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【变式2】如图，在一块边长为$a$ cm的大正方形纸板的四角，各剪去一个边长为$b$ cm $(b＜\dfrac{a}{2})$的小正方形，利用因式分解计算：当$a=13.2$，$b=3.4$时，剩余部分的面积。
答案
根据题意得，剩余部分的面积为$a^2 - 4b^2 = (a+2b)(a-2b)$。
当$a=13.2,b=3.4$时，
$a^2 - 4b^2 = (a+2b)(a-2b) = 20×6.4 = 128$。
答:剩余部分的面积为$128\ \mathrm{cm}^2$。
当$a=13.2,b=3.4$时，
$a^2 - 4b^2 = (a+2b)(a-2b) = 20×6.4 = 128$。
答:剩余部分的面积为$128\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要计算剩余部分的面积，首先明确剩余面积等于大正方形面积减去四个剪去的小正方形面积之和。先写出面积的代数式$a^2-4b^2$，如果直接代入数值计算乘方运算量较大，观察发现该式符合平方差公式的结构，可先因式分解再代入数值计算，能大幅简化运算过程，降低出错概率。
【解析】
解：由题意得，剩余部分的面积为大正方形面积减去4个小正方形的面积：
$\begin{aligned}S&=a^2 - 4b^2\\&=a^2-(2b)^2\\&=(a+2b)(a-2b)\end{aligned}$
将$a=13.2$，$b=3.4$代入化简后的式子：
$a+2b=13.2+2×3.4=13.2+6.8=20$
$a-2b=13.2-2×3.4=13.2-6.8=6.4$
$\therefore S=20×6.4=128(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$128\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方形面积公式、平方差公式、因式分解应用
【点评】
本题结合几何面积计算，考查了平方差公式的实际应用，通过因式分解将复杂的乘方运算转化为简便的乘法运算，既提升了计算速度，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算剩余部分的面积，首先明确剩余面积等于大正方形面积减去四个剪去的小正方形面积之和。先写出面积的代数式$a^2-4b^2$，如果直接代入数值计算乘方运算量较大，观察发现该式符合平方差公式的结构，可先因式分解再代入数值计算，能大幅简化运算过程，降低出错概率。
【解析】
解：由题意得，剩余部分的面积为大正方形面积减去4个小正方形的面积：
$\begin{aligned}S&=a^2 - 4b^2\\&=a^2-(2b)^2\\&=(a+2b)(a-2b)\end{aligned}$
将$a=13.2$，$b=3.4$代入化简后的式子：
$a+2b=13.2+2×3.4=13.2+6.8=20$
$a-2b=13.2-2×3.4=13.2-6.8=6.4$
$\therefore S=20×6.4=128(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$128\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方形面积公式、平方差公式、因式分解应用
【点评】
本题结合几何面积计算，考查了平方差公式的实际应用，通过因式分解将复杂的乘方运算转化为简便的乘法运算，既提升了计算速度，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
1.(厦门模拟)下列多项式中,能运用平方差公式因式分解的是 (
A.$x^2 + y^2$
B.$-x^2 + y^2$
C.$4x - 4y^2$
D.$-x^2 - y^2$
B
)A.$x^2 + y^2$
B.$-x^2 + y^2$
C.$4x - 4y^2$
D.$-x^2 - y^2$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个多项式能运用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式因式分解的适用特征：①多项式包含两项，两项均能写成某个整式的平方形式；②两项的符号相反，即一正一负。我们只需对照这两个特征逐一排查每个选项即可。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐项分析：
A选项：$x^2+y^2$的两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解；
B选项：$-x^2+y^2$可变形为$y^2 - x^2$，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式特征，可分解为$(y+x)(y-x)$；
C选项：$4x-4y^2$的第一项$4x$不是某个整式的平方，不符合特征，不能用平方差公式分解；
D选项：$-x^2-y^2$可变形为$-(x^2+y^2)$，括号内两项符号相同，不符合特征，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解、多项式结构识别
