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4.如图，AD⊥BC，EC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别为D，C，F，下列说法错误的是 （
A.△ABD中，AD是BD边上的高
B.△ABD中，EC是BD边上的高
C.△CEB中，EC是BC边上的高
D.△CEB中，FC是BE边上的高
B
）A.△ABD中，AD是BD边上的高
B.△ABD中，EC是BD边上的高
C.△CEB中，EC是BC边上的高
D.△CEB中，FC是BE边上的高
答案
4. B
解析
【分析】
解题的关键是掌握三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。判断一条线段是不是某三角形的高，要满足两个条件：①线段的一个端点是三角形的顶点；②这条线段与三角形的某一条对边所在直线垂直。我们逐一核对每个选项即可找到错误说法。
【解析】
根据三角形高的定义，逐一分析选项：
A选项：在△ABD中，AD⊥BD，垂足为D，AD是从△ABD的顶点A向对边BD所作的垂线段，因此AD是BD边上的高，该说法正确，不符合题意。
B选项：△ABD的三个顶点为A、B、D，线段EC的端点E不是△ABD的顶点，不满足高的定义，因此EC不是△ABD中BD边上的高，该说法错误，符合题意。
C选项：在△CEB中，EC⊥BC，垂足为C，EC是从△CEB的顶点E向对边BC所作的垂线段，因此EC是BC边上的高，该说法正确，不符合题意。
D选项：在△CEB中，CF⊥AB（即BE边），垂足为F，CF是从△CEB的顶点C向对边BE所作的垂线段，因此CF是BE边上的高，该说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是明确三角形的高必须对应所属三角形的顶点和对边，仅满足垂直关系不能直接判定为某三角形的高，要注意区分不同三角形的高。
【难度系数】
0.7
解题的关键是掌握三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。判断一条线段是不是某三角形的高，要满足两个条件：①线段的一个端点是三角形的顶点；②这条线段与三角形的某一条对边所在直线垂直。我们逐一核对每个选项即可找到错误说法。
【解析】
根据三角形高的定义，逐一分析选项：
A选项：在△ABD中，AD⊥BD，垂足为D，AD是从△ABD的顶点A向对边BD所作的垂线段，因此AD是BD边上的高，该说法正确，不符合题意。
B选项：△ABD的三个顶点为A、B、D，线段EC的端点E不是△ABD的顶点，不满足高的定义，因此EC不是△ABD中BD边上的高，该说法错误，符合题意。
C选项：在△CEB中，EC⊥BC，垂足为C，EC是从△CEB的顶点E向对边BC所作的垂线段，因此EC是BC边上的高，该说法正确，不符合题意。
D选项：在△CEB中，CF⊥AB（即BE边），垂足为F，CF是从△CEB的顶点C向对边BE所作的垂线段，因此CF是BE边上的高，该说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是明确三角形的高必须对应所属三角形的顶点和对边，仅满足垂直关系不能直接判定为某三角形的高，要注意区分不同三角形的高。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AD，AE，AF分别是$△ ABC$的中线、角平分线、高线，下列结论不一定正确的是（
A.$CD=\frac{1}{2}BC$
B.$2∠BAE=∠BAC$
C.$∠C+∠CAF=90°$
D.$AE=AC$
D
）A.$CD=\frac{1}{2}BC$
B.$2∠BAE=∠BAC$
C.$∠C+∠CAF=90°$
D.$AE=AC$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线、角平分线、高线的定义与性质，再逐一验证每个选项的结论是否必然成立，最终选出不一定正确的选项即可。
【解析】
我们根据三类线段的性质逐个分析选项：
1. 对于A选项：AD是$△ ABC$的中线，根据中线定义，D是BC的中点，因此$CD=\frac{1}{2}BC$，该结论一定正确，不符合题意；
2. 对于B选项：AE是$△ ABC$的角平分线，根据角平分线定义，AE平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，因此$2∠ BAE=∠ BAC$，该结论一定正确，不符合题意；
3. 对于C选项：AF是$△ ABC$的高线，根据高线定义，$AF⊥ BC$，即$∠ AFC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，两个锐角互余，因此$∠ C+∠ CAF=90°$，该结论一定正确，不符合题意；
4. 对于D选项：AE仅为$△ ABC$的角平分线，没有额外的边长或角度条件的情况下，无法推出$AE=AC$，该结论不一定正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高线
【点评】
本题侧重考查对三角形三类基本线段性质的理解，属于基础概念考查题，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆三角形中线、角平分线、高线的定义与性质，再逐一验证每个选项的结论是否必然成立，最终选出不一定正确的选项即可。
【解析】
我们根据三类线段的性质逐个分析选项：
1. 对于A选项：AD是$△ ABC$的中线，根据中线定义，D是BC的中点，因此$CD=\frac{1}{2}BC$，该结论一定正确，不符合题意；
2. 对于B选项：AE是$△ ABC$的角平分线，根据角平分线定义，AE平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，因此$2∠ BAE=∠ BAC$，该结论一定正确，不符合题意；
3. 对于C选项：AF是$△ ABC$的高线，根据高线定义，$AF⊥ BC$，即$∠ AFC=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，两个锐角互余，因此$∠ C+∠ CAF=90°$，该结论一定正确，不符合题意；
