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1. 配方的概念
当二次项系数为1时，将多项式加上一次项系数
当二次项系数为1时，将多项式加上一次项系数
绝对值的一半
的平方，再减去
这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方。答案
1. 绝对值的一半 减去
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的结构特征：$(x±n)^2 = x^2±2nx + n^2$，当二次项系数为1时，完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方（因为正负不影响平方结果，也可表述为一次项系数绝对值的一半的平方）。其次要注意配方的前提是不改变原多项式的大小，所以额外加上一个数之后，必须再减去同一个数保证式子值恒等，结合这个逻辑就能填出两个空。
【解析】
我们以二次项系数为1的二次式$x^2 + bx$为例推导配方规则：
1. 根据完全平方公式$(a+m)^2 = a^2 + 2am + m^2$，令$a=x$，则对应一次项$2am = bx$，解得$m = \frac{b}{2}$，因此要把$x^2+bx$凑成完全平方式，需要加上$m^2 = (\frac{b}{2})^2$，也就是一次项系数绝对值的一半的平方（平方后符号不影响结果）。
2. 为了保证原多项式的值不变，加上$(\frac{b}{2})^2$后必须再减去同一个数，即$x^2+bx = (x+\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2$，改写前后式子的值完全相等，符合配方要求。
【答案】
绝对值的一半；减去
【知识点】
完全平方公式；配方法的概念
【点评】
本题是配方法的基础概念考查，熟练掌握配方的操作规则是后续使用配方法求解一元二次方程、研究二次函数性质的核心基础，需要准确记忆并理解配方时“先加后减”保证值不变的原则。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的结构特征：$(x±n)^2 = x^2±2nx + n^2$，当二次项系数为1时，完全平方式的常数项等于一次项系数一半的平方（因为正负不影响平方结果，也可表述为一次项系数绝对值的一半的平方）。其次要注意配方的前提是不改变原多项式的大小，所以额外加上一个数之后，必须再减去同一个数保证式子值恒等，结合这个逻辑就能填出两个空。
【解析】
我们以二次项系数为1的二次式$x^2 + bx$为例推导配方规则：
1. 根据完全平方公式$(a+m)^2 = a^2 + 2am + m^2$，令$a=x$，则对应一次项$2am = bx$，解得$m = \frac{b}{2}$，因此要把$x^2+bx$凑成完全平方式，需要加上$m^2 = (\frac{b}{2})^2$，也就是一次项系数绝对值的一半的平方（平方后符号不影响结果）。
2. 为了保证原多项式的值不变，加上$(\frac{b}{2})^2$后必须再减去同一个数，即$x^2+bx = (x+\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2$，改写前后式子的值完全相等，符合配方要求。
【答案】
绝对值的一半；减去
【知识点】
完全平方公式；配方法的概念
【点评】
本题是配方法的基础概念考查，熟练掌握配方的操作规则是后续使用配方法求解一元二次方程、研究二次函数性质的核心基础，需要准确记忆并理解配方时“先加后减”保证值不变的原则。
【难度系数】
0.85
2. 配方法的概念
方程经配方、整理后就可以直接根据
来解.这种解一元二次方程的方
法叫作配方法.
方程经配方、整理后就可以直接根据
平方根的意义
来解.这种解一元二次方程的方
法叫作配方法.