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题核心是准确掌握平方差公式的结构特点，熟练识别符合要求的多项式结构即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个多项式能运用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式因式分解的适用特征：①多项式包含两项，两项均能写成某个整式的平方形式；②两项的符号相反，即一正一负。我们只需对照这两个特征逐一排查每个选项即可。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐项分析：
A选项：$x^2+y^2$的两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解；
B选项：$-x^2+y^2$可变形为$y^2 - x^2$，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式特征，可分解为$(y+x)(y-x)$；
C选项：$4x-4y^2$的第一项$4x$不是某个整式的平方，不符合特征，不能用平方差公式分解；
D选项：$-x^2-y^2$可变形为$-(x^2+y^2)$，括号内两项符号相同，不符合特征，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解、多项式结构识别
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题核心是准确掌握平方差公式的结构特点，熟练识别符合要求的多项式结构即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 把多项式$4x^3 -16xy^2$因式分解，结果正确的是（
A.$x(2x+4y)(2x-4y)$
B.$4x(x-2y)^2$
C.$4x(x^2 -4y^2)$
D.$4x(x+2y)(x-2y)$
D
）A.$x(2x+4y)(2x-4y)$
B.$4x(x-2y)^2$
C.$4x(x^2 -4y^2)$
D.$4x(x+2y)(x-2y)$
答案
2. D
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，本题中两项的系数最大公因数是4，都含有字母x，因此先提取公因式4x；第二步看提取公因式后的式子是否符合乘法公式的特征，剩下的$x^2-4y^2$是两个数的平方差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，可继续分解；第三步检查分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解为止，最后逐一对比选项排除错误答案即可。
【解析】
解：对多项式$4x^3 -16xy^2$因式分解：
1. 提取公因式$4x$：
$4x^3 -16xy^2 = 4x(x^2 - 4y^2)$
2. 利用平方差公式分解$x^2 - 4y^2$（$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2$）：
$4x(x^2 - 4y^2) = 4x(x+2y)(x-2y)$
逐一分析选项：
A. 公因式提取不彻底，且$(2x+4y)(2x-4y)$仍可继续提取公因式，错误；
B. 错用完全平方公式，$x^2 -4y^2$不符合完全平方的结构，错误；
C. 分解不彻底，$x^2 -4y^2$还可继续分解，错误；
D. 分解结果正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需要牢记因式分解的基本步骤，先提取公因式再套用对应公式，同时要注意分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，还要注意区分平方差和完全平方公式的形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，本题中两项的系数最大公因数是4，都含有字母x，因此先提取公因式4x；第二步看提取公因式后的式子是否符合乘法公式的特征，剩下的$x^2-4y^2$是两个数的平方差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，可继续分解；第三步检查分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解为止，最后逐一对比选项排除错误答案即可。
【解析】
解：对多项式$4x^3 -16xy^2$因式分解：
1. 提取公因式$4x$：
$4x^3 -16xy^2 = 4x(x^2 - 4y^2)$
2. 利用平方差公式分解$x^2 - 4y^2$（$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2$）：
$4x(x^2 - 4y^2) = 4x(x+2y)(x-2y)$
逐一分析选项：
A. 公因式提取不彻底，且$(2x+4y)(2x-4y)$仍可继续提取公因式，错误；
B. 错用完全平方公式，$x^2 -4y^2$不符合完全平方的结构，错误；
C. 分解不彻底，$x^2 -4y^2$还可继续分解，错误；
D. 分解结果正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；因式分解的原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需要牢记因式分解的基本步骤，先提取公因式再套用对应公式，同时要注意分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，还要注意区分平方差和完全平方公式的形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