4. 对于D选项：AE仅为$△ ABC$的角平分线，没有额外的边长或角度条件的情况下，无法推出$AE=AC$，该结论不一定正确，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高线
【点评】
本题侧重考查对三角形三类基本线段性质的理解，属于基础概念考查题，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
6. (厦门模拟)若一个三角形三边的长分别为4,7,x,则x的值可以为
6(答案不唯一)
.(只需写出满足要求的一种情况即可)答案
6. 6(答案不唯一)
解析
【分析】
解决本题的核心是运用三角形三边关系确定第三边的取值范围。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知三角形的两条边长分别为4和7，将已知边长代入三边关系，即可求出x的取值范围，最后在取值范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$7 - 4 ＜ x ＜ 7 + 4$
即 $3 ＜ x ＜ 11$
只要x的取值在3到11之间（不包含3和11）均符合要求，例如取$x=6$。
【答案】
6（答案不唯一）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查三角形三边关系的直接应用，解题的关键是准确计算出第三边的取值范围，避免出现不等号方向判断错误的问题。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是运用三角形三边关系确定第三边的取值范围。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知三角形的两条边长分别为4和7，将已知边长代入三边关系，即可求出x的取值范围，最后在取值范围内任选一个符合要求的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$7 - 4 ＜ x ＜ 7 + 4$
即 $3 ＜ x ＜ 11$
只要x的取值在3到11之间（不包含3和11）均符合要求，例如取$x=6$。
【答案】
6（答案不唯一）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查三角形三边关系的直接应用，解题的关键是准确计算出第三边的取值范围，避免出现不等号方向判断错误的问题。
【难度系数】
0.9
7.已知a,b,c为$△ ABC$三边的长，化简：$|a+b-c|+|a-b-c|-|a-b+c|=\_\_\_\_\_\_$.
答案
-a+3b-c
解析
【分析】
要化简含绝对值的代数式，首先需依据绝对值的性质判断绝对值内式子的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。本题先利用三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”，分别判断三个绝对值内表达式的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
1. 因为$a+b＞c$，所以$a+b-c＞0$，因此$|a+b-c|=a+b-c$；
2. 因为$b+c＞a$，所以$a-b-c=a-(b+c)＜0$，因此$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$；
3. 因为$a+c＞b$，所以$a-b+c=(a+c)-b＞0$，因此$|a-b+c|=a-b+c$。
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(a+b-c)+(-a+b+c)-(a-b+c)\\&=a+b-c-a+b+c-a+b-c\\&=-a+3b-c\end{aligned}$
【答案】
$-a+3b-c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减运算
【点评】
本题是三角形三边关系与代数化简结合的基础题型，解题的核心是利用三角形三边关系准确判断绝对值内代数式的正负，再按绝对值的性质去符号后合并同类项，是三角形章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.7
要化简含绝对值的代数式，首先需依据绝对值的性质判断绝对值内式子的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。本题先利用三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”，分别判断三个绝对值内表达式的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
1. 因为$a+b＞c$，所以$a+b-c＞0$，因此$|a+b-c|=a+b-c$；
2. 因为$b+c＞a$，所以$a-b-c=a-(b+c)＜0$，因此$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$；
3. 因为$a+c＞b$，所以$a-b+c=(a+c)-b＞0$，因此$|a-b+c|=a-b+c$。
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(a+b-c)+(-a+b+c)-(a-b+c)\\&=a+b-c-a+b+c-a+b-c\\&=-a+3b-c\end{aligned}$
【答案】
$-a+3b-c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减运算
【点评】
本题是三角形三边关系与代数化简结合的基础题型，解题的核心是利用三角形三边关系准确判断绝对值内代数式的正负，再按绝对值的性质去符号后合并同类项，是三角形章节的常见基础考题。
【难度系数】
0.7
8.如图，在$△ ABC$中，$AC=10$，$BC=8$，$AD$，$BE$分别是边$BC$，$AC$上的高，且$AD=8$，则$BE$的长为
$\frac{32}{5}$
。答案
