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2. (2025 梧州期中)二次函数 $ y=3x^2 $ 的图象一定经过 （
A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
A
）A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，第一步先判断二次项系数$a$的正负，确定抛物线的开口方向；第二步分析函数值$y$的取值范围；第三步结合$x$取正负值时对应的点的坐标符号，判断所在象限，即可得出图象经过的象限。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
2. 由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$y=3x^2≥0$，即函数值$y$恒为非负数，仅当$x=0$时$y=0$；
3. 当$x＞0$时，$y＞0$，对应点的坐标符号为$(+,+)$，在第一象限；当$x＜0$时，$y＞0$，对应点的坐标符号为$(-,+)$，在第二象限。
因此该二次函数的图象一定经过第一、二象限，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数的基础图象性质，掌握$y=ax^2$的开口方向、函数值的取值规律即可快速求解，是二次函数部分的常规基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，第一步先判断二次项系数$a$的正负，确定抛物线的开口方向；第二步分析函数值$y$的取值范围；第三步结合$x$取正负值时对应的点的坐标符号，判断所在象限，即可得出图象经过的象限。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
2. 由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$y=3x^2≥0$，即函数值$y$恒为非负数，仅当$x=0$时$y=0$；
3. 当$x＞0$时，$y＞0$，对应点的坐标符号为$(+,+)$，在第一象限；当$x＜0$时，$y＞0$，对应点的坐标符号为$(-,+)$，在第二象限。
因此该二次函数的图象一定经过第一、二象限，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象与性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数的基础图象性质，掌握$y=ax^2$的开口方向、函数值的取值规律即可快速求解，是二次函数部分的常规基础考点。
【难度系数】
0.9
3. (2026 南宁月考)若函数 $y=3x^2$ 的图象经过点 $P(1,n)$，则 $n$ 的值为 (
A.$3$
B.$6$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
A
)A.$3$
B.$6$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
答案
3. A
解析
【分析】
函数图象上的任意一点的坐标都满足对应函数的解析式。已知点$P(1,n)$在函数$y=3x^2$的图象上，说明$x=1$、$y=n$符合该二次函数的表达式，因此只需将$x=1$代入解析式计算对应的$y$值，即可得到$n$的取值。
【解析】
∵ 点$P(1,n)$在函数$y=3x^2$的图象上，
∴ 将$x=1$，$y=n$代入函数解析式得：
$n=3×1^2=3×1=3$
因此$n$的值为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代入法求函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象与解析式的对应关系，解题关键是掌握“点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”这一规律，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
函数图象上的任意一点的坐标都满足对应函数的解析式。已知点$P(1,n)$在函数$y=3x^2$的图象上，说明$x=1$、$y=n$符合该二次函数的表达式，因此只需将$x=1$代入解析式计算对应的$y$值，即可得到$n$的取值。
【解析】
∵ 点$P(1,n)$在函数$y=3x^2$的图象上，
∴ 将$x=1$，$y=n$代入函数解析式得：
$n=3×1^2=3×1=3$
因此$n$的值为3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代入法求函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象与解析式的对应关系，解题关键是掌握“点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”这一规律，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
4. (2025江门月考)关于函数$y=36x^2$的叙述，错误的是（
A.图象的对称轴是y轴
B.图象与对称轴的交点是原点
C.当$x＞0$时，y随x的增大而增大
D.y有最大值
D
）A.图象的对称轴是y轴
B.图象与对称轴的交点是原点
C.当$x＞0$时，y随x的增大而增大
D.y有最大值
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题思路如下：首先明确该函数中$a=36＞0$，回忆$a＞0$时$y=ax^2$的图像特征：开口向上、对称轴为y轴、顶点为原点，再结合增减性、最值的规律逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
对于函数$y=36x^2$，其中二次项系数$a=36＞0$：
选项A：二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（即直线$x=0$），该选项表述正确；
选项B：图像与对称轴的交点即抛物线的顶点，$y=36x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，也就是原点，该选项表述正确；
选项C：因为抛物线开口向上，在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，该选项表述正确；
选项D：因为抛物线开口向上，图像有最低点，因此$y$有最小值，没有最大值，该选项表述错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，只要熟记不同开口方向下二次函数的对称轴、顶点、增减性及最值的相关规律，就能快速完成判断。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题思路如下：首先明确该函数中$a=36＞0$，回忆$a＞0$时$y=ax^2$的图像特征：开口向上、对称轴为y轴、顶点为原点，再结合增减性、最值的规律逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的选项即可。