3. 因式分解“$16m^2 -?$”得$(4m + 5n)(4m - 5n)$，则“？”是（
A.$5n^2$
B.$25n^2$
C.$75n^2$
D.$125n^2$
B
）A.$5n^2$
B.$25n^2$
C.$75n^2$
D.$125n^2$
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题时先回忆平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。已知因式分解的结果，要确定原式中缺失的项，我们可以将右侧的整式乘积按照平方差公式展开，再和左侧的式子对比即可求出“？”代表的项。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，将右侧的$(4m + 5n)(4m - 5n)$展开：
令$a=4m$，$b=5n$，则
$(4m + 5n)(4m - 5n) = (4m)^2 - (5n)^2 = 16m^2 - 25n^2$
已知原式为$16m^2 -? = (4m + 5n)(4m - 5n)$，对比展开结果可得？=$25n^2$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的正逆应用，只要熟练掌握平方差公式的结构特点，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查平方差公式的应用，解题时先回忆平方差公式的结构特征：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。已知因式分解的结果，要确定原式中缺失的项，我们可以将右侧的整式乘积按照平方差公式展开，再和左侧的式子对比即可求出“？”代表的项。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，将右侧的$(4m + 5n)(4m - 5n)$展开：
令$a=4m$，$b=5n$，则
$(4m + 5n)(4m - 5n) = (4m)^2 - (5n)^2 = 16m^2 - 25n^2$
已知原式为$16m^2 -? = (4m + 5n)(4m - 5n)$，对比展开结果可得？=$25n^2$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的正逆应用，只要熟练掌握平方差公式的结构特点，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.若$a+b=3,a-b=\frac{1}{3}$,则$a^2-b^2$的值为（
A.1
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{10}{3}$
D.9
A
）A.1
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{10}{3}$
D.9
答案
4. A
解析
【分析】
求解$a^2 - b^2$的值时，首先回忆整式乘法中的平方差公式，可知$a^2 - b^2$可以因式分解为$(a+b)(a-b)$，题目已经直接给出$a+b$和$a-b$的取值，无需单独求解$a$、$b$的数值，直接将已知条件代入因式分解后的式子计算即可，解题更简便。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
将$a + b = 3$，$a - b = \frac{1}{3}$代入上式得：
原式$= 3 × \frac{1}{3} = 1$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，熟记公式的结构特征，灵活对代数式进行变形，可以有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
求解$a^2 - b^2$的值时，首先回忆整式乘法中的平方差公式，可知$a^2 - b^2$可以因式分解为$(a+b)(a-b)$，题目已经直接给出$a+b$和$a-b$的取值，无需单独求解$a$、$b$的数值，直接将已知条件代入因式分解后的式子计算即可，解题更简便。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
将$a + b = 3$，$a - b = \frac{1}{3}$代入上式得：
原式$= 3 × \frac{1}{3} = 1$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，熟记公式的结构特征，灵活对代数式进行变形，可以有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
5.（芜湖模拟）因式分解：$25x^2 - y^2 =$
(5x+y)(5x−y)
.答案
5. (5x+y)(5x−y)
解析
【分析】
首先观察多项式的结构：该式由两项组成，两项符号相反，且每一项都可转化为整式的平方形式，符合平方差公式因式分解的适用条件。接下来确定公式中对应的a和b：25x²可变形为(5x)²，即a=5x；y²即b=y，代入平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
解：$25x^2 - y^2$
$=(5x)^2 - y^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$a=5x$、$b=y$代入得：
