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【例1】把下列多项式因式分解：
(1)$x^2 - 4x$；
(2)$5m(y-x)^2 -10(x-y)^3$。
【变式1】(济南模拟)把多项式$12ab^3 +8a^3b$因式分解，应提的公因式是（
A.$ab$
B.$4ab$
C.$2ab$
D.$4a^2b$
【变式2】因式分解：
(1)(上海模拟)$2m(a-b)-3n(a-b)=$
(2)$15xy^2(y-x)^2 -9x^2y(x-y)^2=$
(1)$x^2 - 4x$；
(2)$5m(y-x)^2 -10(x-y)^3$。
【变式1】(济南模拟)把多项式$12ab^3 +8a^3b$因式分解，应提的公因式是（
B
）A.$ab$
B.$4ab$
C.$2ab$
D.$4a^2b$
【变式2】因式分解：
(1)(上海模拟)$2m(a-b)-3n(a-b)=$
(a-b)(2m-3n)
；(2)$15xy^2(y-x)^2 -9x^2y(x-y)^2=$
3xy(x-y)²(5y-3x)
。答案
【例1】解:(1)原式=x(x-4).
(2)原式=5(x-y)²·m -5(x-y)²·2(x-y)=5(x-y)²[m-2(x-y)]=5(x-y)²(m-2x+2y).
【变式1】B
【变式2】(1)(a-b)(2m-3n)
(2)3xy(x-y)²(5y-3x)
(2)原式=5(x-y)²·m -5(x-y)²·2(x-y)=5(x-y)²[m-2(x-y)]=5(x-y)²(m-2x+2y).
【变式1】B
【变式2】(1)(a-b)(2m-3n)
(2)3xy(x-y)²(5y-3x)
解析
【分析】
本组题目均考查提公因式法因式分解，解题核心是掌握公因式的确定方法和提公因式的步骤：①确定公因式：系数取各项系数的最大公约数，相同字母（或多项式因式）取最低次幂；②提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余部分的乘积形式，剩余部分要化简去括号。遇到底数互为相反数的偶次幂时，可利用$(y-x)^{2n}=(x-y)^{2n}$（n为正整数）统一因式，方便找公因式。
例1(1)直接找公因式$x$提取即可；例1(2)先统一$(y-x)^2=(x-y)^2$，再提取公因式$5(x-y)^2$后化简剩余部分。
变式1按照公因式确定规则直接找公因式即可判断选项。
变式2(1)公因式为多项式$(a-b)$，直接提取；变式2(2)先统一$(y-x)^2=(x-y)^2$，再提取公因式$3xy(x-y)^2$即可。
【解析】
例1
(1) 观察多项式$x^2-4x$，各项公因式为$x$，提取公因式得：
原式$=x· x - x·4 = x(x-4)$
(2) 由平方的性质得$(y-x)^2=(x-y)^2$，则原式可变形为$5m(x-y)^2 -10(x-y)^3$，各项公因式为$5(x-y)^2$，提取公因式后化简：
原式$=5(x-y)^2· m - 5(x-y)^2·2(x-y) = 5(x-y)^2[m-2(x-y)] = 5(x-y)^2(m-2x+2y)$
变式1
找多项式$12ab^3+8a^3b$的公因式：
系数：12和8的最大公约数是4；
相同字母：a的最低次幂是$a^1$，b的最低次幂是$b^1$；
因此公因式为$4ab$，故选B。
变式2
(1) 多项式$2m(a-b)-3n(a-b)$的公因式为$(a-b)$，提取公因式得：
原式$=(a-b)(2m-3n)$
(2) 先变形得$(y-x)^2=(x-y)^2$，原式可化为$15xy^2(x-y)^2 -9x^2y(x-y)^2$，公因式为$3xy(x-y)^2$，提取后化简：
原式$=3xy(x-y)^2·5y - 3xy(x-y)^2·3x = 3xy(x-y)^2(5y-3x)$
【答案】