【解析】
对于函数$y=36x^2$，其中二次项系数$a=36＞0$：
选项A：二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（即直线$x=0$），该选项表述正确；
选项B：图像与对称轴的交点即抛物线的顶点，$y=36x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，也就是原点，该选项表述正确；
选项C：因为抛物线开口向上，在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，该选项表述正确；
选项D：因为抛物线开口向上，图像有最低点，因此$y$有最小值，没有最大值，该选项表述错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，只要熟记不同开口方向下二次函数的对称轴、顶点、增减性及最值的相关规律，就能快速完成判断。
【难度系数】
0.8
5. (2025 唐山期末)小明用软件绘制抛物线$y=4x^2$时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（
A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.与对称轴的交点
B
）A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.与对称轴的交点
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，我们可以逐个分析每个选项对应的图象特征的决定因素：先回忆$y=ax^2$中系数a的作用，再对比a从4变为5的变化，逐一判断选项是否改变，就能选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$的图象性质：
1. 开口方向：由a的符号决定，当a＞0时开口向上，a＜0时开口向下。本题中a从4变为5，始终为正数，因此开口方向不变，排除A选项；
2. 开口大小：由$\vert a\vert$的大小决定，$\vert a\vert$越大，抛物线开口越小。本题中原来$\vert a\vert=4$，修改后$\vert a\vert=5$，$\vert a\vert$发生变化，因此开口大小改变，B选项符合要求；
3. 对称轴：$y=ax^2$的对称轴固定为y轴（直线$x=0$），和a的取值无关，因此对称轴不变，排除C选项；
4. 与对称轴的交点：即抛物线的顶点，$y=ax^2$的顶点固定为$(0,0)$，和a的取值无关，因此交点不变，排除D选项。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握二次函数$y=ax^2$中系数a对图象的影响，熟练记住相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题考查二次函数$y=ax^2$的图象性质，我们可以逐个分析每个选项对应的图象特征的决定因素：先回忆$y=ax^2$中系数a的作用，再对比a从4变为5的变化，逐一判断选项是否改变，就能选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$的图象性质：
1. 开口方向：由a的符号决定，当a＞0时开口向上，a＜0时开口向下。本题中a从4变为5，始终为正数，因此开口方向不变，排除A选项；
2. 开口大小：由$\vert a\vert$的大小决定，$\vert a\vert$越大，抛物线开口越小。本题中原来$\vert a\vert=4$，修改后$\vert a\vert=5$，$\vert a\vert$发生变化，因此开口大小改变，B选项符合要求；
3. 对称轴：$y=ax^2$的对称轴固定为y轴（直线$x=0$），和a的取值无关，因此对称轴不变，排除C选项；
4. 与对称轴的交点：即抛物线的顶点，$y=ax^2$的顶点固定为$(0,0)$，和a的取值无关，因此交点不变，排除D选项。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握二次函数$y=ax^2$中系数a对图象的影响，熟练记住相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 在同一平面直角坐标系中,画出函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 和 $y=2x^2$ 的图象.
答案
6. 解:如图.
解析
【分析】
要绘制两个二次函数的图象，首先明确画函数图象的通用步骤为列表、描点、连线。两个函数均属于$y=ax^2$型的二次函数，图象是关于y轴对称、顶点在原点的抛物线，因此列表时可对称选取x的正负取值，减少计算量，再依次完成描点、连线即可得到对应图象。
【解析】
绘制函数图象按以下三步进行：
1. 列表：对称选取x的值，分别计算两个函数对应的函数值，结果如下表：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=2x^2$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $2$ |
2. 描点：根据上表的坐标，在平面直角坐标系中准确描出对应的所有点；
3. 连线：使用平滑的曲线，按x从小到大的顺序顺次连接各点，即可得到两个二次函数的图象。
【答案】
如图.
【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的图象特征
【点评】
本题是二次函数的基础作图题，核心考查描点法作图的步骤，以及$y=ax^2$类二次函数的对称性特点，熟练掌握该类函数的图象特征可以有效简化作图过程。
【难度系数】
0.9
要绘制两个二次函数的图象，首先明确画函数图象的通用步骤为列表、描点、连线。两个函数均属于$y=ax^2$型的二次函数，图象是关于y轴对称、顶点在原点的抛物线，因此列表时可对称选取x的正负取值，减少计算量，再依次完成描点、连线即可得到对应图象。
【解析】
绘制函数图象按以下三步进行：
1. 列表：对称选取x的值，分别计算两个函数对应的函数值，结果如下表：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=2x^2$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
| $y=\frac{1}{2}x^2$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $2$ |
2. 描点：根据上表的坐标，在平面直角坐标系中准确描出对应的所有点；
3. 连线：使用平滑的曲线，按x从小到大的顺序顺次连接各点，即可得到两个二次函数的图象。
【答案】
如图.