8. $\frac{32}{5}$
解析
【分析】
本题可利用等积法求解，同一个三角形的面积是固定的，我们可以分别以BC、AC为底，对应高分别为AD、BE，根据三角形面积公式列出两个面积表达式，二者相等即可建立关于BE的方程，进而求出BE的长度。
【解析】
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×对应高$：
1. 以BC为底，对应的高为AD，代入已知数据$BC=8$，$AD=8$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×8=32$
2. 以AC为底，对应的高为BE，已知$AC=10$，且面积不变，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BE$
将$S_{△ ABC}=32$，$AC=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10×BE=32$
化简得$5BE=32$，解得$BE=\frac{32}{5}$。
【答案】
$\frac{32}{5}$
【知识点】
三角形面积计算；等积法求线段长
【点评】
本题是三角形高相关的基础题型，解题核心是掌握等积法的应用，找准不同底边对应的高，代入面积公式建立等式即可求解，计算难度较低，需要熟练掌握这种方法来快速求解三角形内的高线长度。
【难度系数】
0.8
本题可利用等积法求解，同一个三角形的面积是固定的，我们可以分别以BC、AC为底，对应高分别为AD、BE，根据三角形面积公式列出两个面积表达式，二者相等即可建立关于BE的方程，进而求出BE的长度。
【解析】
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×对应高$：
1. 以BC为底，对应的高为AD，代入已知数据$BC=8$，$AD=8$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×8=32$
2. 以AC为底，对应的高为BE，已知$AC=10$，且面积不变，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BE$
将$S_{△ ABC}=32$，$AC=10$代入得：
$\frac{1}{2}×10×BE=32$
化简得$5BE=32$，解得$BE=\frac{32}{5}$。
【答案】
$\frac{32}{5}$
【知识点】
三角形面积计算；等积法求线段长
【点评】
本题是三角形高相关的基础题型，解题核心是掌握等积法的应用，找准不同底边对应的高，代入面积公式建立等式即可求解，计算难度较低，需要熟练掌握这种方法来快速求解三角形内的高线长度。
【难度系数】
0.8
9.如图，D为$△ ABC$的边BC上一点，试判断2AD与$△ ABC$的周长之间的大小关系，并说明理由。
答案
9. 解:△ABC的周长＞2AD.理由如下：
在△ABD中,AB+BD＞AD,
在△ACD中,AC+CD＞AD,
所以AB+BD+AC+CD＞2AD,
即AB+AC+BC＞2AD.
因为△ABC的周长=AB+AC+BC,
所以△ABC的周长＞2AD.
在△ABD中,AB+BD＞AD,
在△ACD中,AC+CD＞AD,
所以AB+BD+AC+CD＞2AD,
即AB+AC+BC＞2AD.
因为△ABC的周长=AB+AC+BC,
所以△ABC的周长＞2AD.
解析
【分析】
要判断2AD与△ABC周长的大小关系，可利用三角形三边关系求解。观察图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，我们可以分别在这两个小三角形中运用“三角形两边之和大于第三边”列出不等式，再将两个不等式相加，对左侧线段和整理后即可对应△ABC的周长，进而推导出两者的大小关系。
【解析】
解：△ABC的周长＞2AD，理由如下：
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
在△ABD中，$AB+BD＞AD$，
在△ACD中，$AC+CD＞AD$，
将两个不等式左右两边分别相加，可得：
$AB+BD+AC+CD＞AD+AD$，
即$AB+AC+(BD+CD)＞2AD$，
又因为$BD+CD=BC$，因此$AB+AC+BC＞2AD$，
而△ABC的周长$=AB+AC+BC$，
所以△ABC的周长＞2AD。
【答案】
△ABC的周长＞2AD
【知识点】
1.三角形三边关系
2.不等式基本性质
3.三角形周长定义
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题的关键是将大三角形拆分为两个含AD的小三角形，分别列不等式后合并化简即可得到结论，解题思路具有典型性，掌握该方法可解决同类线段和比较的问题。
【难度系数】
0.8
要判断2AD与△ABC周长的大小关系，可利用三角形三边关系求解。观察图形可知AD是△ABD和△ACD的公共边，我们可以分别在这两个小三角形中运用“三角形两边之和大于第三边”列出不等式，再将两个不等式相加，对左侧线段和整理后即可对应△ABC的周长，进而推导出两者的大小关系。
【解析】
解：△ABC的周长＞2AD，理由如下：
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
在△ABD中，$AB+BD＞AD$，
在△ACD中，$AC+CD＞AD$，
将两个不等式左右两边分别相加，可得：
$AB+BD+AC+CD＞AD+AD$，
即$AB+AC+(BD+CD)＞2AD$，
又因为$BD+CD=BC$，因此$AB+AC+BC＞2AD$，
而△ABC的周长$=AB+AC+BC$，
所以△ABC的周长＞2AD。
【答案】
△ABC的周长＞2AD
【知识点】
1.三角形三边关系
2.不等式基本性质
3.三角形周长定义
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题的关键是将大三角形拆分为两个含AD的小三角形，分别列不等式后合并化简即可得到结论，解题思路具有典型性，掌握该方法可解决同类线段和比较的问题。
【难度系数】
0.8
10. 如图，$△ ABC$ 的面积为 14，$DC=3DB$，$AE=ED$. 求阴影部分的面积.