$=(5x+y)(5x-y)$
【答案】
$(5x+y)(5x−y)$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，注意分解时不要遗漏项的系数对应的平方部分。
【难度系数】
0.9
首先观察多项式的结构：该式由两项组成，两项符号相反，且每一项都可转化为整式的平方形式，符合平方差公式因式分解的适用条件。接下来确定公式中对应的a和b：25x²可变形为(5x)²，即a=5x；y²即b=y，代入平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
解：$25x^2 - y^2$
$=(5x)^2 - y^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$a=5x$、$b=y$代入得：
$=(5x+y)(5x-y)$
【答案】
$(5x+y)(5x−y)$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，注意分解时不要遗漏项的系数对应的平方部分。
【难度系数】
0.9
6. 已知$(-3a+m)(4b+n)=16b^2 - 9a^2$，则$m=$
4b
，$n=$3a
。答案
6. m=4b，n=3a
解析
【分析】
首先观察等式右边是两个平方项的差，符合平方差公式的右边结构，解题思路如下：1. 先逆用平方差公式，将等号右边的多项式$16b^2-9a^2$分解为两个一次式的乘积；2. 将分解得到的两个一次式调整为与左边$(-3a+m)(4b+n)$形式一致的因式；3. 令左右两边对应因式的同类项相等，即可求出m、n的值。
【解析】
第一步：对等式右边的式子逆用平方差公式分解：
$16b^2 - 9a^2 = (4b)^2 - (3a)^2 = (4b + 3a)(4b - 3a)$
第二步：调整分解后因式的顺序，匹配左边的结构：
$(4b - 3a)(4b + 3a) = (-3a + 4b)(4b + 3a)$
第三步：对比左右两边的因式$(-3a + m)(4b + n) = (-3a + 4b)(4b + 3a)$，两个因式中对应项相等，因此$m = 4b$，$n = 3a$。
【答案】
$m=4b$，$n=3a$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式恒等变形
【点评】
本题核心考查平方差公式的逆用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过分解右边的平方差式，与左边因式对应匹配即可求解，属于平方差公式的基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
首先观察等式右边是两个平方项的差，符合平方差公式的右边结构，解题思路如下：1. 先逆用平方差公式，将等号右边的多项式$16b^2-9a^2$分解为两个一次式的乘积；2. 将分解得到的两个一次式调整为与左边$(-3a+m)(4b+n)$形式一致的因式；3. 令左右两边对应因式的同类项相等，即可求出m、n的值。
【解析】
第一步：对等式右边的式子逆用平方差公式分解：
$16b^2 - 9a^2 = (4b)^2 - (3a)^2 = (4b + 3a)(4b - 3a)$
第二步：调整分解后因式的顺序，匹配左边的结构：
$(4b - 3a)(4b + 3a) = (-3a + 4b)(4b + 3a)$
第三步：对比左右两边的因式$(-3a + m)(4b + n) = (-3a + 4b)(4b + 3a)$，两个因式中对应项相等，因此$m = 4b$，$n = 3a$。
【答案】
$m=4b$，$n=3a$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式恒等变形
【点评】
本题核心考查平方差公式的逆用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，通过分解右边的平方差式，与左边因式对应匹配即可求解，属于平方差公式的基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
7. 把下列多项式因式分解：
(1)$x^2 - 36$；
(2)$9x^2 - 4$；
(3)$2x^2 - 8$；
(4)$x^4 - 25$。
(1)$x^2 - 36$；
(2)$9x^2 - 4$；
(3)$2x^2 - 8$；
(4)$x^4 - 25$。
答案
(1) 原式=$x^2 - 6^2 = (x+6)(x-6)$。
(2) 原式=$(3x)^2 - 2^2 = (3x+2)(3x-2)$。
(3) 原式=$2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)$。
(4) 原式=$(x^2 + 5)(x^2 - 5) = (x^2 + 5)(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$。
(2) 原式=$(3x)^2 - 2^2 = (3x+2)(3x-2)$。
(3) 原式=$2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)$。
(4) 原式=$(x^2 + 5)(x^2 - 5) = (x^2 + 5)(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$。
解析
【分析】