【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的图象特征
【点评】
本题是二次函数的基础作图题，核心考查描点法作图的步骤，以及$y=ax^2$类二次函数的对称性特点，熟练掌握该类函数的图象特征可以有效简化作图过程。
【难度系数】
0.9
7. (2026北京期末)在平面直角坐标系中，点$A(-2,3),B(3,4),y=ax^2$的图象如图所示，则$a$的值可以为（
A.3
B.2
C.1.7
D.0.5
D
）A.3
B.2
C.1.7
D.0.5
答案
7. D
解析
【分析】
解题时我们可以结合点与抛物线的位置关系列不等式求解a的取值范围：若点在抛物线上方，则点的纵坐标大于同一x值对应的抛物线纵坐标；若点在抛物线下方，则点的纵坐标小于同一x值对应的抛物线纵坐标。观察图像可知点A在抛物线上方，点B在抛物线下方，分别代入两点坐标列不等式，求出a的范围后匹配选项即可。
【解析】
1. 根据点A的位置列不等式：
将点A(-2,3)的横坐标代入抛物线解析式$y=ax^2$，得对应抛物线纵坐标为$y=a×(-2)^2=4a$。
因为A在抛物线上方，所以$4a＜3$，解得$a＜0.75$。
2. 根据点B的位置列不等式：
将点B(3,4)的横坐标代入抛物线解析式$y=ax^2$，得对应抛物线纵坐标为$y=a×3^2=9a$。
因为B在抛物线下方，所以$9a＞4$，解得$a\approx＞0.44$。
3. 综上a的取值范围为$0.44＜a＜0.75$，只有选项D的0.5符合该范围。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；点与函数图象的位置关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握点和函数图象的位置关系与坐标大小的对应规律，通过列不等式确定参数范围即可解题，容易出错的点是列不等式时混淆不等号方向。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以结合点与抛物线的位置关系列不等式求解a的取值范围：若点在抛物线上方，则点的纵坐标大于同一x值对应的抛物线纵坐标；若点在抛物线下方，则点的纵坐标小于同一x值对应的抛物线纵坐标。观察图像可知点A在抛物线上方，点B在抛物线下方，分别代入两点坐标列不等式，求出a的范围后匹配选项即可。
【解析】
1. 根据点A的位置列不等式：
将点A(-2,3)的横坐标代入抛物线解析式$y=ax^2$，得对应抛物线纵坐标为$y=a×(-2)^2=4a$。
因为A在抛物线上方，所以$4a＜3$，解得$a＜0.75$。
2. 根据点B的位置列不等式：
将点B(3,4)的横坐标代入抛物线解析式$y=ax^2$，得对应抛物线纵坐标为$y=a×3^2=9a$。
因为B在抛物线下方，所以$9a＞4$，解得$a\approx＞0.44$。
3. 综上a的取值范围为$0.44＜a＜0.75$，只有选项D的0.5符合该范围。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；点与函数图象的位置关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握点和函数图象的位置关系与坐标大小的对应规律，通过列不等式确定参数范围即可解题，容易出错的点是列不等式时混淆不等号方向。
【难度系数】
0.7
8.如图,在同一平面直角坐标系中,作出了二次函数①$y=3x^2$;②$y=\frac{1}{2}x^2$;③$y=x^2$的图象,则开口由小到大的三条抛物线对应的二次函数依次是
①③②
.(填写序号)答案
8. ①③②
解析
【分析】
要判断三个抛物线开口由小到大的顺序，首先回忆形如$y=ax^2$的二次函数的性质：此类函数的开口大小仅由二次项系数$a$的绝对值决定，$|a|$越大，抛物线开口越小，反之$|a|$越小开口越大。接下来只需分别提取三个函数的$a$值，比较$|a|$的大小，再按开口由小到大对应$|a|$由大到小的规律排序即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，有性质：二次项系数$a$的绝对值越大，抛物线的开口越小。
首先确定三个函数的二次项系数及绝对值：
①$y=3x^2$中，$a=3$，$|a|=3$；
②$y=\frac{1}{2}x^2$中，$a=\frac{1}{2}$，$|a|=\frac{1}{2}$；
③$y=x^2$中，$a=1$，$|a|=1$。
比较绝对值大小：$3＞1＞\frac{1}{2}$，对应开口由小到大的顺序为$|a|$从大到小对应的函数，即①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
二次函数图象性质；二次项系数与开口的关系
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，属于基础题，只要牢记$y=ax^2$中$|a|$和开口大小的对应规律，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断三个抛物线开口由小到大的顺序，首先回忆形如$y=ax^2$的二次函数的性质：此类函数的开口大小仅由二次项系数$a$的绝对值决定，$|a|$越大，抛物线开口越小，反之$|a|$越小开口越大。接下来只需分别提取三个函数的$a$值，比较$|a|$的大小，再按开口由小到大对应$|a|$由大到小的规律排序即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，有性质：二次项系数$a$的绝对值越大，抛物线的开口越小。
