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1. 画$y=ax^2(a＜0)$的图象
画$y=ax^2(a＜0)$的图象时，可以先画出图象在$y$轴右边的部分，然后利用
画$y=ax^2(a＜0)$的图象时，可以先画出图象在$y$轴右边的部分，然后利用
对称性
，再画出图象在$y$轴左边的部分。在画右边部分时，只需“列表
、描点
、连线
”三个步骤。答案
1. 对称性 列表 描点 连线
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象特征：它的图象是抛物线，对称轴为y轴，左右两侧图象关于y轴对称，因此画完y轴右侧的图象后，可借助对称性直接得到左侧的图象，不需要再重新计算取值。另外，绘制任何函数图象的基本步骤都是固定的，画局部图象时同样遵循这三个基础步骤。
【解析】
二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，图象关于y轴对称，因此画出y轴右侧的部分后，可利用对称性画出y轴左侧的部分。
绘制函数图象的常规步骤为：先列表选取合适的自变量取值、计算对应函数值，再将对应坐标点描在坐标系中，最后用平滑曲线将点顺次连接，因此画右侧部分时的三个步骤为列表、描点、连线。
【答案】
对称性；列表；描点；连线
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；函数图象的画法
【点评】
本题考查二次函数图象的绘制基础，属于基础概念类题目，需要熟练掌握二次函数的对称性和画函数图象的基本步骤，是学习二次函数图象相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象特征：它的图象是抛物线，对称轴为y轴，左右两侧图象关于y轴对称，因此画完y轴右侧的图象后，可借助对称性直接得到左侧的图象，不需要再重新计算取值。另外，绘制任何函数图象的基本步骤都是固定的，画局部图象时同样遵循这三个基础步骤。
【解析】
二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，图象关于y轴对称，因此画出y轴右侧的部分后，可利用对称性画出y轴左侧的部分。
绘制函数图象的常规步骤为：先列表选取合适的自变量取值、计算对应函数值，再将对应坐标点描在坐标系中，最后用平滑曲线将点顺次连接，因此画右侧部分时的三个步骤为列表、描点、连线。
【答案】
对称性；列表；描点；连线
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；函数图象的画法
【点评】
本题考查二次函数图象的绘制基础，属于基础概念类题目，需要熟练掌握二次函数的对称性和画函数图象的基本步骤，是学习二次函数图象相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数 $ y=ax^2(a＜0) $ 的图象的性质
(1)图象是一条曲线,它的开口 ______,图象的对称轴是 ______,对称轴与图象的交点是原点(0,0);
(2)图象在对称轴左边的部分,函数值随自变量取值的增大而 ______,简称为“______”,图象在对称轴右边的部分,函数值随自变量取值的增大而 ______,简称为“______”;
(3)当$ x=0 $时,函数值最大,最大值为 ______.
(1)图象是一条曲线,它的开口 ______,图象的对称轴是 ______,对称轴与图象的交点是原点(0,0);
(2)图象在对称轴左边的部分,函数值随自变量取值的增大而 ______,简称为“______”,图象在对称轴右边的部分,函数值随自变量取值的增大而 ______,简称为“______”;
(3)当$ x=0 $时,函数值最大,最大值为 ______.
答案
2. (1) 向下 y轴 (2) 增大 左升 减小 右降 (3) 0
解析
【分析】
解决本题需要结合二次函数$y=ax^2(a＜0)$的图象特征逐一分析：
1. 第一问：开口方向由$a$的符号决定，$a＜0$时开口向下；$y=ax^2$是最基础的二次函数，没有一次项和常数项，对称轴固定为y轴，顶点为原点。
2. 第二问：结合开口向下的抛物线图象判断增减性：开口向下的抛物线，对称轴左侧图象呈上升趋势，右侧呈下降趋势，对应即可得到函数值随x变化的规律。
3. 第三问：开口向下的抛物线顶点是最高点，对应函数的最大值，顶点坐标为$(0,0)$，即可得到最大值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，图象开口向下；该函数无一次项和常数项，对称轴为y轴，对称轴与图象的交点即顶点为原点$(0,0)$。
(2) 观察开口向下的抛物线图象：在对称轴（y轴）左侧，即$x＜0$时，自变量x增大，函数值y随之增大，简称“左升”；在对称轴右侧，即$x＞0$时，自变量x增大，函数值y随之减小，简称“右降”。
(3) 开口向下的抛物线顶点为最高点，对应函数最大值，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，函数最大值为0。
【答案】
(1) 向下；y轴
(2) 增大；左升；减小；右降
(3) 0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础性质考查题，核心是识记$a＜0$时$y=ax^2$的图象特征，掌握相关结论即可快速解题，是学习复杂二次函数性质的铺垫。
【难度系数】
0.9
解决本题需要结合二次函数$y=ax^2(a＜0)$的图象特征逐一分析：
1. 第一问：开口方向由$a$的符号决定，$a＜0$时开口向下；$y=ax^2$是最基础的二次函数，没有一次项和常数项，对称轴固定为y轴，顶点为原点。
2. 第二问：结合开口向下的抛物线图象判断增减性：开口向下的抛物线，对称轴左侧图象呈上升趋势，右侧呈下降趋势，对应即可得到函数值随x变化的规律。
3. 第三问：开口向下的抛物线顶点是最高点，对应函数的最大值，顶点坐标为$(0,0)$，即可得到最大值。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=ax^2$，当$a＜0$时，图象开口向下；该函数无一次项和常数项，对称轴为y轴，对称轴与图象的交点即顶点为原点$(0,0)$。
(2) 观察开口向下的抛物线图象：在对称轴（y轴）左侧，即$x＜0$时，自变量x增大，函数值y随之增大，简称“左升”；在对称轴右侧，即$x＞0$时，自变量x增大，函数值y随之减小，简称“右降”。
(3) 开口向下的抛物线顶点为最高点，对应函数最大值，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，函数最大值为0。
【答案】
(1) 向下；y轴
(2) 增大；左升；减小；右降
(3) 0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础性质考查题，核心是识记$a＜0$时$y=ax^2$的图象特征，掌握相关结论即可快速解题，是学习复杂二次函数性质的铺垫。
【难度系数】
0.9
【变式】二次函数$y=-8x^2$的图象大致为（
C
）答案
C
解析
【分析】
