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3. 下表是嘉淇同学用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（
解：$x^2 -4x=4$，
$x^2 -4x +4=4$，……①
$(x-2)^2=$
$$，……②
$x-2=\pm2$，……③
$x_1=4,x_2=0$，……④
A.①
B.②
C.③
D.④
A
）解：$x^2 -4x=4$，
$x^2 -4x +4=4$，……①
$(x-2)^2=$
$$，……②$x-2=\pm2$，……③
$x_1=4,x_2=0$，……④
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
3. A
解析
【分析】
要判断哪一步出错，需回忆配方法解一元二次方程的正确步骤：配方法的依据是等式的基本性质，给方程左边配完全平方式时，等式左右两边要同时加上一次项系数一半的平方。首先计算一次项系数-4的一半的平方是4，所以方程两边都要加4，再逐一对比步骤即可找到错误步骤。
【解析】
用配方法解方程$x^2 -4x=4$的正确操作：
一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，根据等式的基本性质，等式左右两边需同时加4，得：
$x^2 -4x +4=4+4$，即$x^2 -4x +4=8$。
对比嘉淇的解题步骤，步骤①仅在方程左边加了4，右边仍为4，没有同步加4，不符合等式的基本性质，因此开始出现错误的是步骤①。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的基本性质
【点评】
本题是配方法解方程的典型易错题，易错点是配完全平方时仅给方程左边加常数，忽略右边也要加相同的数，解题时牢记等式性质即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪一步出错，需回忆配方法解一元二次方程的正确步骤：配方法的依据是等式的基本性质，给方程左边配完全平方式时，等式左右两边要同时加上一次项系数一半的平方。首先计算一次项系数-4的一半的平方是4，所以方程两边都要加4，再逐一对比步骤即可找到错误步骤。
【解析】
用配方法解方程$x^2 -4x=4$的正确操作：
一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，根据等式的基本性质，等式左右两边需同时加4，得：
$x^2 -4x +4=4+4$，即$x^2 -4x +4=8$。
对比嘉淇的解题步骤，步骤①仅在方程左边加了4，右边仍为4，没有同步加4，不符合等式的基本性质，因此开始出现错误的是步骤①。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的基本性质
【点评】
本题是配方法解方程的典型易错题，易错点是配完全平方时仅给方程左边加常数，忽略右边也要加相同的数，解题时牢记等式性质即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
4.填空：
(1)$x^2 - 20x +$$=(x -$$)^2;$
(2)$x^2 +$$x + 81=(x +$$)^2;$
(3)$x^2 + 5x +$$=(x +$$)^2.$
(1)$x^2 - 20x +$$=(x -$$)^2;$
(2)$x^2 +$$x + 81=(x +$$)^2;$
(3)$x^2 + 5x +$$=(x +$$)^2.$
答案
4.(1) 100 10 (2) 18 9 (3) $\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的配方法应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方，我们可根据这个规律依次求解三个小题。
【解析】
依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$计算：
(1) 式子中一次项系数为$-20$，它的一半为$-10$，平方得$(-10)^2=100$，因此$x^2-20x+100=(x-10)^2$，依次填100、10；
(2) 式子中常数项为$81=9^2$，对应完全平方公式中的$b^2$，得$b=9$，一次项系数为$2×9=18$，因此$x^2+18x+81=(x+9)^2$，依次填18、9；
(3) 式子中一次项系数为$5$，它的一半为$\frac{5}{2}$，平方得$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，因此$x^2+5x+\frac{25}{4}=(x+\frac{5}{2})^2$，依次填$\frac{25}{4}$、$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{100}$，$\boxed{10}$；(2) $\boxed{18}$，$\boxed{9}$；(3) $\boxed{\dfrac{25}{4}}$，$\boxed{\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用型题目，关键是掌握二次项系数为1时的配方法规则，熟练运用该规律是后续学习配方法解一元二次方程的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的配方法应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方，我们可根据这个规律依次求解三个小题。
