【变式1】若关于$x$的方程$(x-4)^2=a$有实数根，则$a$的取值范围是（）

A.$a≤0$
B.$a≥0$
C.$a＞0$
D.无法确定

B

【分析】
解题时首先观察方程左边的形式，是一个整式的完全平方，根据实数平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即大于等于0。要让方程有实数根，就意味着等号右边的a的取值必须和左边完全平方的取值范围匹配，据此即可推出a的取值范围。
【解析】
∵ 对于任意实数x，$x-4$都是实数，
根据实数平方的非负性可得：$(x-4)^2≥0$，
若方程$(x-4)^2=a$有实数根，则a的取值需和左边的取值范围一致，即$a≥0$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程根的意义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平方性质的理解与应用，熟练掌握实数平方的非负性即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

【变式2】一元二次方程$2x^2 -8=0$的根是（）

A.$x_1=-2\sqrt{2},x_2=2\sqrt{2}$
B.$x_1=-4,x_2=4$
C.$x_1=-2,x_2=2$
D.$x_1=x_2=2$

C

【分析】
本题可采用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察一元二次方程的结构，发现方程不含一次项，适合用直接开平方法求解；第一步先将常数项移到等号右侧，第二步将二次项系数化为1，得到x²等于非负常数的形式，第三步对等式两边直接开平方即可得到方程的两个根，再匹配选项即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 -8=0$进行求解：
1. 移项，得：$2x^2=8$
2. 两边同时除以2，将二次项系数化为1，得：$x^2=4$
3. 两边直接开平方，得：$x=\pm2$
即方程的根为$x_1=-2,x_2=2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的运算
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，主要考查直接开平方法的应用，掌握直接开平方法的适用特征即可快速求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.9

1. 一元二次方程$x^2=9$的根是（）

A.$x_1=3,x_2=-3$
B.$x_1=x_2=3$
C.$x_1=x_2=-3$
D.$x_1=9,x_2=-9$

1. A

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，观察方程为$x^2=a$（$a≥0$）的结构，适合采用直接开平方法解题。解题时首先回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，因此开平方时不要遗漏负根，求出两根后对应选项判断即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2=9$两边直接开平方，可得：
$x=\pm\sqrt{9}$
计算得$x=\pm3$
即方程的根为$x_1=3$，$x_2=-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题的关键是牢记正数开平方有两个互为相反数的结果，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.9

2.方程$(x+3)^2=4$的根是（）

A.$x_1=-1,x_2=-5$
B.$x_1=1,x_2=-5$
C.$x_1=x_2=-1$
D.$x_1=-1,x_2=5$

2. A

【分析】
这道题是求解形如$(a+b)^2=c$（$c≥0$）的一元二次方程，最简便的方法是直接开平方法。解题思路是：先对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程，就能得到原方程的两个根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原方程$(x+3)^2=4$两边同时开平方，得：
$x+3=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况计算：
① 当$x+3=2$时，解得$x=2-3=-1$；
② 当$x+3=-2$时，解得$x=-2-3=-5$。
因此原方程的根为$x_1=-1$，$x_2=-5$。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的应用，熟练掌握直接开平方法的运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. (2025 娄底期末)若 $ x=2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 -5x +m=0 $ 的一个解,则 $ m $ 的值为 ()

A.2
B.3
C.5
D.6

3. D

【分析】
解题的核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是方程的解，只需将x=2代入原方程，即可得到只含有未知数m的一元一次方程，求解该方程就能得到m的值。
【解析】
∵x=2是关于x的方程$x^2 -5x +m=0$的一个解
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$2^2 -5×2 +m = 0$
计算得：$4 -10 +m = 0$
整理得：$m -6 = 0$
解得：$m=6$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对方程解的概念的理解与应用，解题思路清晰，计算量小，熟练掌握基础概念即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

4. 一元二次方程 $x^2 - 36 = 0$ 的根是。。

4. $x_1=6,x_2=-6$

【分析】
首先观察方程的结构，该一元二次方程没有一次项，适合选用直接开平方法求解。解题思路为：先把常数项移到方程等号的右侧，将方程整理为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据平方根的定义对等式两边同时开平方，即可得到方程的两个根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x^2 = 36$
根据平方根的定义，方程两边同时开平方，得：
$x = \pm\sqrt{36}$
化简可得$x = \pm6$
即方程的根为$x_1=6$，$x_2=-6$
【答案】
$x_1=6,x_2=-6$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，主要考查直接开平方法的应用，对于缺少一次项的一元二次方程，用直接开平方法求解会更加简便。
【难度系数】
0.9

5. 若关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 - 2x + m^2 - 1 = 0$有一个根是0，则$m=$.

