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【变式】下列长度的3条线段中,能首尾依次相接组成三角形的是 （
A.1 cm,2 cm,4 cm
B.8 cm,6 cm,4 cm
C.15 cm,5 cm,6 cm
D.1 cm,3 cm,4 cm
B
）A.1 cm,2 cm,4 cm
B.8 cm,6 cm,4 cm
C.15 cm,5 cm,6 cm
D.1 cm,3 cm,4 cm
答案
【变式】 B
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以采用简便判断方法：仅验证较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。因为最长线段与任意一条较短线段的和必然大于另一条较短线段，只要较短两边之和大于最长边，就满足全部三边关系，可构成三角形，反之则不能。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. 三条线段长1cm、2cm、4cm，较短两边之和为$1+2=3\mathrm{cm}$，$3\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，不满足三边关系，不能组成三角形；
B. 三条线段长8cm、6cm、4cm，较短两边之和为$4+6=10\mathrm{cm}$，$10\mathrm{cm}＞8\mathrm{cm}$，满足三边关系，可以组成三角形；
C. 三条线段长15cm、5cm、6cm，较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11\mathrm{cm}＜15\mathrm{cm}$，不满足三边关系，不能组成三角形；
D. 三条线段长1cm、3cm、4cm，较短两边之和为$1+3=4\mathrm{cm}$，$4\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$，不满足“两边之和大于第三边”的要求，不能组成三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“比较较短两边之和与最长边大小”的简便判断方法可快速解题，需注意两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以采用简便判断方法：仅验证较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可。因为最长线段与任意一条较短线段的和必然大于另一条较短线段，只要较短两边之和大于最长边，就满足全部三边关系，可构成三角形，反之则不能。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. 三条线段长1cm、2cm、4cm，较短两边之和为$1+2=3\mathrm{cm}$，$3\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，不满足三边关系，不能组成三角形；
B. 三条线段长8cm、6cm、4cm，较短两边之和为$4+6=10\mathrm{cm}$，$10\mathrm{cm}＞8\mathrm{cm}$，满足三边关系，可以组成三角形；
C. 三条线段长15cm、5cm、6cm，较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11\mathrm{cm}＜15\mathrm{cm}$，不满足三边关系，不能组成三角形；
D. 三条线段长1cm、3cm、4cm，较短两边之和为$1+3=4\mathrm{cm}$，$4\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$，不满足“两边之和大于第三边”的要求，不能组成三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“比较较短两边之和与最长边大小”的简便判断方法可快速解题，需注意两边之和等于第三边时，三条线段共线，无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
【例3】(淄博模拟)如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E.F为AB上一点,CF⊥AD于点H,则下列说法正确的有（
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高线；
④AH是△ACF的角平分线和高线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
规律总结 三角形的角平分线、中线、高线各有三条,并且各自交于一点;三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
B
）①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高线；
④AH是△ACF的角平分线和高线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
规律总结 三角形的角平分线、中线、高线各有三条,并且各自交于一点;三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
答案
【例3】 B
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形角平分线、中线、高线的定义，我们只需逐个验证4个说法是否符合对应概念即可：
1. 三角形角平分线：内角平分线与对边相交，角的顶点和交点之间的线段，需同时满足平分内角、两个端点分别在对应顶点和对边上；
2. 三角形中线：连接三角形顶点和它对边中点的线段，需满足一个端点为三角形顶点，另一个为对边中点；
3. 三角形高线：从顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段，需满足与对边垂直，且垂足在对边上。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
①：△ABE的角平分线端点应落在BE边上，题中AD的端点D在BC边上，仅AG是△ABE的角平分线，故①错误；
②：△ABD边AD上的中线端点应为AD的中点G，题中BE的端点E在AC边上，仅BG是△ABD边AD上的中线，故②错误；
③：CF⊥AD于H，即CH⊥AD，且垂足H在AD边上，符合△ACD边AD上高线的定义，故③正确；
④：由∠1=∠2可知AH平分△ACF的内角∠CAF，又CF⊥AD即AH⊥CF，垂足H在CF边上，因此AH是△ACF的角平分线和高线，故④正确。