答案
2. 平方根的意义
解析
【分析】
要解答这道题，我们可以先回忆配方法的核心逻辑：配方法的操作目标是把一元二次方程整理为左边是含未知数的完全平方式、右边是常数的形式，即形如$(x+m)^2=n$的结构。当$n≥0$时，求解这个方程的本质是找平方等于$n$的数，这一推导的依据就是平方根的意义，由此就能确定空缺处的内容。
【解析】
配方法是解一元二次方程的常用方法：首先对一元二次方程移项，将二次项系数化为1后，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方式，整理为$(x+m)^2=n$的形式。当$n≥0$时，就可以直接根据平方根的意义，对等式两边开平方求出方程的解，这种解一元二次方程的方法就叫作配方法。因此空缺处应填平方根的意义。
【答案】
平方根的意义
【知识点】
配方法的定义；平方根的意义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对配方法概念和原理的理解，牢记配方法的推导依据即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解答这道题，我们可以先回忆配方法的核心逻辑：配方法的操作目标是把一元二次方程整理为左边是含未知数的完全平方式、右边是常数的形式，即形如$(x+m)^2=n$的结构。当$n≥0$时，求解这个方程的本质是找平方等于$n$的数，这一推导的依据就是平方根的意义，由此就能确定空缺处的内容。
【解析】
配方法是解一元二次方程的常用方法：首先对一元二次方程移项，将二次项系数化为1后，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方式，整理为$(x+m)^2=n$的形式。当$n≥0$时，就可以直接根据平方根的意义，对等式两边开平方求出方程的解，这种解一元二次方程的方法就叫作配方法。因此空缺处应填平方根的意义。
【答案】
平方根的意义
【知识点】
配方法的定义；平方根的意义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对配方法概念和原理的理解，牢记配方法的推导依据即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【例1】填空：
(1)$x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$x^2 - \_\_\_\_\_\_x + 16 = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(3)$x^2 + 7x + \frac{49}{4} = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$;
(4)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$.
(1)$x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$x^2 - \_\_\_\_\_\_x + 16 = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$;
(3)$x^2 + 7x + \frac{49}{4} = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$;
(4)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$.
答案
(1) 4 2 (2) 8 4 (3) $\frac{7}{2}$ (4) $\frac{1}{25}$ $\frac{1}{5}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(x\pm a)^2=x^2\pm2ax+a^2$。解题时先确定式子中已知的一次项系数或常数项，再根据公式推导未知项：若已知一次项系数为$p$，则配方的常数项为$(\frac{p}{2})^2$，完全平方中的常数为$|\frac{p}{2}|$；若已知常数项为$q$（$q≥0$），则一次项系数绝对值为$2\sqrt{q}$，完全平方中的常数为$\sqrt{q}$，符号和一次项符号一致。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm a)^2=x^2\pm2ax+a^2$逐一计算：
(1) 一次项系数为$-4$，则$2a=4$，得$a=2$，常数项为$a^2=2^2=4$，故依次填$4$、$2$；
(2) 常数项为$16$，则$a^2=16$，得$a=4$，一次项系数为$2a=8$，故依次填$8$、$4$；
(3) 一次项系数为$7$，则$2a=7$，得$a=\frac{7}{2}$，故填$\frac{7}{2}$；
(4) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，则$2a=\frac{2}{5}$，得$a=\frac{1}{5}$，常数项为$a^2=(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，故依次填$\frac{1}{25}$、$\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) $4$，$2$；(2) $8$，$4$；(3) $\frac{7}{2}$；(4) $\frac{1}{25}$，$\frac{1}{5}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，侧重考查对完全平方公式结构特征的掌握，熟练掌握公式中各项的对应关系，是后续用配方法解一元二次方程、代数式变形等内容的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(x\pm a)^2=x^2\pm2ax+a^2$。解题时先确定式子中已知的一次项系数或常数项，再根据公式推导未知项：若已知一次项系数为$p$，则配方的常数项为$(\frac{p}{2})^2$，完全平方中的常数为$|\frac{p}{2}|$；若已知常数项为$q$（$q≥0$），则一次项系数绝对值为$2\sqrt{q}$，完全平方中的常数为$\sqrt{q}$，符号和一次项符号一致。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm a)^2=x^2\pm2ax+a^2$逐一计算：
