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1. 三角形的内角和
三角形的内角和等于
三角形的内角和等于
180°
.答案
1. 180°
解析
【分析】
本题考查三角形内角和的基础知识点，思考时可从两个方向入手：一是直接回忆已学的三角形内角和相关定理结论；二是通过验证或推导的方式得出结果，既可以通过剪拼三角形的三个内角，观察到能拼成一个平角，结合平角为180°的性质推导，也可以通过作平行线，利用平行线的内错角相等性质，将三个内角转化为同顶点的平角来推导。
【解析】
我们可以通过推理证明得到结论：
已知任意△ABC，过点A作直线EF//BC。
∵EF//BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠FAC（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C=180°，
即三角形的内角和等于180°。
也可通过实验验证：将三角形三个内角剪下后拼接，可得到一个平角，直接得到内角和为180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理，平角的性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考察对三角形内角和定理的识记与理解，该定理是解决所有三角形角度计算、几何证明相关问题的基础，需牢牢掌握。
【难度系数】
0.95
本题考查三角形内角和的基础知识点，思考时可从两个方向入手：一是直接回忆已学的三角形内角和相关定理结论；二是通过验证或推导的方式得出结果，既可以通过剪拼三角形的三个内角，观察到能拼成一个平角，结合平角为180°的性质推导，也可以通过作平行线，利用平行线的内错角相等性质，将三个内角转化为同顶点的平角来推导。
【解析】
我们可以通过推理证明得到结论：
已知任意△ABC，过点A作直线EF//BC。
∵EF//BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠FAC（两直线平行，内错角相等）。
又
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C=180°，
即三角形的内角和等于180°。
也可通过实验验证：将三角形三个内角剪下后拼接，可得到一个平角，直接得到内角和为180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理，平角的性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考察对三角形内角和定理的识记与理解，该定理是解决所有三角形角度计算、几何证明相关问题的基础，需牢牢掌握。
【难度系数】
0.95
2. 三角形按角分类
三个角都是锐角的三角形叫作
3. 直角三角形
直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作
4. 三角形的外角
概念:把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角.
性质:三角形的一个外角等于
.
三个角都是锐角的三角形叫作
锐角
三角形，有一个角是直
角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝
角的三角形叫作钝角三角形.3. 直角三角形
直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作
直角边
，直角的对边叫作斜边
.特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形
.4. 三角形的外角
概念:把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角.
性质:三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和
..
答案
2. 锐角 直 钝
3. 直角边 斜边 等腰直角三角形
4. 与它不相邻的两个内角的和
3. 直角边 斜边 等腰直角三角形
4. 与它不相邻的两个内角的和
解析
【分析】
本题为基础概念类填空题，考查三角形相关核心基础定义与性质，解题时只需准确回忆对应知识点即可作答：首先回忆三角形按角分类的三类三角形的定义完成第2题；再回忆直角三角形的边的命名、特殊直角三角形的定义完成第3题；最后回忆三角形外角的性质完成第4题，作答时注意概念表述要准确，不要混淆相近概念。
【解析】
2. 根据三角形按角分类的定义：三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形，因此依次对应填空即可。
3. 根据直角三角形的相关概念：直角三角形中夹直角的两条边叫作直角边，直角的对边叫作斜边；两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形，因此依次对应填空即可。
4. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，据此填空即可。
【答案】
2. 锐角 直 钝
3. 直角边 斜边 等腰直角三角形
4. 与它不相邻的两个内角的和
【知识点】
三角形的分类；直角三角形的概念；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查对三角形相关基础定义、性质的掌握情况，这些内容是三角形后续计算、证明类题目的基础，需要准确牢记。
【难度系数】
0.9
本题为基础概念类填空题，考查三角形相关核心基础定义与性质，解题时只需准确回忆对应知识点即可作答：首先回忆三角形按角分类的三类三角形的定义完成第2题；再回忆直角三角形的边的命名、特殊直角三角形的定义完成第3题；最后回忆三角形外角的性质完成第4题，作答时注意概念表述要准确，不要混淆相近概念。
【解析】
2. 根据三角形按角分类的定义：三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形，因此依次对应填空即可。
3. 根据直角三角形的相关概念：直角三角形中夹直角的两条边叫作直角边，直角的对边叫作斜边；两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形，因此依次对应填空即可。
4. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，据此填空即可。
【答案】
2. 锐角 直 钝
3. 直角边 斜边 等腰直角三角形
4. 与它不相邻的两个内角的和
【知识点】
三角形的分类；直角三角形的概念；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查对三角形相关基础定义、性质的掌握情况，这些内容是三角形后续计算、证明类题目的基础，需要准确牢记。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，点$E$在$AC$上，且$∠ A＝30°$，$∠ B＝40°$.求$∠ BFD$和$∠ C$的度数.
答案
【例1】解:因为 AD⊥BC，
所以∠FDB=∠ADC=90°.
因为∠B=40°，
所以∠BFD=180°-∠FDB-∠B=180°-90°-40°=50°.
因为∠A=30°，
所以∠C=180°-∠ADC-∠A=180°-90°-30°=60°.