解题时先从二次函数$y=ax^2$的基本性质入手：第一步先看二次项系数$a$的符号，$a$的正负决定抛物线的开口方向，$a＜0$时开口向下，先排除开口向上的选项；第二步再回忆$y=ax^2$的图象特征：顶点在原点$(0,0)$，对称轴为$y$轴，据此排除不符合顶点位置的选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-8x^2$：
1. 二次项系数$a=-8＜0$，因此抛物线开口向下，选项A、B的图象开口向上，不符合要求，予以排除；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴，即抛物线过原点且顶点在原点。选项D的顶点在$y$轴正半轴，与$x$轴有两个交点，不符合该特征，排除；
3. 选项C的图象开口向下，顶点在原点，对称轴为$y$轴，完全符合$y=-8x^2$的图象特征。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象识别
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，核心是掌握$y=ax^2$型二次函数的开口方向、顶点、对称轴的相关性质，熟练记忆性质即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
解题时先从二次函数$y=ax^2$的基本性质入手：第一步先看二次项系数$a$的符号，$a$的正负决定抛物线的开口方向，$a＜0$时开口向下，先排除开口向上的选项；第二步再回忆$y=ax^2$的图象特征：顶点在原点$(0,0)$，对称轴为$y$轴，据此排除不符合顶点位置的选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-8x^2$：
1. 二次项系数$a=-8＜0$，因此抛物线开口向下，选项A、B的图象开口向上，不符合要求，予以排除；
2. 形如$y=ax^2$的二次函数，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴，即抛物线过原点且顶点在原点。选项D的顶点在$y$轴正半轴，与$x$轴有两个交点，不符合该特征，排除；
3. 选项C的图象开口向下，顶点在原点，对称轴为$y$轴，完全符合$y=-8x^2$的图象特征。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象识别
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题，核心是掌握$y=ax^2$型二次函数的开口方向、顶点、对称轴的相关性质，熟练记忆性质即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
【例2】已知函数$y=-\frac{1}{3}x^2$，回答下列各题：
(1)其图象的开口方向：
(2)其图象的对称轴：
(3)其图象的顶点坐标：
(4)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
(5)当$x$
(1)其图象的开口方向：
向下
；(2)其图象的对称轴：
y轴
；(3)其图象的顶点坐标：
(0,0)
；(4)当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而
减小
；(5)当$x$
=0
时，函数$y$的最大
(填“大”或“小”)值是0
。答案
(1) 向下 (2) y轴 (3) (0,0) (4) 减小 (5) =0 大 0
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2(a＜0)$的基本性质，解题思路如下：首先确定函数中参数$a$的符号，再结合$y=ax^2$类二次函数的固定性质，逐一对应求解开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值即可。
【解析】
对于二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2$，其中$a=-\frac{1}{3}＜0$，结合$y=ax^2$的性质分析：
(1) 当$a＜0$时，二次函数图象开口向下，因此开口方向为向下；
(2) 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴固定为y轴（或直线$x=0$）；
(3) 形如$y=ax^2$的二次函数，顶点为图象的最高点或最低点，坐标固定为$(0,0)$；
(4) 因为函数开口向下，在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小；
(5) 因为开口向下，函数图象有最高点，在顶点处取得最大值，即当$x=0$时，$y$的最大值为$0$。
【答案】
(1) 向下 (2) y轴 (3) (0,0) (4) 减小 (5) =0 大 0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数增减性、二次函数最值
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对最简二次函数基本性质的记忆与直接应用，熟练掌握此类基础性质是学习复杂二次函数的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2(a＜0)$的基本性质，解题思路如下：首先确定函数中参数$a$的符号，再结合$y=ax^2$类二次函数的固定性质，逐一对应求解开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值即可。
【解析】
对于二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2$，其中$a=-\frac{1}{3}＜0$，结合$y=ax^2$的性质分析：
(1) 当$a＜0$时，二次函数图象开口向下，因此开口方向为向下；
(2) 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴固定为y轴（或直线$x=0$）；
(3) 形如$y=ax^2$的二次函数，顶点为图象的最高点或最低点，坐标固定为$(0,0)$；
(4) 因为函数开口向下，在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小；
(5) 因为开口向下，函数图象有最高点，在顶点处取得最大值，即当$x=0$时，$y$的最大值为$0$。
【答案】
(1) 向下 (2) y轴 (3) (0,0) (4) 减小 (5) =0 大 0
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数增减性、二次函数最值
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对最简二次函数基本性质的记忆与直接应用，熟练掌握此类基础性质是学习复杂二次函数的前提。
【难度系数】
0.9
【例1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数$y=-4x^2$与$y=-\frac{1}{4}x^2$的图象。
答案
解:如图.