【解析】
依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$计算：
(1) 式子中一次项系数为$-20$，它的一半为$-10$，平方得$(-10)^2=100$，因此$x^2-20x+100=(x-10)^2$，依次填100、10；
(2) 式子中常数项为$81=9^2$，对应完全平方公式中的$b^2$，得$b=9$，一次项系数为$2×9=18$，因此$x^2+18x+81=(x+9)^2$，依次填18、9；
(3) 式子中一次项系数为$5$，它的一半为$\frac{5}{2}$，平方得$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，因此$x^2+5x+\frac{25}{4}=(x+\frac{5}{2})^2$，依次填$\frac{25}{4}$、$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{100}$，$\boxed{10}$；(2) $\boxed{18}$，$\boxed{9}$；(3) $\boxed{\dfrac{25}{4}}$，$\boxed{\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用型题目，关键是掌握二次项系数为1时的配方法规则，熟练运用该规律是后续学习配方法解一元二次方程的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9
5. (2026南阳月考)如果方程$x^2 +4x +n=0$可以配方成$(x+2)^2=1$，那么$n=$
3
.答案
5. 3
解析
【分析】
这道题可以用两种思路求解：思路一，将配方后的方程展开整理为一般式，和原方程对比常数项即可求出n；思路二，对原方程直接进行配方，和题目给出的配方结果建立关于n的方程求解，两种方法都是配方法的基础应用，操作难度低。
【解析】
方法一：展开配方后的方程求解
将$(x+2)^2=1$用完全平方公式展开，得：
$x^2+4x+4=1$
移项整理为一元二次方程一般式：
$x^2+4x+3=0$
和原方程$x^2+4x+n=0$对比，可得$n=3$。
方法二：对原方程配方求解
原方程移项得：$x^2+4x=-n$
方程两边同时加一次项系数一半的平方（$(\frac{4}{2})^2=4$），得：
$x^2+4x+4=-n+4$
左边写成完全平方形式：$(x+2)^2=4-n$
结合题意配方结果为$(x+2)^2=1$，因此：
$4-n=1$
解得$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题逻辑清晰，只要掌握配方法的基本步骤和完全平方公式即可快速解答，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
这道题可以用两种思路求解：思路一，将配方后的方程展开整理为一般式，和原方程对比常数项即可求出n；思路二，对原方程直接进行配方，和题目给出的配方结果建立关于n的方程求解，两种方法都是配方法的基础应用，操作难度低。
【解析】
方法一：展开配方后的方程求解
将$(x+2)^2=1$用完全平方公式展开，得：
$x^2+4x+4=1$
移项整理为一元二次方程一般式：
$x^2+4x+3=0$
和原方程$x^2+4x+n=0$对比，可得$n=3$。
方法二：对原方程配方求解
原方程移项得：$x^2+4x=-n$
方程两边同时加一次项系数一半的平方（$(\frac{4}{2})^2=4$），得：
$x^2+4x+4=-n+4$
左边写成完全平方形式：$(x+2)^2=4-n$
结合题意配方结果为$(x+2)^2=1$，因此：
$4-n=1$
解得$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题逻辑清晰，只要掌握配方法的基本步骤和完全平方公式即可快速解答，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
6. 用配方法解下列方程：
(1) $x^2 - 2x -7 =0$；
(2) $x^2 -6x =16$；
(3) $x^2 +5x +7 =3x +11$；
(4) $x^2 -2\sqrt{3}x +2 =0$。
(1) $x^2 - 2x -7 =0$；
(2) $x^2 -6x =16$；
(3) $x^2 +5x +7 =3x +11$；
(4) $x^2 -2\sqrt{3}x +2 =0$。
答案
6. 解:(1)$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$.
(2)$x_1=-2,x_2=8$.
(3)原方程可化为 $x^2 + 2x = 4$,
配方,得$(x+1)^2=5$,
开方,得$x+1=\pm\sqrt{5}$,
解得 $x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$.
(4)移项,得$x^2 - 2\sqrt{3}x = -2$,
配方,得$(x-\sqrt{3})^2=1$,
开方,得$x-\sqrt{3}=\pm1$,
解得 $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$.
(2)$x_1=-2,x_2=8$.
(3)原方程可化为 $x^2 + 2x = 4$,
配方,得$(x+1)^2=5$,
开方,得$x+1=\pm\sqrt{5}$,
解得 $x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$.
