2. 下列二次函数中，二次项系数为－3的是（）

A.$y=3x^2 - 2x + 5$
B.$y=x^2 - 3x + 2$
C.$y=-3x^2 - x$
D.$y=x^2 - 3$

2. C

【分析】
要选出二次项系数为-3的选项，首先需要明确二次函数的一般形式及各部分名称：二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne 0$），其中$x^2$前面的数字因数$a$就是二次项系数，注意系数包含符号。解题时只需逐一找出每个选项中$x^2$的系数，判断是否等于-3即可。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a\ne 0$），其中$a$为二次项系数：
选项A：$y=3x^2 - 2x + 5$的二次项系数为3，不符合要求；
选项B：$y=x^2 - 3x + 2$的二次项系数为1，不符合要求；
选项C：$y=-3x^2 - x$的二次项系数为-3，符合要求；
选项D：$y=x^2 - 3$的二次项系数为1，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 二次项系数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数基本构成的掌握，解题时需注意系数包含正负号，避免因忽略符号出错。
【难度系数】
0.9

3. (2026商丘月考)若$y=(2-a)x^{|a|}$是二次函数，则a等于（）

A.$\pm2$
B.$2$
C.$-2$
D.不能确定

3. C

【分析】
要确定a的取值，需结合二次函数的定义思考：二次函数需要同时满足两个核心条件：①自变量的最高次数为2；②二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列出关于a的等式和不等式，求解后取公共解即可得到a的取值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量x的最高次数为2，即$|a|=2$，解得$a=2$或$a=-2$；
2. 二次项系数不为0，即$2-a≠0$，解得$a≠2$。
结合两个条件，同时满足的a值只有$-2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数定义的应用，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选A选项，解题时要完整考虑定义的所有约束条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7

4. (2025昆明开学考)为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y关于x的函数表达式是
（）

A.$y=1000(1+x)^2$
B.$y=1000(1-x)^2$
C.$y=(1-x)^2+1000$
D.$y=x^2+1000$

4. A

【分析】
本题属于平均增长率的实际应用问题，解题思路如下：首先确定初始投放量为第一个月的1000个，月平均增长率为x，每过一个月，投放量变为上个月的(1+x)倍；从第一个月到第三个月共经过2次增长，因此用初始量连续乘2次(1+x)即可得到第三个月的投放量，进而得到y与x的函数表达式。
【解析】
已知第一个月投放垃圾桶1000个，第二、三月的月平均增长率为x：
1. 计算第二个月的投放量：第二个月在第一个月的基础上增长x，因此投放量为 $ 1000(1+x) $ 个；
2. 计算第三个月的投放量：第三个月在第二个月的基础上再增长x，因此投放量为 $ 1000(1+x) × (1+x) = 1000(1+x)^2 $ 个；
即 $ y = 1000(1+x)^2 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率计算、列函数表达式
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题关键是牢记平均增长率的基本公式，注意区分增长率和下降率对应的符号，避免混淆(1+x)和(1-x)的适用场景。
【难度系数】
0.9

5. 二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3$ 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。

5. $\frac{1}{2}$ -2 -1

【分析】
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，需先将给定的顶点式二次函数转化为一般式 $ y=ax^2+bx+c $（$ a≠0 $），其中$ a $为二次项系数，$ b $为一次项系数，$ c $为常数项。解题时先利用完全平方公式展开平方项，再去括号、合并同类项得到一般式，最后对应识别各项系数即可。
【解析】
将二次函数 $ y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3 $ 展开为一般式：
1. 用完全平方公式展开 $ (x-2)^2 $：
$ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $
2. 代入原式去括号：
$ y=\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) -3 = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 - 3 $
3. 合并同类项得一般式：
$ y=\frac{1}{2}x^2 -2x -1 $
对照一般式的定义，可得二次项系数为 $ \frac{1}{2} $，一次项系数为 $ -2 $，常数项为 $ -1 $。
【答案】
$ \frac{1}{2} $；$ -2 $；$ -1 $
【知识点】
二次函数的一般形式；完全平方公式；整式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数顶点式向一般式的转化能力，计算时要注意系数不要漏乘、合并同类项时符号不要出错，熟练掌握整式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9

6. 关于x的函数$y=(m+1)x^2+(m-1)x+m$，当$m=0$时，它是函数；当$m=-1$时，它是函数。

6. 二次 一次

【分析】
解题时首先要明确一次函数、二次函数的定义：二次函数需满足最高次为2次且二次项系数不为0，一次函数需满足最高次为1次且一次项系数不为0。我们只需分别将题目给出的m值代入函数表达式，化简后对照两类函数的定义即可判断函数类型。
【解析】
1. 当$m=0$时，代入函数表达式：
$y=(0+1)x^2+(0-1)x+0 = x^2 - x$
此时函数最高次为2次，且二次项系数$1≠0$，符合二次函数的定义，故为二次函数。
2. 当$m=-1$时，代入函数表达式：
$y=(-1+1)x^2+(-1-1)x+(-1) = -2x -1$
此时二次项系数为0，最高次为1次，且一次项系数$-2≠0$，符合一次函数的定义，故为一次函数。
【答案】
二次；一次
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是牢记一次函数、二次函数的判定条件，尤其要注意二次项系数不为0是二次函数成立的前提，代入参数后先化简再判断即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

7.已知长方体的高是6 cm，底面是边长为x cm的正方形.长方体的表面积是S cm²，体积是V cm³.
(1)分别写出S关于x，V关于x的函数表达式；
(2)(1)中的两个函数是关于x的二次函数吗？

7.解:(1)
∵长方体的高是6 cm,底面是边长为x cm的正方形.长方体的表面积为S cm²,体积为V cm³，
∴$S=2x^2+4×6x=2x^2+24x$，
$V=6x^2$.
(2)它们是关于x的二次函数.