综上，正确的说法共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题侧重考查对三角形三类基础线段定义的辨析，解题时需注意区分不同三角形的对应线段，不能混淆线段的端点位置和性质要求。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是三角形角平分线、中线、高线的定义，我们只需逐个验证4个说法是否符合对应概念即可：
1. 三角形角平分线：内角平分线与对边相交，角的顶点和交点之间的线段，需同时满足平分内角、两个端点分别在对应顶点和对边上；
2. 三角形中线：连接三角形顶点和它对边中点的线段，需满足一个端点为三角形顶点，另一个为对边中点；
3. 三角形高线：从顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段，需满足与对边垂直，且垂足在对边上。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
①：△ABE的角平分线端点应落在BE边上，题中AD的端点D在BC边上，仅AG是△ABE的角平分线，故①错误；
②：△ABD边AD上的中线端点应为AD的中点G，题中BE的端点E在AC边上，仅BG是△ABD边AD上的中线，故②错误；
③：CF⊥AD于H，即CH⊥AD，且垂足H在AD边上，符合△ACD边AD上高线的定义，故③正确；
④：由∠1=∠2可知AH平分△ACF的内角∠CAF，又CF⊥AD即AH⊥CF，垂足H在CF边上，因此AH是△ACF的角平分线和高线，故④正确。
综上，正确的说法共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题侧重考查对三角形三类基础线段定义的辨析，解题时需注意区分不同三角形的对应线段，不能混淆线段的端点位置和性质要求。
【难度系数】
0.7
【变式】(临沂模拟)如图,在
△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是 (
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△BCE的高
△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是 (C
)A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△BCE的高
答案
【变式】 C
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形中线、角平分线、高的定义，再结合题干给出的已知条件，逐个验证每个选项的正误：①已知AE=DE，可判断E是AD中点，对应验证中线相关选项；②已知BD平分∠EBC，对应验证角平分线相关选项；③结合∠C=90°验证高相关选项；最后判断角相等的选项是否成立即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 在△ABD中，
∵AE=DE，
∴E是AD边的中点，根据三角形中线的定义，BE是△ABD的AD边上的中线，该选项说法正确，不符合题意；
B.
∵BD平分∠EBC，即BD平分△BCE的内角∠EBC，且BD与CE交于点D，根据三角形角平分线的定义，BD是△BCE的角平分线，该选项说法正确，不符合题意；
C. 由BD平分∠EBC可得∠2=∠3，但BE仅为△ABD的中线，没有条件可证明BE平分∠ABD，因此∠1与∠2不一定相等，故∠1=∠2=∠3的说法不成立，该选项错误，符合题意；
D.
∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，根据三角形高的定义，BC是△BCE的CE边上的高，该选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题考查三角形中三种重要线段的概念，解题的核心是准确区分中线、角平分线、高的定义，注意中线仅能反映对边的数量关系，不能直接推出角相等，避免混淆不同线段的性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三角形中线、角平分线、高的定义，再结合题干给出的已知条件，逐个验证每个选项的正误：①已知AE=DE，可判断E是AD中点，对应验证中线相关选项；②已知BD平分∠EBC，对应验证角平分线相关选项；③结合∠C=90°验证高相关选项；最后判断角相等的选项是否成立即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 在△ABD中，
∵AE=DE，
∴E是AD边的中点，根据三角形中线的定义，BE是△ABD的AD边上的中线，该选项说法正确，不符合题意；
B.
∵BD平分∠EBC，即BD平分△BCE的内角∠EBC，且BD与CE交于点D，根据三角形角平分线的定义，BD是△BCE的角平分线，该选项说法正确，不符合题意；
C. 由BD平分∠EBC可得∠2=∠3，但BE仅为△ABD的中线，没有条件可证明BE平分∠ABD，因此∠1与∠2不一定相等，故∠1=∠2=∠3的说法不成立，该选项错误，符合题意；
D.
∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，根据三角形高的定义，BC是△BCE的CE边上的高，该选项说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题考查三角形中三种重要线段的概念，解题的核心是准确区分中线、角平分线、高的定义，注意中线仅能反映对边的数量关系，不能直接推出角相等，避免混淆不同线段的性质。
【难度系数】
0.8
【例4】如图,在$△ ABC$中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高,$BE=2$,$AF=3$.
(1)$BE=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$
(2)$∠ BAD=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$
(3)$∠ AFB=$
(4)$S_{△ AEC}=$
规律总结 三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形,故三角形的中线等分三角形的面积.
(1)$BE=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$
BC
；(2)$∠ BAD=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$
∠BAC
；(3)$∠ AFB=$
∠AFC
=90°
；(4)$S_{△ AEC}=$
3
(写出具体的数值).规律总结 三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形,故三角形的中线等分三角形的面积.