(4)移项,得$x^2 - 2\sqrt{3}x = -2$,
配方,得$(x-\sqrt{3})^2=1$,
开方,得$x-\sqrt{3}=\pm1$,
解得 $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①移项：将常数项移到等号右侧，二次项、一次项留在等号左侧；②配方：若二次项系数为1，给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；③开方：对完全平方式两边直接开平方；④求解：整理得到方程的两个根。本题中4个方程的二次项系数均为1，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 2x = 7$，
配方，两边加1（一次项系数-2的一半的平方）得：$x^2 -2x +1 =7+1$，即$(x-1)^2=8$，
开方得：$x-1=\pm2\sqrt{2}$，
解得：$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$。
(2) 原方程已整理为$x^2 -6x =16$，
配方，两边加9（一次项系数-6的一半的平方）得：$x^2 -6x +9 =16+9$，即$(x-3)^2=25$，
开方得：$x-3=\pm5$，
解得：$x_1=3+5=8,x_2=3-5=-2$。
(3) 整理原方程，移项合并同类项得：$x^2 + 2x = 4$，
配方，两边加1（一次项系数2的一半的平方）得：$x^2 +2x +1 =4+1$，即$(x+1)^2=5$，
开方得：$x+1=\pm\sqrt{5}$，
解得：$x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$。
(4) 移项得：$x^2 -2\sqrt{3}x = -2$，
配方，两边加3（一次项系数$-2\sqrt{3}$的一半的平方）得：$x^2 -2\sqrt{3}x +3 = -2+3$，即$(x-\sqrt{3})^2=1$，
开方得：$x-\sqrt{3}=\pm1$，
解得：$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) $x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=-2,x_2=8$
(3) $x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$
(4) $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题时要严格遵循配方法的步骤，尤其注意配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，避免只给左侧加常数的错误。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①移项：将常数项移到等号右侧，二次项、一次项留在等号左侧；②配方：若二次项系数为1，给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式；③开方：对完全平方式两边直接开平方；④求解：整理得到方程的两个根。本题中4个方程的二次项系数均为1，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 - 2x = 7$，
配方，两边加1（一次项系数-2的一半的平方）得：$x^2 -2x +1 =7+1$，即$(x-1)^2=8$，
开方得：$x-1=\pm2\sqrt{2}$，
解得：$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$。
(2) 原方程已整理为$x^2 -6x =16$，
配方，两边加9（一次项系数-6的一半的平方）得：$x^2 -6x +9 =16+9$，即$(x-3)^2=25$，
开方得：$x-3=\pm5$，
解得：$x_1=3+5=8,x_2=3-5=-2$。
(3) 整理原方程，移项合并同类项得：$x^2 + 2x = 4$，
配方，两边加1（一次项系数2的一半的平方）得：$x^2 +2x +1 =4+1$，即$(x+1)^2=5$，
开方得：$x+1=\pm\sqrt{5}$，
解得：$x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$。
(4) 移项得：$x^2 -2\sqrt{3}x = -2$，
配方，两边加3（一次项系数$-2\sqrt{3}$的一半的平方）得：$x^2 -2\sqrt{3}x +3 = -2+3$，即$(x-\sqrt{3})^2=1$，
开方得：$x-\sqrt{3}=\pm1$，
解得：$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) $x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$
(2) $x_1=-2,x_2=8$
(3) $x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$
(4) $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题时要严格遵循配方法的步骤，尤其注意配方时等号两边要同时加一次项系数一半的平方，避免只给左侧加常数的错误。
【难度系数】
0.8
7.当y为何值时，代数式$2y^2 - 6y + 7$的值与代数式$y^2 - y + 6$的值相等？
答案
7. 解:根据题意,得 $2y^2 - 6y + 7 = y^2 - y + 6$,
即 $y^2 - 5y + 1 = 0$,
$y^2 - 5y + \frac{25}{4} = -1 + \frac{25}{4}$,
$(y-\frac{5}{2})^2 = \frac{21}{4}$,
$y-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$,
解得 $y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.