这几道因式分解题均可结合平方差公式求解，解题思路如下：1. 先观察多项式是否含有公因式，若有公因式需优先提取；2. 将剩余部分转化为“两个数的平方差”的结构，即$a^2-b^2$的形式；3. 套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，最终需分解到每个因式都无法再分解为止。
【解析】
(1) 将36改写为$6^2$，原式直接符合平方差公式结构：
原式$=x^2 - 6^2 = (x+6)(x-6)$
(2) 将$9x^2$改写为$(3x)^2$，4改写为$2^2$，符合平方差公式结构：
原式$=(3x)^2 - 2^2 = (3x+2)(3x-2)$
(3) 先提取公因式2，再对剩余的$x^2-4$套用平方差公式分解：
原式$=2(x^2 - 4) = 2(x^2 - 2^2)=2(x+2)(x-2)$
(4) 先把$x^4$改写为$(x^2)^2$，25改写为$5^2$，第一次分解后再对可继续分解的$x^2-5$套用平方差公式：
原式$=(x^2)^2 - 5^2=(x^2 + 5)(x^2 - 5) = (x^2 + 5)(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
【答案】
(1)$(x+6)(x-6)$
(2)$(3x+2)(3x-2)$
(3)$2(x+2)(x-2)$
(4)$(x^2 + 5)(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题时需遵循“先提公因式，再套用公式”的顺序，同时注意因式分解要彻底，直到所有因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
这几道因式分解题均可结合平方差公式求解，解题思路如下：1. 先观察多项式是否含有公因式，若有公因式需优先提取；2. 将剩余部分转化为“两个数的平方差”的结构，即$a^2-b^2$的形式；3. 套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解，最终需分解到每个因式都无法再分解为止。
【解析】
(1) 将36改写为$6^2$，原式直接符合平方差公式结构：
原式$=x^2 - 6^2 = (x+6)(x-6)$
(2) 将$9x^2$改写为$(3x)^2$，4改写为$2^2$，符合平方差公式结构：
原式$=(3x)^2 - 2^2 = (3x+2)(3x-2)$
(3) 先提取公因式2，再对剩余的$x^2-4$套用平方差公式分解：
原式$=2(x^2 - 4) = 2(x^2 - 2^2)=2(x+2)(x-2)$
(4) 先把$x^4$改写为$(x^2)^2$，25改写为$5^2$，第一次分解后再对可继续分解的$x^2-5$套用平方差公式：
原式$=(x^2)^2 - 5^2=(x^2 + 5)(x^2 - 5) = (x^2 + 5)(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
【答案】
(1)$(x+6)(x-6)$
(2)$(3x+2)(3x-2)$
(3)$2(x+2)(x-2)$
(4)$(x^2 + 5)(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题时需遵循“先提公因式，再套用公式”的顺序，同时注意因式分解要彻底，直到所有因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
8. 一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:$a-b,x-1,3,x^2-1,a,x+1$分别对应:我,数,爱,国,祖,学.现将代数式$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (
A.爱数学
B.我爱数学
C.我爱国
D.我爱祖国
B
)A.爱数学
B.我爱数学
C.我爱国
D.我爱祖国
答案
8. B
解析
【分析】
解题时首先需要对给出的代数式进行因式分解，遵循因式分解“先提公因式，再用公式”的步骤：第一步先提取公因式，第二步对剩余能分解的多项式用平方差公式继续分解，最后将分解得到的每个因式对应题目给出的密码信息，组合后匹配选项即可。
【解析】
对代数式$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2 - 1)$，得：
原式$=3(x^2 - 1)(a - b)$
2. 利用平方差公式$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$，对$x^2 - 1$继续分解：
$x^2 - 1=(x+1)(x-1)$
因此最终因式分解结果为：$3(a - b)(x - 1)(x + 1)$
根据题目给出的对应关系：
$a-b$对应“我”，$3$对应“爱”，$x-1$对应“数”，$x+1$对应“学”，组合可得密码信息为“我爱数学”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题将因式分解与趣味密码结合，形式新颖，核心考察因式分解的基本操作步骤，只要熟练掌握先提公因式、再套用公式的分解顺序，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要对给出的代数式进行因式分解，遵循因式分解“先提公因式，再用公式”的步骤：第一步先提取公因式，第二步对剩余能分解的多项式用平方差公式继续分解，最后将分解得到的每个因式对应题目给出的密码信息，组合后匹配选项即可。