(1) 一次项系数为$-4$，则$2a=4$，得$a=2$，常数项为$a^2=2^2=4$，故依次填$4$、$2$；
(2) 常数项为$16$，则$a^2=16$，得$a=4$，一次项系数为$2a=8$，故依次填$8$、$4$；
(3) 一次项系数为$7$，则$2a=7$，得$a=\frac{7}{2}$，故填$\frac{7}{2}$；
(4) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，则$2a=\frac{2}{5}$，得$a=\frac{1}{5}$，常数项为$a^2=(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，故依次填$\frac{1}{25}$、$\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) $4$，$2$；(2) $8$，$4$；(3) $\frac{7}{2}$；(4) $\frac{1}{25}$，$\frac{1}{5}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，侧重考查对完全平方公式结构特征的掌握，熟练掌握公式中各项的对应关系，是后续用配方法解一元二次方程、代数式变形等内容的重要基础。
【难度系数】
0.85
【变式】填空：$x^2 - \frac{1}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2.$
答案
$\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的配方应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，本题中二次项系数为1，对应公式里的$a=x$，接下来通过一次项系数求出公式里的$b$，再将$b$平方即可得到需要补充的常数项。
【解析】
根据完全平方差公式：$(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$，将其与题干式子$x^2 - \frac{1}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$对比可得：
一次项系数对应关系为$-2a = -\frac{1}{3}$，
解得$a = \frac{1}{3} ÷ 2 = \frac{1}{6}$，
则常数项为$a^2 = (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$。
【答案】
$\frac{1}{36}$；$\frac{1}{6}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，明确完全平方式中一次项系数与常数项的数量关系。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的配方应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，本题中二次项系数为1，对应公式里的$a=x$，接下来通过一次项系数求出公式里的$b$，再将$b$平方即可得到需要补充的常数项。
【解析】
根据完全平方差公式：$(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$，将其与题干式子$x^2 - \frac{1}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$对比可得：
一次项系数对应关系为$-2a = -\frac{1}{3}$，
解得$a = \frac{1}{3} ÷ 2 = \frac{1}{6}$，
则常数项为$a^2 = (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$。
【答案】
$\frac{1}{36}$；$\frac{1}{6}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，明确完全平方式中一次项系数与常数项的数量关系。
【难度系数】
0.8
【例2】用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 4x = 2$；
(2)$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$。
(1)$x^2 + 4x = 2$；
(2)$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$。
答案
解:(1)$x^2 + 4x = 2$,
$(x+2)^2 = 6$,
$x_1 = -2+\sqrt{6},x_2 = -2-\sqrt{6}$.
(2)$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$,
$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{4}+\frac{9}{4}=4$,
$x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = \frac{7}{2}$.
$(x+2)^2 = 6$,
$x_1 = -2+\sqrt{6},x_2 = -2-\sqrt{6}$.
(2)$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$,
$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{7}{4}+\frac{9}{4}=4$,
$x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = \frac{7}{2}$.