即 $y^2 - 5y + 1 = 0$,
$y^2 - 5y + \frac{25}{4} = -1 + \frac{25}{4}$,
$(y-\frac{5}{2})^2 = \frac{21}{4}$,
$y-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$,
解得 $y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先抓住题干核心条件“两个代数式的值相等”，据此建立等量关系列出方程；再将方程移项合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式；最后使用配方法（也可选用公式法）求解该一元二次方程，得到的解就是符合要求的y值。
【解析】
解：根据题意两个代数式值相等，列方程得：
$2y^2 - 6y + 7 = y^2 - y + 6$
移项、合并同类项得：
$y^2 - 5y + 1 = 0$
配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方$\frac{25}{4}$：
$y^2 - 5y + \frac{25}{4} = -1 + \frac{25}{4}$
整理得：
$(y-\frac{5}{2})^2 = \frac{21}{4}$
开平方得：
$y-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$
解得：
$y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【答案】
$y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础应用类题型，核心考查根据等量关系列方程的能力和一元二次方程的求解能力，计算时注意规避符号错误，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题干核心条件“两个代数式的值相等”，据此建立等量关系列出方程；再将方程移项合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式；最后使用配方法（也可选用公式法）求解该一元二次方程，得到的解就是符合要求的y值。
【解析】
解：根据题意两个代数式值相等，列方程得：
$2y^2 - 6y + 7 = y^2 - y + 6$
移项、合并同类项得：
$y^2 - 5y + 1 = 0$
配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方$\frac{25}{4}$：
$y^2 - 5y + \frac{25}{4} = -1 + \frac{25}{4}$
整理得：
$(y-\frac{5}{2})^2 = \frac{21}{4}$
开平方得：
$y-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$
解得：
$y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【答案】
$y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础应用类题型，核心考查根据等量关系列方程的能力和一元二次方程的求解能力，计算时注意规避符号错误，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
8. (2026 渭南月考)若关于$x$的方程$(x-2)^2=-b$是由方程$x^2+ax-b=0$配方后得到的，则$a+b$的值为（
A.$-6$
B.$-8$
C.$6$
D.$-2$
A
）A.$-6$
B.$-8$
C.$6$
D.$-2$
答案
8. A
解析
【分析】
解题思路：要计算a+b的值，首先需要将配方后得到的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再与原方程$x^2+ax-b=0$对比，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，分别求出a、b的值，最后代入计算a+b即可。
第一步：先展开配方后的方程$(x-2)^2=-b$，整理为一般式；
第二步：将整理后的方程与$x^2+ax-b=0$对比，列出关于a、b的等式；
第三步：求解a、b的值，代入$a+b$计算结果。
【解析】
解：先将方程$(x-2)^2=-b$展开并整理为一般形式：
左边展开得：$x^2 - 4x + 4 = -b$
移项得：$x^2 - 4x + 4 + b = 0$
由题意可知，该方程与$x^2 + ax - b = 0$是同一个方程，因此对应项系数相等：
一次项系数：$a = -4$
常数项：$4 + b = -b$
解常数项的等式：
$4 = -b - b$
$4 = -2b$
解得$b = -2$
将$a=-4$，$b=-2$代入$a+b$得：
$a+b = -4 + (-2) = -6$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程配方，多项式对应系数相等，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程配方的典型应用，核心是掌握配方的逆运算，即把配方后的方程还原为一般式，再利用对应系数相等求解参数，解题时要注意移项过程中的符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题思路：要计算a+b的值，首先需要将配方后得到的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再与原方程$x^2+ax-b=0$对比，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，分别求出a、b的值，最后代入计算a+b即可。
第一步：先展开配方后的方程$(x-2)^2=-b$，整理为一般式；
第二步：将整理后的方程与$x^2+ax-b=0$对比，列出关于a、b的等式；
第三步：求解a、b的值，代入$a+b$计算结果。
【解析】
解：先将方程$(x-2)^2=-b$展开并整理为一般形式：
左边展开得：$x^2 - 4x + 4 = -b$
移项得：$x^2 - 4x + 4 + b = 0$
由题意可知，该方程与$x^2 + ax - b = 0$是同一个方程，因此对应项系数相等：
一次项系数：$a = -4$
常数项：$4 + b = -b$
解常数项的等式：
$4 = -b - b$
$4 = -2b$
解得$b = -2$
将$a=-4$，$b=-2$代入$a+b$得：
$a+b = -4 + (-2) = -6$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程配方，多项式对应系数相等，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程配方的典型应用，核心是掌握配方的逆运算，即把配方后的方程还原为一般式，再利用对应系数相等求解参数，解题时要注意移项过程中的符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
9. 一个直角三角形的两边长分别是方程$x^2 -8x +15=0$的两个根，则这个直角三角形的周长为
12 或 $\sqrt{34}+8$
。答案
9. 12 或 $\sqrt{34}+8$
解析
【分析】
首先先求解一元二次方程得到直角三角形的两条已知边长，由于题目未明确这两条边是直角边还是包含斜边，因此需要分两种情况讨论：①两条边均为直角边；②较长边为斜边、较短边为直角边（斜边是直角三角形最长边，因此边长为3的边不可能为斜边，无需讨论该情况）。再分别利用勾股定理计算第三条边的长度，最后求和得到周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=5$，即直角三角形的两条边长为3和5。
第二步：分情况计算第三边和周长
情况1：3和5均为直角边