5. -1

【分析】
解题时要结合两个关键条件推导：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是隐含的限制条件，避免出现增根；②方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将x=0代入原方程，即可得到关于m的方程，求解后再结合二次项系数的限制条件筛选出正确的m值即可。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $m-1 ≠ 0$，解得 $m ≠ 1$
∵ $x=0$是方程的一个根，将$x=0$代入原方程得：
$(m-1)×0^2 - 2×0 + m^2 -1 = 0$
化简得：$m^2 -1 =0$
解得：$m_1=1$，$m_2=-1$
结合$m ≠ 1$的限制条件，舍去$m=1$
∴ $m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础易错题，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得出m=±1的错误结论，求解这类含参数的一元二次方程问题时，要先根据二次项系数不为0确定参数的取值范围，再代入根求解后检验排除增根。
【难度系数】
0.7

6. 解下列方程：
(1)$2x^2 - 98 = 0$；
(2)$7 - x^2 = 0$；
(3)$(2x + 1)^2 - 1 = 0$；
(4)$2(x - 1)^2 = 18$。

解:(1)原方程可变形为$2x^2=98$,
$\therefore x^2=49$,
解得$x_1=7,x_2=-7$.
(2)原方程可变形为$x^2=7$,
解得$x_1=\sqrt{7},x_2=-\sqrt{7}$.
(3)原方程可变形为$(2x+1)^2=1$,
$\therefore 2x+1=\pm1$,
解得$x_1=0,x_2=-1$.
(4)原方程可变形为$(x-1)^2=9$,
$\therefore x-1=\pm3$,
解得$x_1=4,x_2=-2$.

【分析】
这4个方程均可转化为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，适合用直接开平方法求解，解题思路如下：①先通过移项、系数化为1，将方程整理为左边是含未知数的完全平方式，右边为非负常数的形式；②根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；③分别求解这两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的两个根。
【解析】
(1) 原方程移项得$2x^2=98$，
系数化为1得$x^2=49$，
开平方得$x=\pm7$，
解得$x_1=7,x_2=-7$。
(2) 原方程移项得$x^2=7$，
开平方得$x=\pm\sqrt{7}$，
解得$x_1=\sqrt{7},x_2=-\sqrt{7}$。
(3) 原方程移项得$(2x+1)^2=1$，
开平方得$2x+1=\pm1$，
当$2x+1=1$时，解得$x=0$；当$2x+1=-1$时，解得$x=-1$，
即$x_1=0,x_2=-1$。
(4) 原方程系数化为1得$(x-1)^2=9$，
开平方得$x-1=\pm3$，
当$x-1=3$时，解得$x=4$；当$x-1=-3$时，解得$x=-2$，
即$x_1=4,x_2=-2$。
【答案】
(1)$x_1=7,x_2=-7$；(2)$x_1=\sqrt{7},x_2=-\sqrt{7}$；(3)$x_1=0,x_2=-1$；(4)$x_1=4,x_2=-2$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，掌握直接开平方法的适用方程形式，按规范步骤计算即可正确解答，计算难度小。
【难度系数】
0.9

7.若a是关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - 10 = 0$的一个根，求代数式$a(a - 3) + 5$的值.

解:
∵a是关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - 10 = 0$的一个根
∴把$x=a$代入$x^2 - 3x -10=0$,得$a^2 - 3a -10=0$,
$\therefore a^2 - 3a=10$,
$\therefore a(a-3)+5=a^2 -3a +5=10+5=15$.

【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知a是给定一元二次方程的根，因此将x=a代入方程可得到关于a的等式，整理可得$a^2-3a$的值；再观察待求代数式，将其展开后刚好含有$a^2-3a$这个整体，把求得的$a^2-3a$的值整体代入即可算出结果，不需要求解a的具体数值，可简化计算。
【解析】
∵a是关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - 10 = 0$的一个根
∴将$x=a$代入方程$x^2 - 3x -10=0$，得$a^2 - 3a -10=0$
$\therefore a^2 - 3a=10$
对代数式变形得：$a(a-3)+5=a^2 -3a +5$
将$a^2 - 3a=10$代入上式得：原式$=10+5=15$
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题考查利用方程根的性质求解代数式的值，核心是运用整体代入的思想，避免解方程求根的繁琐步骤，是代数求值类问题的典型基础考法。
【难度系数】
0.8

8. 在实数范围内定义一种新运算“Δ”，其规则为$aΔb = a^2 - b^2$。根据这个规则，解答下列问题：
(1)求$4Δ3$的值；
(2)当$(x+2)Δ5 = 0$时，求$x$的值。

解:(1)$4Δ3=4^2 -3^2=7$.
(2)根据规则,得$(x+2)Δ5=(x+2)^2 -5^2=0$,
$\therefore (x+2)^2=5^2$,$\therefore x+2=\pm5$,
$\therefore x_1=3,x_2=-7$.
$\therefore x$的值为3或-7.

【分析】
本题属于新定义运算题型，解题核心是准确理解运算规则$aΔb = a^2 - b^2$。第(1)问直接将对应数值代入规则，计算平方差即可；第(2)问先按照新运算规则将原式转化为常规一元二次方程，再用直接开平方法求解，开平方时需注意正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 根据新运算“Δ”的规则，代入$a=4$，$b=3$得：
$4Δ3 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
(2) 按照新运算规则将$(x+2)Δ5 = 0$转化为常规方程：
$(x+2)^2 - 5^2 = 0$
移项得：$(x+2)^2 = 25$
两边同时开平方得：$x+2 = ±5$
解得：$x_1 = 5 - 2 = 3$，$x_2 = -5 - 2 = -7$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{3}$或$\boxed{-7}$
【知识点】
新定义运算、解一元二次方程、平方运算
【点评】
本题难度不大，主要考查新运算的转化能力和一元二次方程的求解能力，只要正确理解新运算规则，将其转化为熟悉的代数运算即可求解，解题时注意开平方不要漏负根。
【难度系数】
0.8