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的标准流程：第一步先将方程整理为左侧仅含二次项、一次项，常数项移到等号右侧的形式；第二步因为两个方程的二次项系数均为1，直接给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步把方程变形为$(x+m)^2=n$的形式，若$n≥0$直接开平方即可求出根。
第(1)题已经满足“左二一次、右常数”的形式，直接加一次项系数4的一半的平方（即$2^2=4$）即可配方；第(2)题先把常数项移到等号右侧，再加一次项系数-3的一半的平方（即$(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$）完成配方，后续开方求解即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 4x = 2$：
给方程两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$
左侧由完全平方公式化简得：
$(x+2)^2 = 6$
两边开平方得：
$x+2 = ±\sqrt{6}$
移项得两个根：$x_1 = -2+\sqrt{6},x_2 = -2-\sqrt{6}$
(2) 解方程$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$：
先移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 3x = \frac{7}{4}$
给方程两边同时加$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{7}{4}+\frac{9}{4}$
左侧由完全平方公式化简，右侧合并同类项得：
$(x-\frac{3}{2})^2 = 4$
两边开平方得：
$x-\frac{3}{2} = ±2$
移项计算得两个根：当$x-\frac{3}{2}=2$时，$x=\frac{7}{2}$；当$x-\frac{3}{2}=-2$时，$x=-\frac{1}{2}$，即$x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = \frac{7}{2}$
【答案】
(1)$x_1 = -2+\sqrt{6},x_2 = -2-\sqrt{6}$；
(2)$x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = \frac{7}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意配方时要给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现仅给左侧加常数的错误，熟练掌握配方法的四步流程（移项、配方、开方、求解）即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的标准流程：第一步先将方程整理为左侧仅含二次项、一次项，常数项移到等号右侧的形式；第二步因为两个方程的二次项系数均为1，直接给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；第三步把方程变形为$(x+m)^2=n$的形式，若$n≥0$直接开平方即可求出根。
第(1)题已经满足“左二一次、右常数”的形式，直接加一次项系数4的一半的平方（即$2^2=4$）即可配方；第(2)题先把常数项移到等号右侧，再加一次项系数-3的一半的平方（即$(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$）完成配方，后续开方求解即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 4x = 2$：
给方程两边同时加$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$
左侧由完全平方公式化简得：
$(x+2)^2 = 6$
两边开平方得：
$x+2 = ±\sqrt{6}$
移项得两个根：$x_1 = -2+\sqrt{6},x_2 = -2-\sqrt{6}$
(2) 解方程$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$：
先移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 3x = \frac{7}{4}$
给方程两边同时加$(\frac{-3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{7}{4}+\frac{9}{4}$
左侧由完全平方公式化简，右侧合并同类项得：
$(x-\frac{3}{2})^2 = 4$
两边开平方得：
$x-\frac{3}{2} = ±2$
移项计算得两个根：当$x-\frac{3}{2}=2$时，$x=\frac{7}{2}$；当$x-\frac{3}{2}=-2$时，$x=-\frac{1}{2}$，即$x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = \frac{7}{2}$
【答案】
(1)$x_1 = -2+\sqrt{6},x_2 = -2-\sqrt{6}$；
(2)$x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = \frac{7}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意配方时要给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，避免出现仅给左侧加常数的错误，熟练掌握配方法的四步流程（移项、配方、开方、求解）即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8
【变式1】用配方法解方程$x^2 -8x=3$时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（
A.4
B.8
C.16
D.32
C
）A.4
B.8
C.16
D.32
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法的核心规则：当一元二次方程的二次项系数为1时，要将方程左边配成完全平方式，需要添加的常数是一次项系数一半的平方。本题中方程二次项系数已经是1，只需找到一次项系数，按规则计算即可得到需要添加的实数。
【解析】
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，方程左边为$x^2-8x$，对比公式可得：$a=x$，$2ab=8x$，将$a=x$代入得$2b=8$，解得$b=4$，因此需要添加的常数为$b^2=4^2=16$。添加后左边变为$x^2-8x+16=(x-4)^2$，恰好是完全平方式，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，解题的核心是掌握二次项系数为1时的配方规则，属于必须熟练掌握的基础操作。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆配方法的核心规则：当一元二次方程的二次项系数为1时，要将方程左边配成完全平方式，需要添加的常数是一次项系数一半的平方。本题中方程二次项系数已经是1，只需找到一次项系数，按规则计算即可得到需要添加的实数。
【解析】
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，方程左边为$x^2-8x$，对比公式可得：$a=x$，$2ab=8x$，将$a=x$代入得$2b=8$，解得$b=4$，因此需要添加的常数为$b^2=4^2=16$。添加后左边变为$x^2-8x+16=(x-4)^2$，恰好是完全平方式，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，解题的核心是掌握二次项系数为1时的配方规则，属于必须熟练掌握的基础操作。
【难度系数】
0.8
【变式2】用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 3x - 1 = 0$；
(2)$x^2 - 2x - 1 = 3$。
(1)$x^2 - 3x - 1 = 0$；
(2)$x^2 - 2x - 1 = 3$。
答案
解:(1)$x^2 - 3x - 1 = 0$,
$x^2 - 3x = 1$,
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}$,
$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$,
$x-\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$,
解得 $x_1 = \frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2 = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$.