解析
【分析】
要画出两个二次函数的图象，我们采用初中阶段画函数图象的基本方法——描点法，分为列表、描点、连线三步完成。首先回忆二次函数$y=ax^2(a≠0)$的性质：图象是抛物线，对称轴为y轴，顶点在原点，因此列表时可以对称选取x的取值，只需要计算x≥0部分的函数值，就能直接得到x负半轴对应的函数值，简化计算过程；随后将计算得到的点在坐标系中准确描出，最后用平滑曲线顺次连接各点即可得到对应的抛物线。
【解析】
绘制步骤如下：
1. 列表：利用二次函数关于y轴对称的性质，对称选取x的值，分别计算两个函数的对应函数值：
（1）对于$y=-4x^2$：
| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-4x^2$ | … | -16 | -4 | 0 | -4 | -16 | … |
（2）对于$y=-\frac{1}{4}x^2$：
| $x$ | … | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\frac{1}{4}x^2$ | … | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | … |
2. 描点：把上述表格中对应的坐标点，在平面直角坐标系中逐一描出；
3. 连线：按照x从小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到两个二次函数的图象。
【答案】
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 二次函数$y=ax^2$的对称性
3. 二次函数的图象特征
【点评】
本题是二次函数图象绘制的基础题型，核心考查描点法的规范操作和二次函数基本性质的应用，掌握这类基础图象的画法，是后续学习复杂二次函数图象与性质的重要前提。
【难度系数】
0.9
要画出两个二次函数的图象，我们采用初中阶段画函数图象的基本方法——描点法，分为列表、描点、连线三步完成。首先回忆二次函数$y=ax^2(a≠0)$的性质：图象是抛物线，对称轴为y轴，顶点在原点，因此列表时可以对称选取x的取值，只需要计算x≥0部分的函数值，就能直接得到x负半轴对应的函数值，简化计算过程；随后将计算得到的点在坐标系中准确描出，最后用平滑曲线顺次连接各点即可得到对应的抛物线。
【解析】
绘制步骤如下：
1. 列表：利用二次函数关于y轴对称的性质，对称选取x的值，分别计算两个函数的对应函数值：
（1）对于$y=-4x^2$：
| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-4x^2$ | … | -16 | -4 | 0 | -4 | -16 | … |
（2）对于$y=-\frac{1}{4}x^2$：
| $x$ | … | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\frac{1}{4}x^2$ | … | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | … |
2. 描点：把上述表格中对应的坐标点，在平面直角坐标系中逐一描出；
3. 连线：按照x从小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到两个二次函数的图象。
【答案】
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 二次函数$y=ax^2$的对称性
3. 二次函数的图象特征
【点评】
本题是二次函数图象绘制的基础题型，核心考查描点法的规范操作和二次函数基本性质的应用，掌握这类基础图象的画法，是后续学习复杂二次函数图象与性质的重要前提。
【难度系数】
0.9
【变式】关于二次函数$y=-5x^2$，下列说法正确的是（
A.图象的开口向上
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象的顶点坐标是$(-5,0)$
D.当$x=0$时，$y$有最小值为0
B
）A.图象的开口向上
B.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象的顶点坐标是$(-5,0)$
D.当$x=0$时，$y$有最小值为0
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2(a≠0)$的基本性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，再结合$a＜0$时的增减性、最值特点，逐一判断每个选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-5x^2$，其中$a=-5＜0$：
A选项：$a＜0$，图象开口向下，故A错误；
B选项：该函数对称轴为直线$x=0$，开口向下，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，故B正确；
C选项：二次函数$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，故C错误；
D选项：图象开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=0$时，$y$有最大值为0，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次项系数为负的二次函数的图象与性质，熟记相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2(a≠0)$的基本性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$，再结合$a＜0$时的增减性、最值特点，逐一判断每个选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-5x^2$，其中$a=-5＜0$：
A选项：$a＜0$，图象开口向下，故A错误；
B选项：该函数对称轴为直线$x=0$，开口向下，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，故B正确；
C选项：二次函数$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，故C错误；
D选项：图象开口向下，顶点为图象最高点，因此当$x=0$时，$y$有最大值为0，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次项系数为负的二次函数的图象与性质，熟记相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
