1. 画$y=ax^2(a＞0)$的图象
画$y=ax^2(a＞0)$的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用，再画出图象在y轴左边的部分。在画右边部分时，只需“、、”三个步骤。
2. 二次函数$y=ax^2(a＞0)$的图象的性质
(1)图象关于对称；
(2)图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而，简称为“”，图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而，简称为“”；
(3)图象是一条曲线，它的开口，对称轴与图象的交点是原点$(0,0)$；
(4)当$x=0$时，函数值最小，最小值为。

1. 对称性 列表 描点 连线
2.(1) y轴
(2) 增大 右升 减小 左降
(3) 向上
(4) 0

【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的基本特征和函数图像的绘制方法：① 画函数图像的通用步骤为列表、描点、连线，而$y=ax^2$是轴对称图形，可利用对称性简化画图过程，无需分别绘制y轴两侧的图像；② 结合$a＞0$的条件，回忆$y=ax^2$的图像性质：对称轴、开口方向、增减性、最值等基础结论，对应填空即可。
【解析】
1. 二次函数$y=ax^2(a＞0)$的图像关于y轴对称，因此画出y轴右侧图像后，可利用对称性画出左侧部分；绘制任意函数图像的核心三步为“列表、描点、连线”，画右侧部分时也遵循该步骤。
2. 结合$y=ax^2(a＞0)$的图像特征：
(1) 图像的对称轴为y轴，因此图像关于y轴对称；
(2) $a＞0$时图像开口向上，对称轴右侧（$x＞0$），自变量x增大时，函数值y随之增大，简称为“右升”；对称轴左侧（$x＜0$），自变量x增大时，函数值y随之减小，简称为“左降”；
(3) 当$a＞0$时，二次函数$y=ax^2$的开口向上；
(4) 图像的最低点为顶点$(0,0)$，因此当$x=0$时，函数取最小值0。
【答案】
1. 对称性 列表 描点 连线
2.(1) y轴
(2) 增大 右升 减小 左降
(3) 向上
(4) 0
【知识点】
二次函数图象画法；y=ax²的图象性质；函数图象绘制步骤
【点评】
本题考查二次函数最基础的图象绘制方法和性质，属于概念识记类题目，是后续学习复杂二次函数的必备基础，需熟练掌握相关结论。
【难度系数】
0.9

【例1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数$y=4x^2$，$y=\frac{1}{4}x^2$的图象。

【变式】二次函数$y=2x^2$的图象大致是（）

【例1】解:如图.
【变式】A

【分析】
例1绘制二次函数图象采用描点法，由于$y=ax^2$的图象顶点在原点、对称轴为y轴，因此只需取x≥0的若干点，对称得到x＜0的对应点，描点后用平滑曲线连接即可；变式先根据$a=2＞0$判断开口向上，排除开口向下的选项，再结合$y=ax^2$顶点为原点、开口大小由$|a|$决定（$|a|$越大开口越窄）的性质，选出符合特征的选项。
【解析】
【例1】使用描点法绘制两个函数的图象，步骤如下：
1. 列表：针对两个函数取对称的x值，计算对应的y值：
对$y=4x^2$，取$x=-1、0、1$，对应y值为4、0、4；
对$y=\frac{1}{4}x^2$，取$x=-4、0、4$，对应y值为4、0、4；
2. 描点：将计算得到的坐标点在平面直角坐标系中准确标记；
3. 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，向两端适当延伸，即得到两个函数的图象。
【变式】分析二次函数$y=2x^2$的特征：
1. 二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，先排除开口向下的选项；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数顶点为$(0,0)$，对称轴为y轴；
3. $|a|$越大抛物线开口越窄，$2$介于$\frac{1}{4}$和$4$之间，因此$y=2x^2$的开口比$y=\frac{1}{4}x^2$窄、比$y=4x^2$宽，综上符合条件的是选项A。
【答案】
【例1】如图.
【变式】A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；描点法画函数图象
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，掌握开口方向、顶点、对称轴以及开口大小和a的关系是解题核心，描点法是研究函数图象的基础方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

【例2】函数$y=6x^2$的图象开口方向是________，对称轴是________，与对称轴的交点坐标是________，图象有________（填“最高”或“最低”）点，函数有最________值，当$x＞0$时，y随x的增大而________。

【例2】向上 y轴 (0,0) 最低 小 增大

【分析】
本题考查最简二次函数$y=ax^2$的性质，解题时先确定二次项系数$a$的取值：首先由$a$的正负判断开口方向，再结合$y=ax^2$的固定性质推导对称轴、顶点坐标，接着根据开口方向判断最值情况，最后结合自变量的取值范围判断函数的增减性即可。
【解析】
1. 对于二次函数$y=6x^2$，二次项系数$a=6＞0$，因此图象开口向上；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为y轴（即直线$x=0$）；
3. 图象与对称轴的交点为函数顶点，将$x=0$代入解析式得$y=0$，因此交点坐标为$(0,0)$；
4. 由于图象开口向上，因此图象有最低点，函数有最小值；
5. 开口向上的二次函数，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
向上 y轴 (0,0) 最低 小 增大
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数增减性；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，难度较低，熟练掌握$y=ax^2$的图象与相关性质就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9

【变式】(2025珠海三模)若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则
（）

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_1＜y_3$

【变式】A

【分析】
要比较三个点纵坐标的大小，有两种常见思路：①直接代入计算法：将三个点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的y值后直接比较大小；②性质判断法：利用二次函数的增减性判断。二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大，三个点的横坐标均满足$x≥0$，因此横坐标越大，对应的纵坐标越大。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=0$代入$y=x^2$，得$y_1=0^2=0$；
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_3=2^2=4$；
因为$0＜1＜4$，所以$y_1＜y_2＜y_3$。
方法二：增减性判断法
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，在$x≥0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
已知三个点的横坐标为$0＜1＜2$，均在$x≥0$的区间内，因此对应的纵坐标满足$y_1＜y_2＜y_3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察对二次函数$y=x^2$性质的掌握，两种解题方法中，利用增减性判断可以提高解题效率，是同类比大小题型的常用技巧。
【难度系数】
0.9

1. 二次函数 $y=\sqrt{3}x^2$ 的图象与对称轴的交点坐标是 （）

A.$(0,\sqrt{3})$
B.$(1,\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},0)$
D.$(0,0)$

1. D

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先回忆形如$y=ax^2$的二次函数的基本性质，明确其对称轴为直线$x=0$（y轴）；其次，图象与对称轴的交点就是同时在函数图象和对称轴上的点，因此该点横坐标为0，将$x=0$代入函数解析式即可算出对应的纵坐标，也可直接利用$y=ax^2$的顶点在对称轴上、顶点坐标为$(0,0)$的结论直接得到结果。
【解析】
二次函数$y=\sqrt{3}x^2$属于$y=ax^2$（$a≠0$）型的二次函数，其对称轴为直线$x=0$（即y轴）。
将$x=0$代入函数解析式，得：
$y=\sqrt{3}×0^2=0$
因此该函数图象与对称轴的交点坐标为$(0,0)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. y=ax²型二次函数性质
2. 二次函数对称轴
3. 函数图象交点求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查对最简二次函数基本特征的掌握，牢记相关性质结论就能快速解题，是二次函数入门阶段的常见习题。
【难度系数】
0.9