答案
【例4】(1) CE BC (2) ∠CAD ∠BAC (3) ∠AFC 90° (4) 3
解析
【分析】
解题时需结合三角形中线、角平分线、高的定义和性质逐一分析每个小问：
1. 对于(1)，回忆三角形中线的定义：中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，可得到边的等量关系；
2. 对于(2)，回忆三角形角平分线的定义：角平分线平分三角形的一个内角，可得到角的等量关系；
3. 对于(3)，回忆三角形高的定义：高是从顶点向对边作的垂线，可得到直角的结论；
4. 对于(4)，结合中线得到等底，高相同，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，
∴$BE=CE=\frac{1}{2}BC$；
(2)
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD平分∠BAC，
∴$∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$；
(3)
∵AF是△ABC的高，
∴$AF⊥BC$，
∴$∠AFB=∠AFC=90°$；
(4) 由AE是中线可得$EC=BE=2$，AF是△AEC的高，$AF=3$，根据三角形面积公式：
$S_{△AEC}=\frac{1}{2}×EC×AF=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
(1) CE，BC；(2) ∠CAD，∠BAC；(3) ∠AFC，90°；(4) 3
【知识点】
三角形的中线性质，三角形的角平分线性质，三角形的高的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三种重要线段的定义与性质，同时涉及三角形面积的计算，熟练掌握相关概念和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时需结合三角形中线、角平分线、高的定义和性质逐一分析每个小问：
1. 对于(1)，回忆三角形中线的定义：中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，可得到边的等量关系；
2. 对于(2)，回忆三角形角平分线的定义：角平分线平分三角形的一个内角，可得到角的等量关系；
3. 对于(3)，回忆三角形高的定义：高是从顶点向对边作的垂线，可得到直角的结论；
4. 对于(4)，结合中线得到等底，高相同，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，
∴$BE=CE=\frac{1}{2}BC$；
(2)
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD平分∠BAC，
∴$∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$；
(3)
∵AF是△ABC的高，
∴$AF⊥BC$，
∴$∠AFB=∠AFC=90°$；
(4) 由AE是中线可得$EC=BE=2$，AF是△AEC的高，$AF=3$，根据三角形面积公式：
$S_{△AEC}=\frac{1}{2}×EC×AF=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
(1) CE，BC；(2) ∠CAD，∠BAC；(3) ∠AFC，90°；(4) 3
【知识点】
三角形的中线性质，三角形的角平分线性质，三角形的高的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三种重要线段的定义与性质，同时涉及三角形面积的计算，熟练掌握相关概念和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【变式】(大同模拟)如图，已知AE,AD分别是△ABC的边BC上的高和中线，AE=5，BC=8，则△ABD的面积为
10
.答案
【变式】 10
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，可求出BD的长度；再结合AE是BC边上的高，可知AE也是△ABD中BD边上的高，最后代入三角形面积公式即可求出△ABD的面积。
【解析】
解：
∵AD是△ABC边BC上的中线，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC，
已知BC=8，
∴BD = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
又
∵AE是△ABC边BC上的高，
∴AE是△ABD的边BD上的高，AE=5，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×BD×AE=\frac{1}{2}×4×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积公式；三角形的高
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握三角形中线平分对边的性质，明确同一条高线可以作为共线底边对应的高，直接代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用三角形中线的性质：三角形的中线平分对边，可求出BD的长度；再结合AE是BC边上的高，可知AE也是△ABD中BD边上的高，最后代入三角形面积公式即可求出△ABD的面积。
【解析】
解：
∵AD是△ABC边BC上的中线，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC，
已知BC=8，
∴BD = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
又
∵AE是△ABC边BC上的高，
∴AE是△ABD的边BD上的高，AE=5，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×BD×AE=\frac{1}{2}×4×5=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积公式；三角形的高
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握三角形中线平分对边的性质，明确同一条高线可以作为共线底边对应的高，直接代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
1. 在如图所示的图形中，三角形的个数为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. C
解析
【分析】
要正确数出图形中三角形的个数，需遵循不重复、不遗漏的原则，可以按从小到大的顺序，或者按固定顶点分类计数，先数单个的小三角形，再数由多个小三角形组合形成的大三角形，逐一记录避免出错。
【解析】
我们逐个识别图中的三角形：
1. 以A、B、D为顶点的$△ ABD$；
2. 以A、B、C为顶点的$△ ABC$；
3. 以A、E、C为顶点的$△ AEC$；
4. 以E、D、C为顶点的$△ EDC$；
5. 以A、D、C为顶点的$△ ADC$。
合计共有5个三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形的识别、图形计数
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角形概念的理解，计数时按一定顺序排查即可避免错漏。
【难度系数】
0.8
要正确数出图形中三角形的个数，需遵循不重复、不遗漏的原则，可以按从小到大的顺序，或者按固定顶点分类计数，先数单个的小三角形，再数由多个小三角形组合形成的大三角形，逐一记录避免出错。
【解析】
我们逐个识别图中的三角形：
1. 以A、B、D为顶点的$△ ABD$；
2. 以A、B、C为顶点的$△ ABC$；
3. 以A、E、C为顶点的$△ AEC$；
4. 以E、D、C为顶点的$△ EDC$；
5. 以A、D、C为顶点的$△ ADC$。
合计共有5个三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形的识别、图形计数
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角形概念的理解，计数时按一定顺序排查即可避免错漏。
【难度系数】
0.8
2.有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形和三边都不相等的三角形.