答案
10. 解:如图,连接FD.
因为AE=ED,
所以$S_{△AEF}=S_{△DEF},S_{△AEC}=S_{△DEC}.$
所以$S_{阴影}=S_{△AEF}+S_{△DEC}=S_{△DEF}+S_{△DEC}=S_{△DFC},S_{△AEC}+S_{△AEF}=S_{△DEF}+S_{DEC}.$
即$S_{△AFC}=S_{△DFC}.$
因为CD=3BD,所以$S_{△FDC}=3S_{△FBD}.$
设$S_{△BDF}=x$,则$S_{△CDF}=S_{△AFC}=3x,$
因为$S_{△ABC}=14$,所以$x+3x+3x=14$,所以$x=2,$
即$S_{△BDF}=2.$
所以$S_{阴影}=S_{△DFC}=3x=6.$
解析
【分析】
解题时可先根据已知的中点条件AE=ED，联想到等底等高的三角形面积相等，因此作辅助线连接FD，可将分散的两部分阴影面积转化为整块△DFC的面积；再结合DC=3DB的比例条件，可知同高的△FDC和△FBD的面积比等于底的比3:1，同时可推导得△AFC的面积与△DFC相等，最后将△ABC的总面积按比例拆分即可求出阴影面积。
【解析】
解：如图，连接FD。
∵ AE=ED，△AEF和△DEF等底同高，△AEC和△DEC等底同高，
∴ $S_{△AEF}=S_{△DEF}$，$S_{△AEC}=S_{△DEC}$。
∴ $S_{阴影}=S_{△AEF}+S_{△DEC}=S_{△DEF}+S_{△DEC}=S_{△DFC}$，同时可得$S_{△AFC}=S_{△AEF}+S_{△AEC}=S_{△DEF}+S_{△DEC}=S_{△DFC}$。
∵ CD=3BD，△FDC和△FBD同高，面积比等于底的长度比，
∴ $S_{△FDC}=3S_{△FBD}$。
设$S_{△BDF}=x$，则$S_{△CDF}=S_{△AFC}=3x$，
∵ $S_{△ABC}=14$，即$x+3x+3x=14$，
解得$x=2$，
∴ $S_{阴影}=S_{△DFC}=3x=6$。
【答案】
阴影部分的面积为6。
【知识点】
等底等高三角形面积性质，三角形面积比例关系，辅助线构造
【点评】
本题侧重考察三角形面积与底高关系的应用，解题关键是通过构造辅助线，利用中点性质实现阴影面积的等量转化，再结合线段比例拆分总面积求解，能有效提升学生的转化思维和几何分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时可先根据已知的中点条件AE=ED，联想到等底等高的三角形面积相等，因此作辅助线连接FD，可将分散的两部分阴影面积转化为整块△DFC的面积；再结合DC=3DB的比例条件，可知同高的△FDC和△FBD的面积比等于底的比3:1，同时可推导得△AFC的面积与△DFC相等，最后将△ABC的总面积按比例拆分即可求出阴影面积。
【解析】
解：如图，连接FD。
∵ AE=ED，△AEF和△DEF等底同高，△AEC和△DEC等底同高，
∴ $S_{△AEF}=S_{△DEF}$，$S_{△AEC}=S_{△DEC}$。
∴ $S_{阴影}=S_{△AEF}+S_{△DEC}=S_{△DEF}+S_{△DEC}=S_{△DFC}$，同时可得$S_{△AFC}=S_{△AEF}+S_{△AEC}=S_{△DEF}+S_{△DEC}=S_{△DFC}$。
∵ CD=3BD，△FDC和△FBD同高，面积比等于底的长度比，
∴ $S_{△FDC}=3S_{△FBD}$。
设$S_{△BDF}=x$，则$S_{△CDF}=S_{△AFC}=3x$，
∵ $S_{△ABC}=14$，即$x+3x+3x=14$，
解得$x=2$，
∴ $S_{阴影}=S_{△DFC}=3x=6$。
【答案】
阴影部分的面积为6。
【知识点】
等底等高三角形面积性质，三角形面积比例关系，辅助线构造
【点评】
本题侧重考察三角形面积与底高关系的应用，解题关键是通过构造辅助线，利用中点性质实现阴影面积的等量转化，再结合线段比例拆分总面积求解，能有效提升学生的转化思维和几何分析能力。
【难度系数】
0.6