由勾股定理得斜边长为：$\sqrt{3^2 + 5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$
此时周长为：$3+5+\sqrt{34}=8+\sqrt{34}$
情况2：长为5的边是斜边，长为3的边是直角边
由勾股定理得另一条直角边长为：$\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
此时周长为：$3+4+5=12$
综上，这个直角三角形的周长为12或$8+\sqrt{34}$。
【答案】
12或$\sqrt{34}+8$
【知识点】
一元二次方程求解；勾股定理；分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略已知两边未明确是直角边还是斜边的情况，容易漏解，解题时需注意结合直角三角形斜边最长的性质合理分类，同时计算后可验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
首先先求解一元二次方程得到直角三角形的两条已知边长，由于题目未明确这两条边是直角边还是包含斜边，因此需要分两种情况讨论：①两条边均为直角边；②较长边为斜边、较短边为直角边（斜边是直角三角形最长边，因此边长为3的边不可能为斜边，无需讨论该情况）。再分别利用勾股定理计算第三条边的长度，最后求和得到周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=5$，即直角三角形的两条边长为3和5。
第二步：分情况计算第三边和周长
情况1：3和5均为直角边
由勾股定理得斜边长为：$\sqrt{3^2 + 5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$
此时周长为：$3+5+\sqrt{34}=8+\sqrt{34}$
情况2：长为5的边是斜边，长为3的边是直角边
由勾股定理得另一条直角边长为：$\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
此时周长为：$3+4+5=12$
综上，这个直角三角形的周长为12或$8+\sqrt{34}$。
【答案】
12或$\sqrt{34}+8$
【知识点】
一元二次方程求解；勾股定理；分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略已知两边未明确是直角边还是斜边的情况，容易漏解，解题时需注意结合直角三角形斜边最长的性质合理分类，同时计算后可验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
10. 现定义一种运算$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如$\begin{vmatrix} 1&3 \\ 2&4 \end{vmatrix}=1×4 -2×3$。若$\begin{vmatrix} x&1-x \\ 1&x-2 \end{vmatrix}=5$，求$x$的值。
答案
10. 解:$\because \begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$,
$\therefore \begin{vmatrix} x&1-x \\ 1&x-2 \end{vmatrix}=5$,即 $x(x-2)-1×(1-x)=5$,
整理,得 $x^2 - x = 6$,
配方,得 $(x-\frac{1}{2})^2 = \frac{25}{4}$,
解得 $x_1=-2,x_2=3$.
$\therefore x$ 的值为$-2$ 或 $3$.
$\therefore \begin{vmatrix} x&1-x \\ 1&x-2 \end{vmatrix}=5$,即 $x(x-2)-1×(1-x)=5$,
整理,得 $x^2 - x = 6$,
配方,得 $(x-\frac{1}{2})^2 = \frac{25}{4}$,
解得 $x_1=-2,x_2=3$.
$\therefore x$ 的值为$-2$ 或 $3$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解题中给出的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$，即主对角线（左上到右下）元素的乘积减去副对角线（右上到左下）元素的乘积；第二步将题目给出的行列式中的元素对应代入运算规则，转化为关于x的整式方程；第三步整理得到一元二次方程，选择合适的方法求解即可，计算时注意去括号的符号问题。
【解析】
解：根据新定义的运算规则$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} x&1-x \\ 1&x-2 \end{vmatrix}=x(x-2)-1×(1-x)=5$
展开并整理等式：
$x^2 - 2x - 1 + x = 5$
$x^2 - x - 6 = 0$
配方得：
$x^2 - x + \frac{1}{4} = 6 + \frac{1}{4}$
即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$
开方得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{5}{2}$
解得$x_1=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$，$x_2=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-2$
【答案】
$x$的值为$-2$或$3$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解
【点评】
本题考查新定义运算的转化能力和一元二次方程的计算能力，解题关键是准确将行列式运算转化为常规整式方程，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免因低级运算失误失分。
【难度系数】
0.75
这是一道新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解题中给出的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$，即主对角线（左上到右下）元素的乘积减去副对角线（右上到左下）元素的乘积；第二步将题目给出的行列式中的元素对应代入运算规则，转化为关于x的整式方程；第三步整理得到一元二次方程，选择合适的方法求解即可，计算时注意去括号的符号问题。
【解析】
解：根据新定义的运算规则$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} x&1-x \\ 1&x-2 \end{vmatrix}=x(x-2)-1×(1-x)=5$
展开并整理等式：
$x^2 - 2x - 1 + x = 5$
$x^2 - x - 6 = 0$
配方得：
$x^2 - x + \frac{1}{4} = 6 + \frac{1}{4}$
即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$
开方得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{5}{2}$
解得$x_1=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$，$x_2=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-2$
【答案】
$x$的值为$-2$或$3$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解
【点评】
本题考查新定义运算的转化能力和一元二次方程的计算能力，解题关键是准确将行列式运算转化为常规整式方程，计算过程中要注意去括号时的符号变化，避免因低级运算失误失分。
【难度系数】
0.75