所以∠FDB=∠ADC=90°.
因为∠B=40°，
所以∠BFD=180°-∠FDB-∠B=180°-90°-40°=50°.
因为∠A=30°，
所以∠C=180°-∠ADC-∠A=180°-90°-30°=60°.
解析
【分析】
本题要求两个角的度数，解题思路如下：首先根据$AD⊥BC$的条件，可得$△ BFD$和$△ ADC$都是直角三角形，两个三角形中都有一个内角为$90°$。①求$∠ BFD$时，找到它所在的$△ BFD$，已知$∠ B=40°$，$∠ FDB=90°$，结合三角形内角和为$180°$，用$180°$减去这两个已知角的度数即可求出$∠ BFD$；②求$∠ C$时，找到它所在的$△ ADC$，已知$∠ A=30°$，$∠ ADC=90°$，同样利用三角形内角和定理，用$180°$减去这两个已知角的度数就能得到$∠ C$的度数。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ FDB=∠ ADC=90°$。
在$△ BFD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BFD=180°-∠ FDB-∠ B=180°-90°-40°=50°$。
在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ C=180°-∠ ADC-∠ A=180°-90°-30°=60°$。
【答案】
$∠ BFD=50°$，$∠ C=60°$
【知识点】
1. 垂直的定义
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心是利用垂直的性质得到直角，再结合三角形内角和定理求解未知角，解题的关键是准确找到所求角对应的三角形，理清已知条件和所求量的关系，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
本题要求两个角的度数，解题思路如下：首先根据$AD⊥BC$的条件，可得$△ BFD$和$△ ADC$都是直角三角形，两个三角形中都有一个内角为$90°$。①求$∠ BFD$时，找到它所在的$△ BFD$，已知$∠ B=40°$，$∠ FDB=90°$，结合三角形内角和为$180°$，用$180°$减去这两个已知角的度数即可求出$∠ BFD$；②求$∠ C$时，找到它所在的$△ ADC$，已知$∠ A=30°$，$∠ ADC=90°$，同样利用三角形内角和定理，用$180°$减去这两个已知角的度数就能得到$∠ C$的度数。
【解析】
解：$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ FDB=∠ ADC=90°$。
在$△ BFD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BFD=180°-∠ FDB-∠ B=180°-90°-40°=50°$。
在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ C=180°-∠ ADC-∠ A=180°-90°-30°=60°$。
【答案】
$∠ BFD=50°$，$∠ C=60°$
【知识点】
1. 垂直的定义
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心是利用垂直的性质得到直角，再结合三角形内角和定理求解未知角，解题的关键是准确找到所求角对应的三角形，理清已知条件和所求量的关系，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.85
【变式】在$△ ABC$中，$∠ C=40°$，且$∠ B:∠ A=4:3$，则$∠ B$的度数为
80°
。答案
【变式】 80°
解析
【分析】
解题思路：首先回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。已知∠C的度数，可先求出∠A与∠B的度数和；再根据∠B与∠A的比例关系，设参数列方程求解，即可算出∠B的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，已知∠C=40°，因此：
$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 180° - 40° = 140°$
由$∠ B:∠ A=4:3$，可设$∠ B=4x$，$∠ A=3x$，代入上式得：
$3x + 4x = 140°$
$7x = 140°$
解得$x=20°$
因此$∠ B=4x=4×20°=80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 按比例计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，结合角度比例关系求解未知角，解题关键是牢记三角形内角和为180°，熟练运用比例关系设参计算即可。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。已知∠C的度数，可先求出∠A与∠B的度数和；再根据∠B与∠A的比例关系，设参数列方程求解，即可算出∠B的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，已知∠C=40°，因此：
$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 180° - 40° = 140°$
由$∠ B:∠ A=4:3$，可设$∠ B=4x$，$∠ A=3x$，代入上式得：
$3x + 4x = 140°$
$7x = 140°$
解得$x=20°$
因此$∠ B=4x=4×20°=80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 按比例计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，结合角度比例关系求解未知角，解题关键是牢记三角形内角和为180°，熟练运用比例关系设参计算即可。
【难度系数】
0.9
【例2】如图，已知$∠ A=75°,∠ B=25°,∠ C=35°$,求$∠ BDC$和$∠ 1$的度数. 
答案
【例2】解:因为∠A=75°,∠C=35°,
所以∠BDC=∠A+∠C=75°+35°=110°.
因为∠B=25°,
所以∠1=∠BDC+∠B=110°+25°=135°.
所以∠BDC=∠A+∠C=75°+35°=110°.
因为∠B=25°,
所以∠1=∠BDC+∠B=110°+25°=135°.