【解析】
对代数式$3a(x^2 - 1) - 3b(x^2 - 1)$因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2 - 1)$，得：
原式$=3(x^2 - 1)(a - b)$
2. 利用平方差公式$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$，对$x^2 - 1$继续分解：
$x^2 - 1=(x+1)(x-1)$
因此最终因式分解结果为：$3(a - b)(x - 1)(x + 1)$
根据题目给出的对应关系：
$a-b$对应“我”，$3$对应“爱”，$x-1$对应“数”，$x+1$对应“学”，组合可得密码信息为“我爱数学”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题将因式分解与趣味密码结合，形式新颖，核心考察因式分解的基本操作步骤，只要熟练掌握先提公因式、再套用公式的分解顺序，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
9. 当$n$为自然数时，$(n+1)^2 - (n-3)^2$一定能被下列哪个数整除（
A.5
B.6
C.7
D.8
D
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
9. D
解析
【分析】
观察到所求式子是两个整式的平方差的结构，刚好符合平方差公式的特征，解题思路如下：首先利用平方差公式对原式进行因式分解，再对分解后的式子做整式加减、乘法运算化简，最后根据化简结果的因数判断能被哪个选项的数整除，也可以通过代入特殊自然数快速验证结果。
【解析】
利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=n+1$，$b=n-3$，代入原式计算：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - (n-3)^2&=[(n+1)+(n-3)][(n+1)-(n-3)]\\&=(n+1+n-3)(n+1-n+3)\\&=(2n-2)×4\\&=8(n-1)\end{aligned}$
因为$n$是自然数，所以$n-1$是整数，即$8(n-1)$是8的整数倍，因此原式一定能被8整除。
也可代入特殊值验证：如取$n=2$，原式$=3^2-(-1)^2=9-1=8$，仅能被选项中的8整除。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；整式化简；整除判定
【点评】
本题侧重考查平方差公式的应用能力，将多项式因式分解化简后即可快速判断整除性，也可通过特殊值代入法快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
观察到所求式子是两个整式的平方差的结构，刚好符合平方差公式的特征，解题思路如下：首先利用平方差公式对原式进行因式分解，再对分解后的式子做整式加减、乘法运算化简，最后根据化简结果的因数判断能被哪个选项的数整除，也可以通过代入特殊自然数快速验证结果。
【解析】
利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=n+1$，$b=n-3$，代入原式计算：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - (n-3)^2&=[(n+1)+(n-3)][(n+1)-(n-3)]\\&=(n+1+n-3)(n+1-n+3)\\&=(2n-2)×4\\&=8(n-1)\end{aligned}$
因为$n$是自然数，所以$n-1$是整数，即$8(n-1)$是8的整数倍，因此原式一定能被8整除。
也可代入特殊值验证：如取$n=2$，原式$=3^2-(-1)^2=9-1=8$，仅能被选项中的8整除。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；整式化简；整除判定
【点评】
本题侧重考查平方差公式的应用能力，将多项式因式分解化简后即可快速判断整除性，也可通过特殊值代入法快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
10.若$\frac{(9^2 - 1) × (11^2 - 1)}{k} = 8 × 10 × 12$，则$k=$
10
答案
10. 10
解析
【分析】
观察等式左边分子的结构，都是“一个数的平方减1”的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的特征（这里$b=1$），因此我们可以先利用平方差公式分解分子的两个因式，再代入原式通过约分、化简求出$k$的值，无需直接计算大数平方，可简化运算。
【解析】
解：根据平方差公式对分子因式分解：
$9^2 - 1 = 9^2 - 1^2 = (9-1)×(9+1) = 8×10$
$11^2 - 1 = 11^2 - 1^2 = (11-1)×(11+1) = 10×12$
将上述结果代入原式得：
$\frac{(8×10)×(10×12)}{k} = 8×10×12$
整理左边为：$\frac{8×10×10×12}{k} = 8×10×12$
等式两边同时乘$k$，得：$8×10×10×12 = 8×10×12×k$
等式两边同时除以不为0的$8×10×12$，得：$k=10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，分式化简