(2)$x^2 - 2x - 1 = 3$,
$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$,
$(x-1)^2 = 5$,
$x-1 = \pm \sqrt{5}$,
解得 $x_1 = \sqrt{5}+1,x_2 = -\sqrt{5}+1$.
$x^2 - 3x = 1$,
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}$,
$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$,
$x-\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$,
解得 $x_1 = \frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2 = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$.
(2)$x^2 - 2x - 1 = 3$,
$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$,
$(x-1)^2 = 5$,
$x-1 = \pm \sqrt{5}$,
解得 $x_1 = \sqrt{5}+1,x_2 = -\sqrt{5}+1$.
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的固定步骤：①移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；②配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；③开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。第(1)题二次项系数已为1，直接移项后按一次项系数-3的一半的平方配方即可；第(2)题先整理方程将所有常数项移到右侧，再按一次项系数-2的一半的平方配方计算。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 3x - 1 = 0$：
移项，得$x^2 - 3x = 1$，
等式两边同时加$(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$，
将左侧写成完全平方式，得$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$，
开平方得$x-\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$，
解得$x_1 = \frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2 = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 解方程$x^2 - 2x - 1 = 3$：
移项整理，得$x^2 - 2x = 4$，
等式两边同时加$(-1)^2=1$，得$x^2 - 2x + 1 = 4+1=5$，
将左侧写成完全平方式，得$(x-1)^2 = 5$，
开平方得$x-1 = \pm \sqrt{5}$，
解得$x_1 = 1+\sqrt{5},x_2 = 1-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2 = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$；
(2) $x_1 = 1+\sqrt{5},x_2 = 1-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时需给等式两边同时加相同的数，避免仅给左侧加而漏加右侧的常数项导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题遵循配方法的固定步骤：①移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；②配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；③开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。第(1)题二次项系数已为1，直接移项后按一次项系数-3的一半的平方配方即可；第(2)题先整理方程将所有常数项移到右侧，再按一次项系数-2的一半的平方配方计算。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 3x - 1 = 0$：
移项，得$x^2 - 3x = 1$，
等式两边同时加$(-\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$，
将左侧写成完全平方式，得$(x-\frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$，
开平方得$x-\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$，
解得$x_1 = \frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2 = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 解方程$x^2 - 2x - 1 = 3$：
移项整理，得$x^2 - 2x = 4$，
等式两边同时加$(-1)^2=1$，得$x^2 - 2x + 1 = 4+1=5$，
将左侧写成完全平方式，得$(x-1)^2 = 5$，
开平方得$x-1 = \pm \sqrt{5}$，
解得$x_1 = 1+\sqrt{5},x_2 = 1-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2 = \frac{3-\sqrt{13}}{2}$；