解析
【分析】
解题时需运用三角形外角的性质，首先观察∠BDC的位置：它是△ADC的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可通过已知的∠A和∠C的度数求出∠BDC；再观察∠1的位置：它是△BDE的外角，结合已经求出的∠BDC和已知的∠B的度数，同样利用三角形外角的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
因为∠BDC是△ADC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠BDC=∠A+∠C
已知∠A=75°，∠C=35°，代入得：
∠BDC=75°+35°=110°
又因为∠1是△BDE的外角，同理可得：
∠1=∠BDC+∠B
已知∠B=25°，代入得：
∠1=110°+25°=135°
【答案】
∠BDC=110°，∠1=135°
【知识点】
三角形外角的性质；角度和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查三角形外角性质的应用，解题核心是准确识别所求角对应的三角形外角，找到对应的不相邻内角代入计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时需运用三角形外角的性质，首先观察∠BDC的位置：它是△ADC的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可通过已知的∠A和∠C的度数求出∠BDC；再观察∠1的位置：它是△BDE的外角，结合已经求出的∠BDC和已知的∠B的度数，同样利用三角形外角的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
因为∠BDC是△ADC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠BDC=∠A+∠C
已知∠A=75°，∠C=35°，代入得：
∠BDC=75°+35°=110°
又因为∠1是△BDE的外角，同理可得：
∠1=∠BDC+∠B
已知∠B=25°，代入得：
∠1=110°+25°=135°
【答案】
∠BDC=110°，∠1=135°
【知识点】
三角形外角的性质；角度和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查三角形外角性质的应用，解题核心是准确识别所求角对应的三角形外角，找到对应的不相邻内角代入计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
【变式1】(滨州模拟)如图，直线$a // b$，$∠ 1=62°$，$∠ B=46°$，则$∠ 2$的度数为 （
A.$135°$
B.$117°$
C.$108°$
D.$105°$
C
）A.$135°$
B.$117°$
C.$108°$
D.$105°$
答案
【变式1】 C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到直线a//b，可利用平行线的性质得到与∠1相等的角；再观察∠2的位置，发现它是△BCD的外角，结合三角形外角的性质即可求出∠2的度数。具体步骤为：①由平行线同位角相等得∠ACB=∠1；②根据对顶角相等得到∠BCD=∠ACB；③利用三角形外角等于不相邻两内角和，代入∠B和∠BCD的度数计算∠2。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b$，$∠ 1=62°$
∴ $∠ ACB=∠ 1=62°$（两直线平行，同位角相等）
∵ $∠ BCD$与$∠ ACB$是对顶角
∴ $∠ BCD=∠ ACB=62°$
又
∵ $∠ 2$是$△ BCD$的外角，$∠ B=46°$
∴ $∠ 2=∠ B+∠ BCD=46°+62°=108°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是结合平行线性质和三角形外角性质转化角度关系，解题时要准确识别同位角、外角等特殊角的位置，是几何角度计算的常考类型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先看到直线a//b，可利用平行线的性质得到与∠1相等的角；再观察∠2的位置，发现它是△BCD的外角，结合三角形外角的性质即可求出∠2的度数。具体步骤为：①由平行线同位角相等得∠ACB=∠1；②根据对顶角相等得到∠BCD=∠ACB；③利用三角形外角等于不相邻两内角和，代入∠B和∠BCD的度数计算∠2。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b$，$∠ 1=62°$
∴ $∠ ACB=∠ 1=62°$（两直线平行，同位角相等）
∵ $∠ BCD$与$∠ ACB$是对顶角
∴ $∠ BCD=∠ ACB=62°$
又
∵ $∠ 2$是$△ BCD$的外角，$∠ B=46°$
∴ $∠ 2=∠ B+∠ BCD=46°+62°=108°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是结合平行线性质和三角形外角性质转化角度关系，解题时要准确识别同位角、外角等特殊角的位置，是几何角度计算的常考类型。
【难度系数】
0.7
【变式2】(广州模拟)如图，CE是△ADC的边AD上的高.若∠BAD=40°，∠ECD=25°，则∠B的度数为 (
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
B
)A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
【变式2】 B
解析
【分析】
解题时先从已知条件“CE是△ADC的边AD上的高”入手，首先根据高的定义得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠ADC的度数；再观察∠ADC的位置，它是△ABD的外角，结合三角形外角的性质，即可代入已知角度计算出∠B的度数。
【解析】
∵CE是△ADC的边AD上的高，
∴∠CED=90°，
在Rt△CDE中，已知∠ECD=25°，
∴∠ADC=90°-∠ECD=90°-25°=65°，
∵∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠BAD=40°，
∴∠B=∠ADC - ∠BAD=65°-40°=25°。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形基础性质的综合应用，解题的关键是理清各角之间的数量关系，熟练运用相关性质计算角度。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“CE是△ADC的边AD上的高”入手，首先根据高的定义得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出∠ADC的度数；再观察∠ADC的位置，它是△ABD的外角，结合三角形外角的性质，即可代入已知角度计算出∠B的度数。
【解析】
∵CE是△ADC的边AD上的高，
∴∠CED=90°，
在Rt△CDE中，已知∠ECD=25°，
∴∠ADC=90°-∠ECD=90°-25°=65°，
∵∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠BAD=40°，
∴∠B=∠ADC - ∠BAD=65°-40°=25°。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形基础性质的综合应用，解题的关键是理清各角之间的数量关系，熟练运用相关性质计算角度。
【难度系数】
0.8