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，识别出“平方差”的结构特征是解题突破口，运用公式分解因式可大幅降低计算量，避免硬算带来的错误。
【难度系数】
0.8
观察等式左边分子的结构，都是“一个数的平方减1”的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的特征（这里$b=1$），因此我们可以先利用平方差公式分解分子的两个因式，再代入原式通过约分、化简求出$k$的值，无需直接计算大数平方，可简化运算。
【解析】
解：根据平方差公式对分子因式分解：
$9^2 - 1 = 9^2 - 1^2 = (9-1)×(9+1) = 8×10$
$11^2 - 1 = 11^2 - 1^2 = (11-1)×(11+1) = 10×12$
将上述结果代入原式得：
$\frac{(8×10)×(10×12)}{k} = 8×10×12$
整理左边为：$\frac{8×10×10×12}{k} = 8×10×12$
等式两边同时乘$k$，得：$8×10×10×12 = 8×10×12×k$
等式两边同时除以不为0的$8×10×12$，得：$k=10$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，分式化简
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，识别出“平方差”的结构特征是解题突破口，运用公式分解因式可大幅降低计算量，避免硬算带来的错误。
【难度系数】
0.8
11.如图，小刚家门口的商店在装修，他发现工人在一块半径为$R$的圆形板材上钻出四个半径为$r$的小圆，小刚测得$R=6.8\ \mathrm{cm}$，$r=1.6\ \mathrm{cm}$，他想知道阴影部分的面积，你能帮助小刚利用因式分解计算吗？请写出利用因式分解求解的过程($π$取3)。
答案
11. 解:阴影部分的面积=$πR^2 - 4πr^2 = π(R^2 - 4r^2) = π(R+2r)(R-2r) = 3×(6.8+2×1.6)×(6.8-2×1.6)=108(\mathrm{cm}^2)$。
答:阴影部分的面积为$108\ \mathrm{cm}^2$。
答:阴影部分的面积为$108\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先明确阴影部分是大圆挖去4个小圆后剩余的部分，因此阴影面积=大圆面积减去4个小圆的面积，先列出面积表达式。观察表达式的结构，提取公因式π后，剩余的$R^2-4r^2$可改写为$R^2-(2r)^2$，符合平方差公式的形式，利用平方差公式因式分解后再代入数值计算，能大幅简化计算过程，减少计算量。
【解析】
解：阴影部分的面积 = 大圆面积 - 4个小圆的面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得：
$\begin{aligned}\mathrm{阴影面积}&=π R^2 - 4π r^2\\&=π(R^2 - 4r^2)\\&=π(R+2r)(R-2r)\end{aligned}$
代入$π=3$，$R=6.8\ \mathrm{cm}$，$r=1.6\ \mathrm{cm}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(6.8+2×1.6)×(6.8-2×1.6)\\&=3×10×3.6\\&=108(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$108\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平方差公式因式分解，圆的面积计算，和差法求阴影面积
【点评】
本题将整式因式分解与几何面积计算相结合，通过运用平方差公式因式分解，可简化复杂的数值计算，降低计算出错的概率，是因式分解在实际运算中的典型应用。
【难度系数】
0.8
要求阴影部分的面积，首先明确阴影部分是大圆挖去4个小圆后剩余的部分，因此阴影面积=大圆面积减去4个小圆的面积，先列出面积表达式。观察表达式的结构，提取公因式π后，剩余的$R^2-4r^2$可改写为$R^2-(2r)^2$，符合平方差公式的形式，利用平方差公式因式分解后再代入数值计算，能大幅简化计算过程，减少计算量。
【解析】
解：阴影部分的面积 = 大圆面积 - 4个小圆的面积
根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得：
$\begin{aligned}\mathrm{阴影面积}&=π R^2 - 4π r^2\\&=π(R^2 - 4r^2)\\&=π(R+2r)(R-2r)\end{aligned}$
代入$π=3$，$R=6.8\ \mathrm{cm}$，$r=1.6\ \mathrm{cm}$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(6.8+2×1.6)×(6.8-2×1.6)\\&=3×10×3.6\\&=108(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$108\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平方差公式因式分解，圆的面积计算，和差法求阴影面积
【点评】
本题将整式因式分解与几何面积计算相结合，通过运用平方差公式因式分解，可简化复杂的数值计算，降低计算出错的概率，是因式分解在实际运算中的典型应用。
【难度系数】
0.8
