7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转$60°$得到△AED,若$AB=5,AC=4,BC=2$,则BE的长为（）


A.5
B.4
C.2
D.3

7. A

【分析】
解题时先结合旋转的性质思考：旋转前后图形的对应边相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。首先由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，可得AB和AE是对应边，故AB=AE，同时旋转角∠BAE=60°；再根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可判断△ABE是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴BE=AB，
又
∵AB=5，
∴BE=5。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的性质得到边和角的关系，进而判断出等边三角形，属于基础题型，熟练掌握旋转性质和等边三角形判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8

8. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$AC = AD$，连接 $BD$，$∠ BCD = 110°$，则 $∠ ADB$ 的度数为 .

8. $20°$

【分析】
首先根据等边三角形的性质，得到AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，结合已知AC=AD，可推出AB=AC=AD，即△ABD、△ACD均为等腰三角形。先由∠BCD和∠ACB的度数求出∠ACD的度数，再根据等腰三角形两底角相等求出∠CAD的度数，进而得到∠BAD的度数，最后在等腰△ABD中利用三角形内角和即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°
又
∵AC=AD
∴AB=AC=AD，∠ACD=∠ADC
∵∠BCD=110°
∴∠ACD=∠BCD - ∠ACB=110°-60°=50°
∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-2×50°=80°
∴∠BAD=∠BAC + ∠CAD=60°+80°=140°
∵AB=AD
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠BAD)÷2=(180°-140°)÷2=20°
【答案】
20°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查特殊三角形的性质应用，解题核心是通过边相等的条件推导等腰三角形，再结合角度和差关系与内角和定理计算未知角，解题时需注意梳理各角之间的数量关系，避免混淆角度归属。
【难度系数】
0.7

9.如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,若∠AOB=∠COD=60°,连接AC,BD交于点P.
(1)求证:△AOC≌△BOD;
(2)求∠APB的度数.

9. (1)证明:因为$∠AOB=∠COD=60°$,
所以$∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC$,
所以$∠AOC=∠BOD$.
又因为$OA=OB$,$OC=OD$,
所以△AOC≌△BOD(SAS).
(2)解:因为$OA=OB$,$∠AOB=60°$,
所以△AOB是等边三角形,所以$∠OAB=∠OBA=60°$.
因为△AOC≌△BOD,所以$∠OAC=∠OBD$,
所以$∠APB=180°-∠PAB-∠PBA$
$=180°-(∠BAO-∠OAC)-(∠ABO+∠OBD)$
$=180°-60°+∠OAC-60°-∠OBD$
$=60°$.

【分析】
(1)要证明△AOC≌△BOD，已知两组对应边OA=OB、OC=OD，只需证明两边的夹角相等即可。已知∠AOB=∠COD，两个角同时加上公共角∠BOC，即可得到夹角∠AOC=∠BOD，满足SAS全等判定的条件。
(2)求∠APB的度数，首先根据OA=OB且∠AOB=60°，可判定△AOB是等边三角形，得到∠OAB=∠OBA=60°。再利用(1)的全等结论得到∠OAC=∠OBD，将∠APB放在△PAB中，结合三角形内角和为180°，把∠PAB、∠PBA用已知角和相等的角替换，化简后即可求出∠APB的度数。
【解析】
(1)证明：
∵ $∠ AOB=∠ COD=60°$，
∴ $∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$，
即 $∠ AOC=∠ BOD$。
在$△ AOC$和$△ BOD$中：
$\begin{cases}OA=OB \\∠ AOC=∠ BOD \\OC=OD\end{cases}$
∴ $△ AOC≌△ BOD(\mathrm{SAS})$。
(2)解：
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=60°$，
∴ $△ AOB$是等边三角形，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=60°$。
由(1)得$△ AOC≌△ BOD$，
∴ $∠ OAC=∠ OBD$。
在$△ PAB$中，根据三角形内角和定理：
$∠ APB=180°-∠ PAB-∠ PBA$
其中$∠ PAB=∠ BAO-∠ OAC$，$∠ PBA=∠ ABO+∠ OBD$，代入得：
$∠ APB=180°-(∠ BAO-∠ OAC)-(∠ ABO+∠ OBD)$
$=180°-60°+∠ OAC-60°-∠ OBD$
将$∠ OAC=∠ OBD$代入化简，得$∠ APB=60°$。
【答案】
(1)$△ AOC≌△ BOD$得证；
(2)$∠ APB=60°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形全等与等边三角形结合的基础综合题，解题关键是先通过角的和差关系推导全等所需的夹角条件，再利用全等的性质实现角的等量代换，结合三角形内角和求解未知角度，能很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

10.如图，已知$△ ABC$是边长为6 cm的等边三角形，动点$P$，$Q$同时从$A$，$B$两点出发，分别沿$AB$，$BC$方向匀速运动，其中点$P$运动的速度是1 cm/s，点$Q$运动的速度是2 cm/s，当点$Q$到达点$C$时，$P$，$Q$两点都停止运动，设运动时间为$t$ s.
(1)当点$Q$到达点$C$时，$PQ$与$AB$的位置关系如何？请说明理由.
(2)在点$P$，$Q$的运动过程中，$△ BPQ$是否能成为等边三角形？若能，请求出$t$的值；若不能，请说明理由.

10. 解:(1)当点Q到达点C时,$PQ⊥AB$.理由如下:
因为$AB=AC=BC=6$ cm,点Q运动的速度是点P的2倍,
所以当点Q到达点C时,$AP=3$ cm,
所以点P为AB的中点,所以$PQ⊥AB$.
(2)能.理由如下:
因为△ABC是等边三角形,所以$∠B=60°$.
假设在点P,Q的运动过程中,△BPQ能成为等边三角形,
则$BP=BQ$,
所以$6-t=2t$,解得$t=2$.
所以当$t=2$时,△BPQ是等边三角形.

【分析】
(1) 解决第一问先计算点Q到达点C的运动时间：已知BC长6cm，Q的速度为2cm/s，先求出运动时间t，再根据P的速度算出此时AP的长度，判断P的位置，结合等边三角形“三线合一”的性质即可判断PQ与AB的位置关系。
(2) 解决第二问先明确等边三角形的判定条件：已知△ABC是等边三角形，故∠B=60°，若△BPQ为等边三角形，只需满足邻边BP=BQ即可。分别用含t的代数式表示出BP和BQ的长度，列方程求解即可判断是否存在符合条件的t。
【解析】
(1) 当点Q到达点C时，$PQ⊥AB$，理由如下：
已知等边$△ ABC$边长为6cm，点Q的运动速度为2cm/s，因此点Q从B到C的运动时间$t=6÷2=3$s。
此时点P运动的路程$AP=1×3=3$cm，由于AB长6cm，因此点P为AB的中点。
根据等边三角形三线合一的性质，AB边上的中线与AB边上的高重合，因此此时PQ垂直于AB。
(2) $△ BPQ$能成为等边三角形，理由如下：
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ B=60°$。
若$△ BPQ$为等边三角形，则需满足$BP=BQ$（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
由运动规律可知：$BP=AB-AP=6-t$，$BQ=2t$，因此列方程：
$6-t=2t$
解得$t=2$。
即当$t=2$时，$△ BPQ$是等边三角形。
【答案】
(1) $PQ⊥AB$，理由见解析；
(2) 能，$t$的值为2。
【知识点】
等边三角形的性质；等边三角形的判定；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合动点场景考查等边三角形的相关知识，解题关键是根据运动规律用含t的代数式表示对应线段的长度，再结合等边三角形的性质与判定建立等量关系求解，是等边三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7