首先确定三个函数的二次项系数及绝对值：
①$y=3x^2$中，$a=3$，$|a|=3$；
②$y=\frac{1}{2}x^2$中，$a=\frac{1}{2}$，$|a|=\frac{1}{2}$；
③$y=x^2$中，$a=1$，$|a|=1$。
比较绝对值大小：$3＞1＞\frac{1}{2}$，对应开口由小到大的顺序为$|a|$从大到小对应的函数，即①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
二次函数图象性质；二次项系数与开口的关系
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，属于基础题，只要牢记$y=ax^2$中$|a|$和开口大小的对应规律，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
9. 如图，已知抛物线 $y=x^2$ 与抛物线 $y=ax^2$ 在同一平面直角坐标系中，点A在$y=x^2$的图象上，点B在$y=ax^2$的图象上，且点B的坐标为$(2,2)$，$AB⊥ x$轴，垂足为C.
(1)求a的值；
(2)求$S_{△ AOB}$.
(1)求a的值；
(2)求$S_{△ AOB}$.
答案
9. 解:(1)把点 $B(2,2)$代入 $y=ax^2$,
得 $4a=2$,解得 $a=\frac{1}{2}$.
(2)
∵点 B 的坐标为$(2,2)$,
∴$OC=2$,$BC=2$.
把 $x=2$ 代入 $y=x^2$,得 $y=4$.
∴$AC=4$.
∴$AB=AC-BC=4-2=2$,
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×2×2=2$.
得 $4a=2$,解得 $a=\frac{1}{2}$.
(2)
∵点 B 的坐标为$(2,2)$,
∴$OC=2$,$BC=2$.
把 $x=2$ 代入 $y=x^2$,得 $y=4$.
∴$AC=4$.
∴$AB=AC-BC=4-2=2$,
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×2×2=2$.
解析
【分析】
(1) 求参数a的值时，已知点B在抛物线$y=ax^2$上，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，使用待定系数法，将点B的坐标代入解析式列方程即可求解a。
(2) 求$△ AOB$的面积时，首先由$AB⊥ x$轴可知点A和点B的横坐标相同，均为2，先将$x=2$代入$y=x^2$求出点A的纵坐标，即可得到线段AB的长度；观察图形可得$△ AOB$的边AB上的高等于OC的长度（即点横坐标的绝对值），再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把点$B(2,2)$代入$y=ax^2$，
得$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
(2)
∵点B的坐标为$(2,2)$，$AB⊥ x$轴，垂足为C，
∴$OC=2$，$BC=2$，且点A的横坐标为2，
把$x=2$代入$y=x^2$，得$y=2^2=4$，即$AC=4$，
∴$AB=AC-BC=4-2=2$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
(1)$a=\frac{1}{2}$；(2)$S_{△ AOB}=2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式的性质，结合坐标系中线段的位置特点选择简便的面积计算方法即可完成求解。
【难度系数】
0.85
(1) 求参数a的值时，已知点B在抛物线$y=ax^2$上，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，使用待定系数法，将点B的坐标代入解析式列方程即可求解a。
(2) 求$△ AOB$的面积时，首先由$AB⊥ x$轴可知点A和点B的横坐标相同，均为2，先将$x=2$代入$y=x^2$求出点A的纵坐标，即可得到线段AB的长度；观察图形可得$△ AOB$的边AB上的高等于OC的长度（即点横坐标的绝对值），再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把点$B(2,2)$代入$y=ax^2$，
得$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
(2)
∵点B的坐标为$(2,2)$，$AB⊥ x$轴，垂足为C，
∴$OC=2$，$BC=2$，且点A的横坐标为2，
把$x=2$代入$y=x^2$，得$y=2^2=4$，即$AC=4$，
∴$AB=AC-BC=4-2=2$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
(1)$a=\frac{1}{2}$；(2)$S_{△ AOB}=2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式的性质，结合坐标系中线段的位置特点选择简便的面积计算方法即可完成求解。
【难度系数】
0.85