【例1】(1)$x(x-4)$；(2)$5(x-y)^2(m-2x+2y)$
【变式1】B
【变式2】(1)$(a-b)(2m-3n)$；(2)$3xy(x-y)^2(5y-3x)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定，幂的符号变形
【点评】
本组题目是提公因式法的基础应用题型，解题的关键是准确识别公因式，注意将相同的多项式因式看作整体提取，同时要注意互为相反数的偶次幂相等的规律，避免符号处理错误。
【难度系数】
0.8
本组题目均考查提公因式法因式分解，解题核心是掌握公因式的确定方法和提公因式的步骤：①确定公因式：系数取各项系数的最大公约数，相同字母（或多项式因式）取最低次幂；②提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余部分的乘积形式，剩余部分要化简去括号。遇到底数互为相反数的偶次幂时，可利用$(y-x)^{2n}=(x-y)^{2n}$（n为正整数）统一因式，方便找公因式。
例1(1)直接找公因式$x$提取即可；例1(2)先统一$(y-x)^2=(x-y)^2$，再提取公因式$5(x-y)^2$后化简剩余部分。
变式1按照公因式确定规则直接找公因式即可判断选项。
变式2(1)公因式为多项式$(a-b)$，直接提取；变式2(2)先统一$(y-x)^2=(x-y)^2$，再提取公因式$3xy(x-y)^2$即可。
【解析】
例1
(1) 观察多项式$x^2-4x$，各项公因式为$x$，提取公因式得：
原式$=x· x - x·4 = x(x-4)$
(2) 由平方的性质得$(y-x)^2=(x-y)^2$，则原式可变形为$5m(x-y)^2 -10(x-y)^3$，各项公因式为$5(x-y)^2$，提取公因式后化简：
原式$=5(x-y)^2· m - 5(x-y)^2·2(x-y) = 5(x-y)^2[m-2(x-y)] = 5(x-y)^2(m-2x+2y)$
变式1
找多项式$12ab^3+8a^3b$的公因式：
系数：12和8的最大公约数是4；
相同字母：a的最低次幂是$a^1$，b的最低次幂是$b^1$；
因此公因式为$4ab$，故选B。
变式2
(1) 多项式$2m(a-b)-3n(a-b)$的公因式为$(a-b)$，提取公因式得：
原式$=(a-b)(2m-3n)$
(2) 先变形得$(y-x)^2=(x-y)^2$，原式可化为$15xy^2(x-y)^2 -9x^2y(x-y)^2$，公因式为$3xy(x-y)^2$，提取后化简：
原式$=3xy(x-y)^2·5y - 3xy(x-y)^2·3x = 3xy(x-y)^2(5y-3x)$
【答案】
【例1】(1)$x(x-4)$；(2)$5(x-y)^2(m-2x+2y)$
【变式1】B
【变式2】(1)$(a-b)(2m-3n)$；(2)$3xy(x-y)^2(5y-3x)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定，幂的符号变形
【点评】
本组题目是提公因式法的基础应用题型，解题的关键是准确识别公因式，注意将相同的多项式因式看作整体提取，同时要注意互为相反数的偶次幂相等的规律，避免符号处理错误。
【难度系数】
0.8
【例2】用简便方法计算：
(1) $2^{2025} - 2^{2024}$；
(2) $7.6 × 202.1 + 4.3 × 202.1 - 1.9 × 202.1$。
(1) $2^{2025} - 2^{2024}$；
(2) $7.6 × 202.1 + 4.3 × 202.1 - 1.9 × 202.1$。
答案
【例2】解:(1)原式=$2^{2024} ×(2-1)=2^{2024}$.
(2)原式=202.1×(7.6+4.3-1.9)=2021.
(2)原式=202.1×(7.6+4.3-1.9)=2021.
