到结果，最后对应选项判断。
【解析】
第一步：将原式转化为平方差的形式：
$(x-1)^2 -9=(x-1)^2 - 3^2$
第二步：套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，此处$a=x-1$，$b=3$，代入得：
$=[(x-1)-3][(x-1)+3]$
第三步：分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$(x-1)-3=x-1-3=x-4$
第二个括号：$(x-1)+3=x-1+3=x+2$
因此因式分解的结果为$(x+2)(x-4)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整式加减运算
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题关键是准确识别式子的平方差结构，套用公式后注意合并同类项得到最简因式，是因式分解模块的常规基础题。
【难度系数】
0.8

【变式2】把下列多项式因式分解：
(1)$4a^2 - 9b^2$；
(2)$2a^3 - 8ab^2$；
(3)$x^4 - 36$。

(1) 原式=(2a)²−(3b)²=(2a+3b)(2a−3b)。
(2) 原式=2a(a²−4b²)=2a(a+2b)(a−2b)。
(3) 原式=(x²−6)(x²+6)=(x+√6)(x−√6)(x²+6)。

【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再套用对应的因式分解公式，最后检查是否分解到不能再分解为止。本题考查平方差公式的应用，平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，适用于两个式子的平方作差的多项式。
(1)中两项均可写成平方形式，直接符合平方差公式的结构，直接套用公式即可；(2)先观察到两项有公因式$2a$，先提取公因式后，剩余部分仍是平方差形式，可继续分解；(3)先把四次项和常数项转化为平方形式，先用一次平方差公式，再判断分解后的$x^2-6$仍可写成平方差形式，需继续分解，$x^2+6$无法再分解即完成。
【解析】
(1) 将两项转化为平方形式，套用平方差公式：
原式$=(2a)^2-(3b)^2=(2a+3b)(2a-3b)$
(2) 先提取公因式，再对剩余部分套用平方差公式：
原式$=2a(a^2-4b^2)=2a(a+2b)(a-2b)$
(3) 多次套用平方差公式，保证分解彻底：
原式$=(x^2)^2-6^2=(x^2+6)(x^2-6)=(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})(x^2+6)$
【答案】
(1) $(2a+3b)(2a-3b)$
(2) $2a(a+2b)(a-2b)$
(3) $(x+\sqrt{6})(x-\sqrt{6})(x^2+6)$
【知识点】
提公因式法；平方差公式因式分解；因式分解的步骤
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的结构识别与应用，要注意因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.75

【例2】用简便方法计算：
(1)$2023^2 - 1977^2$；
(2)$1.22^2 × 9 - 1.33^2 × 4$。

(1) 原式=(2023+1977)(2023−1977)=4000×46=184 000。
(2) 原式=(1.22×3)²−(1.33×2)²=(3.66+2.66)×(3.66−2.66)=6.32。

【分析】
这两道题均可利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行简便运算，避免直接计算高次幂的繁琐。对于(1)，原式直接符合平方差公式的结构，可直接确定$a=2023$、$b=1977$，代入公式计算即可；对于(2)，先利用积的乘方逆运算，将9转化为$3^2$、4转化为$2^2$，把原式变形为两个数的平方差形式，再套用平方差公式计算。
【解析】
(1) 原式直接套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2023+1977)(2023-1977)\\&=4000×46\\&=184000\end{aligned}$
(2) 先将原式变形为平方差结构，再套用公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1.22^2×3^2 - 1.33^2×2^2\\&=(1.22×3)^2-(1.33×2)^2\\&=3.66^2 - 2.66^2\\&=(3.66+2.66)×(3.66-2.66)\\&=6.32×1\\&=6.32\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{184000}$；(2) $\boxed{6.32}$
【知识点】
平方差公式；积的乘方逆运算；有理数简便运算
【点评】
本题考查平方差公式在简便运算中的应用，解题核心是识别或构造出“两个数的平方差”的结构，再代入公式计算，可有效减少计算量，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7

【变式1】已知$m^2 - n^2 = 70$，若$m + n = 7$，则$m - n=$。

10

【分析】
解题时首先观察到题目给出了m与n的平方差，以及m+n的值，可联想到平方差公式的逆用：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，即$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，将已知的$m^2 - n^2$和$m+n$的数值代入公式，即可求出$m-n$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
已知$m^2 - n^2 = 70$，$m + n = 7$，代入上述公式得：
$70 = 7 × (m - n)$
等式两边同时除以7，解得：
$m - n = 70 ÷ 7 = 10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的逆用，熟练掌握公式的结构特征和变形形式是解题的核心，解题时直接代入数值计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9