其中说法正确的有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形和三边都不相等的三角形.
其中说法正确的有 （
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
2. D
解析
【分析】
解题时需先明确等腰三角形、等边三角形的定义，以及三角形按边分类的标准，逐一判断三个说法的正误，最终统计正确说法的个数对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析三个说法：
1. 分析说法①：等腰三角形的定义是至少有两条边相等的三角形，等边三角形三条边都相等，满足等腰三角形的定义，是特殊的等腰三角形，故①正确；
2. 分析说法②：存在等腰直角三角形，它的两条直角边相等，既属于等腰三角形也属于直角三角形，因此等腰三角形可能是直角三角形，故②正确；
3. 分析说法③：三角形按边分类时，可分为两类：第一类是三边都不相等的三角形，第二类是至少有两边相等的等腰三角形（等腰三角形又可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形），该分类符合不重不漏的原则，故③正确。
综上，3个说法都正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类、等腰三角形定义、等边三角形定义
【点评】
本题考查三角形的基础概念，核心是对特殊三角形的定义和分类标准的识记，易错点是容易混淆三角形按边分类的逻辑，误以为等边三角形不属于等腰三角形，只要准确掌握相关定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时需先明确等腰三角形、等边三角形的定义，以及三角形按边分类的标准，逐一判断三个说法的正误，最终统计正确说法的个数对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析三个说法：
1. 分析说法①：等腰三角形的定义是至少有两条边相等的三角形，等边三角形三条边都相等，满足等腰三角形的定义，是特殊的等腰三角形，故①正确；
2. 分析说法②：存在等腰直角三角形，它的两条直角边相等，既属于等腰三角形也属于直角三角形，因此等腰三角形可能是直角三角形，故②正确；
3. 分析说法③：三角形按边分类时，可分为两类：第一类是三边都不相等的三角形，第二类是至少有两边相等的等腰三角形（等腰三角形又可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形），该分类符合不重不漏的原则，故③正确。
综上，3个说法都正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类、等腰三角形定义、等边三角形定义
【点评】
本题考查三角形的基础概念，核心是对特殊三角形的定义和分类标准的识记，易错点是容易混淆三角形按边分类的逻辑，误以为等边三角形不属于等腰三角形，只要准确掌握相关定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，下列线段是△ABC的中线的是（
A.线段AE
B.线段BE
C.线段CE
D.线段DE
A
）A.线段AE
B.线段BE
C.线段CE
D.线段DE
答案
3. A
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步先根据折叠的性质推导点E的位置，折叠后点B和点C重合，说明折痕DE是线段BC的垂直平分线，因此点E是BC边的中点；第二步结合三角形中线的定义判断选项，三角形中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，只需找到满足“连接顶点+对边中点”的线段即可。
【解析】
解：
∵将三角形纸片折叠使点B、C重合，折痕为DE，
∴DE垂直平分线段BC，即点E是BC的中点。
根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
可知线段AE是连接△ABC的顶点A和BC边中点E的线段，因此AE是△ABC的中线。
线段BE、CE都只是BC边上的部分线段，线段DE是折痕未连接三角形的顶点，均不符合中线定义，故排除B、C、D。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是先通过折叠得到BC边的中点，再结合中线的定义判断即可，掌握基础概念是得分的核心。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步思考：第一步先根据折叠的性质推导点E的位置，折叠后点B和点C重合，说明折痕DE是线段BC的垂直平分线，因此点E是BC边的中点；第二步结合三角形中线的定义判断选项，三角形中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，只需找到满足“连接顶点+对边中点”的线段即可。
【解析】
解：
∵将三角形纸片折叠使点B、C重合，折痕为DE，
∴DE垂直平分线段BC，即点E是BC的中点。
根据三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
可知线段AE是连接△ABC的顶点A和BC边中点E的线段，因此AE是△ABC的中线。
线段BE、CE都只是BC边上的部分线段，线段DE是折痕未连接三角形的顶点，均不符合中线定义，故排除B、C、D。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是先通过折叠得到BC边的中点，再结合中线的定义判断即可，掌握基础概念是得分的核心。
【难度系数】
0.9