(2) $x_1 = 1+\sqrt{5},x_2 = 1-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时需给等式两边同时加相同的数，避免仅给左侧加而漏加右侧的常数项导致出错。
【难度系数】
0.8
1. 用配方法解一元二次方程$x^2 + 6x + 4 = 0$时，其中有一步将$x^2 + 6x + 9 = -4 + 9$写成$(x+3)^2 =5$的形式，其依据的数学知识是
（
A.等式的性质
B.完全平方公式
C.平方差公式
D.平方根的意义
（
B
）A.等式的性质
B.完全平方公式
C.平方差公式
D.平方根的意义
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确题目考查的是“$x^2+6x+9$变形为$(x+3)^2$”这一步的依据，先观察变形的特征：左侧是三项式，变形后是两个数和的平方的形式。首先回忆相关代数公式，完全平方公式的逆用刚好对应这种三项式转平方的变形，再逐一排除不符合的选项：等式的性质是对等式两边同步操作的依据，本步仅对左侧多项式变形，排除A；平方差公式针对平方项的差的结构，和本题不符，排除C；平方根的意义是开方求根时的依据，本步未涉及开方，排除D，即可确定答案。
【解析】
观察变形过程：本步核心是将左侧的二次三项式$x^2+6x+9$转化为$(x+3)^2$的形式，符合完全平方公式的逆用规则：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=3$，因此变形依据是完全平方公式。
对其他选项逐一排除：
A. 等式的性质用于等式两边同步进行加、减、乘、除（除数不为0）的变形，本步不是对等式两边的同步操作，不符合；
C. 平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对应的是两个平方项的差的结构，和本题变形的结构不符，不符合；
D. 平方根的意义是后续对$(x+3)^2=5$两边开方时的依据，本步未涉及开方操作，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查配方法解方程过程中各步骤的理论依据，熟记完全平方公式的结构特征，区分不同代数规则的适用场景即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确题目考查的是“$x^2+6x+9$变形为$(x+3)^2$”这一步的依据，先观察变形的特征：左侧是三项式，变形后是两个数和的平方的形式。首先回忆相关代数公式，完全平方公式的逆用刚好对应这种三项式转平方的变形，再逐一排除不符合的选项：等式的性质是对等式两边同步操作的依据，本步仅对左侧多项式变形，排除A；平方差公式针对平方项的差的结构，和本题不符，排除C；平方根的意义是开方求根时的依据，本步未涉及开方，排除D，即可确定答案。
【解析】
观察变形过程：本步核心是将左侧的二次三项式$x^2+6x+9$转化为$(x+3)^2$的形式，符合完全平方公式的逆用规则：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=3$，因此变形依据是完全平方公式。
对其他选项逐一排除：
A. 等式的性质用于等式两边同步进行加、减、乘、除（除数不为0）的变形，本步不是对等式两边的同步操作，不符合；
C. 平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对应的是两个平方项的差的结构，和本题变形的结构不符，不符合；
D. 平方根的意义是后续对$(x+3)^2=5$两边开方时的依据，本步未涉及开方操作，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查配方法解方程过程中各步骤的理论依据，熟记完全平方公式的结构特征，区分不同代数规则的适用场景即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2. (2026滨州期末)用配方法解一元二次方程$x^2 + 4x - 3 = 1$时,下列变形正确的是
（
A.$(x + 2)^2 = 8$
B.$(x + 2)^2 = 4$
C.$(x + 2)^2 = 1$
D.$(x + 2)^2 = 2$
（
A
）A.$(x + 2)^2 = 8$
B.$(x + 2)^2 = 4$
C.$(x + 2)^2 = 1$
D.$(x + 2)^2 = 2$
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路如下：第一步先将方程中的常数项全部移到等号右侧，使等号左侧仅保留二次项和一次项；第二步根据完全平方公式的结构特征，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 4x = 1 + 3$
计算得：$x^2 + 4x = 4$
接下来进行配方，一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4：
$x^2 + 4x + 4 = 4 + 4$
左侧根据完全平方公式可整理为$(x+2)^2$，右侧计算得8，因此变形结果为：
$(x + 2)^2 = 8$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、配方两个关键环节就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路如下：第一步先将方程中的常数项全部移到等号右侧，使等号左侧仅保留二次项和一次项；第二步根据完全平方公式的结构特征，给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 4x = 1 + 3$
计算得：$x^2 + 4x = 4$
接下来进行配方，一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4：
$x^2 + 4x + 4 = 4 + 4$
左侧根据完全平方公式可整理为$(x+2)^2$，右侧计算得8，因此变形结果为：
$(x + 2)^2 = 8$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、配方两个关键环节就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