解析
【分析】
这两道题都可通过提公因式法实现简便计算：
(1) 观察算式，两项均含有底数为2的幂，公因式为次数更低的$2^{2024}$，将$2^{2025}$转化为$2×2^{2024}$后提取公因式，即可简化运算；
(2) 观察算式，三个乘法项都含有相同因数202.1，将公因式202.1提取出来，先计算括号内系数的加减，再计算乘法即可，避免多次大数乘法运算。
【解析】
(1) 先将$2^{2025}$变形为$2×2^{2024}$，再提取公因式$2^{2024}$：
原式$=2×2^{2024} - 1×2^{2024}$
$=2^{2024}×(2 - 1)$
$=2^{2024}$
(2) 提取三项的公因式202.1，先计算括号内的加减：
原式$=202.1×(7.6 + 4.3 - 1.9)$
$=202.1×10$
$=2021$
【答案】
(1) $\boxed{2^{2024}}$；(2) $\boxed{2021}$
【知识点】
提公因式法；同底数幂运算；有理数简便运算
【点评】
本题是提公因式法在简便运算中的典型应用，解题核心是准确识别各项的公因式，提取公因式后可大幅降低运算复杂度，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题都可通过提公因式法实现简便计算：
(1) 观察算式，两项均含有底数为2的幂，公因式为次数更低的$2^{2024}$，将$2^{2025}$转化为$2×2^{2024}$后提取公因式，即可简化运算；
(2) 观察算式，三个乘法项都含有相同因数202.1，将公因式202.1提取出来，先计算括号内系数的加减，再计算乘法即可，避免多次大数乘法运算。
【解析】
(1) 先将$2^{2025}$变形为$2×2^{2024}$，再提取公因式$2^{2024}$：
原式$=2×2^{2024} - 1×2^{2024}$
$=2^{2024}×(2 - 1)$
$=2^{2024}$
(2) 提取三项的公因式202.1，先计算括号内的加减：
原式$=202.1×(7.6 + 4.3 - 1.9)$
$=202.1×10$
$=2021$
【答案】
(1) $\boxed{2^{2024}}$；(2) $\boxed{2021}$
【知识点】
提公因式法；同底数幂运算；有理数简便运算
【点评】
本题是提公因式法在简便运算中的典型应用，解题核心是准确识别各项的公因式，提取公因式后可大幅降低运算复杂度，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
【变式1】利用因式分解计算$2024 × 2025 - 2024^2$等于（
A.1
B.$-2024^2$
C.2024
D.2025
C
）A.1
B.$-2024^2$
C.2024
D.2025
答案
【变式1】C
解析
【分析】观察算式结构，发现两个运算项中都含有公因式2024，因此可以利用提公因式法提取公共因数2024，将原式转化为更简单的乘法与减法的混合运算，无需直接计算大数乘积，降低运算量。具体步骤为：先找出公因式，再提取公因式化简括号内的运算，最后计算结果即可。
【解析】
解：原式$=2024× 2025 - 2024× 2024$
提取公因式2024，得：
$=2024×(2025 - 2024)$
计算括号内的减法：
$=2024×1$
$=2024$
【答案】C
【知识点】提公因式法；因式分解的应用
【点评】本题是因式分解在简便运算中的基础应用，解题核心是快速识别出各项的公因式，通过因式分解将复杂的大数运算简化，能有效避免计算错误，是因式分解最常见的基础考法之一。
【难度系数】0.9
【解析】
解：原式$=2024× 2025 - 2024× 2024$
提取公因式2024，得：
$=2024×(2025 - 2024)$
计算括号内的减法：
$=2024×1$
$=2024$
【答案】C
【知识点】提公因式法；因式分解的应用
【点评】本题是因式分解在简便运算中的基础应用，解题核心是快速识别出各项的公因式，通过因式分解将复杂的大数运算简化，能有效避免计算错误，是因式分解最常见的基础考法之一。
【难度系数】0.9
【变式2】已知$ab=6$，$a-2b=10$，求$2a^2b -4ab^2$的值。
答案
【变式2】解:$2a^2b-4ab^2=2ab(a-2b)$.
因为$ab=6,a-2b=10$,
所以$2a^2b-4ab^2=2ab(a-2b)=2×6×10=120$.
因为$ab=6,a-2b=10$,
所以$2a^2b-4ab^2=2ab(a-2b)=2×6×10=120$.
解析
【分析】
先观察待求代数式$2a^2b -4ab^2$的结构，发现两项均含有公因式$2ab$，因此可先通过提公因式法对代数式因式分解；分解后得到的式子恰好由已知条件中的$ab$和$a-2b$组成，无需单独求解$a$、$b$的具体值，直接将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：对$2a^2b -4ab^2$提取公因式$2ab$得：
$2a^2b -4ab^2=2ab(a-2b)$
将$ab=6$，$a-2b=10$代入上式计算：
$2ab(a-2b)=2×6×10=120$
【答案】
$120$
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入
【点评】
本题是因式分解简化运算的典型应用，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想求解，避免了单独求未知数的复杂计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
先观察待求代数式$2a^2b -4ab^2$的结构，发现两项均含有公因式$2ab$，因此可先通过提公因式法对代数式因式分解；分解后得到的式子恰好由已知条件中的$ab$和$a-2b$组成，无需单独求解$a$、$b$的具体值，直接将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：对$2a^2b -4ab^2$提取公因式$2ab$得：
$2a^2b -4ab^2=2ab(a-2b)$
将$ab=6$，$a-2b=10$代入上式计算：
$2ab(a-2b)=2×6×10=120$
【答案】
$120$
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入
【点评】
本题是因式分解简化运算的典型应用，通过因式分解将待求式转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想求解，避免了单独求未知数的复杂计算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