【分析】
求解本题分两步思考：
1. 解决第(1)问：先回忆长方体表面积、体积的计算公式。长方体表面积=2个底面积+4个侧面积，本题底面是边长为x的正方形，单个底面积为$x^2$，每个侧面是长为x、高为6的长方形，单个侧面积为$6x$，代入公式即可得到S关于x的表达式；长方体体积=底面积×高，代入底面积和高的数值即可得到V关于x的表达式。
2. 解决第(2)问：回忆二次函数的定义，形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，将第(1)问得到的两个表达式和定义对比，即可判断是否为二次函数。
【解析】
(1) 已知长方体的高是6 cm，底面是边长为x cm的正方形，长方体的表面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，体积为$V\ \mathrm{cm}^3$。
根据长方体表面积公式可得：
$S=2× x^2 + 4× x×6 = 2x^2+24x$
根据长方体体积公式可得：
$V = x^2×6 = 6x^2$
(2) 根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，a、b、c为常数）的函数为二次函数。
$S=2x^2+24x$满足$a=2≠0$，$b=24$，$c=0$，符合二次函数形式；$V=6x^2$满足$a=6≠0$，$b=0$，$c=0$，也符合二次函数形式，因此两个函数都是关于x的二次函数。
【答案】
(1) $S=2x^2+24x$，$V=6x^2$；
(2) 两个函数都是关于x的二次函数。
【知识点】
长方体表面积与体积计算；二次函数的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查基础几何公式的应用和二次函数的定义，只要熟练掌握相关公式和判定规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9

8. (2025杭州期末)若关于$x$的函数$y=(m-1)x^{m^2+m}-3x+5$是二次函数.
(1)求$m$的值；
(2)当$x=1$时，求$y$的值.

8.解:(1)
∵函数$y=(m-1)x^{m^2+m}-3x+5$是二次函数，
∴$m-1≠0$，$m^2+m=2$，
解得$m≠1$，$m_1=1$，$m_2=-2$，
∴$m=-2$.
(2)当$m=-2$时，二次函数表达式为$y=-3x^2-3x+5$，
∴当$x=1$时，$y=-3×1^2-3×1+5=-1$.

【分析】
要解决这道题，首先明确二次函数的核心定义：需同时满足两个条件，一是最高次项的次数为2，二是二次项的系数不为0。
第一问求m的值：我们根据二次函数的两个成立条件列关系式，先解方程$m^2+m=2$得到m的可能取值，再结合二次项系数$m-1≠0$排除不符合的取值，就能得到m的正确值。
第二问求$x=1$时的y值：先把第一问求出的m值代入原函数，得到具体的二次函数解析式，再将$x=1$代入解析式计算，即可求出对应的y值。
【解析】
(1)
∵函数$y=(m-1)x^{m^2+m}-3x+5$是二次函数，
∴需同时满足二次项系数不为0、最高次项次数为2，即：
$\begin{cases}m-1≠0 \\ m^2+m=2\end{cases}$
先解方程$m^2+m=2$，整理得$m^2+m-2=0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m_1=1$，$m_2=-2$，
结合$m≠1$的条件，舍去$m=1$，
∴$m=-2$。
(2) 把$m=-2$代入原函数，得二次函数表达式为：
$y=(-2-1)x^{2}-3x+5=-3x^2-3x+5$，
当$x=1$时，代入解析式得：
$y=-3×1^2 -3×1 +5=-3-3+5=-1$。
【答案】
(1) $m=-2$；(2) $y=-1$
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程求解；函数值计算
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，解题的关键是熟记二次函数的成立条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，导致多解出错。
【难度系数】
0.7

9.用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形的一边长为x m，面积为y m².
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当x为何值时，围成的养鸡场的面积为60 m²？
(3)能否围成面积为70 m²的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由.

9.解:(1)与长为x m的边垂直的边长为$\frac{32}{2}-x=(16-x)$m，
根据题意，得$y=x(16-x)=-x^2+16x(0＜x＜16)$.
(2)由(1)，知$y=-x^2+16x$.
当$y=60$时，$-x^2+16x=60$，
即$(x-6)(x-10)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=10$，
即当$x=6$或10时，围成的养鸡场的面积为60 m².
(3)不能围成面积为70 m²的养鸡场.理由如下：
由(1)，知$y=-x^2+16x$.
当$y=70$时，$-x^2+16x=70$，
即$x^2-16x+70=0$.
因为$\Delta=(-16)^2-4×1×70=-24＜0$，
∴该方程无解.
∴不能围成面积为70 m²的养鸡场.

【分析】
这是一道结合矩形面积的二次函数与一元二次方程实际应用题，解题思路清晰：
(1) 已知篱笆总长为矩形周长32m，一边长为x m，根据矩形周长公式可求出相邻边的长度，再结合矩形面积=长×宽即可写出y关于x的函数表达式，同时要注意边长为正，确定x的取值范围；
(2) 求面积为60m²时的x值，只需将y=60代入第一问的函数表达式，得到一元二次方程，求解后检验解是否符合x的取值范围即可；
(3) 判断能否围成70m²的养鸡场，只需将y=70代入函数表达式得到一元二次方程，通过计算根的判别式Δ的值判断方程是否有正实数根，若Δ＜0则方程无实根，即无法围成。
【解析】
(1) 与长为x m的边垂直的边长为$\frac{32}{2}-x=(16-x)$m，
根据矩形面积公式得：$y=x(16-x)=-x^2+16x$，
由边长为正可得$0＜x＜16$，因此函数表达式为$y=-x^2+16x(0＜x＜16)$。
(2) 当$y=60$时，代入函数表达式得：
$-x^2+16x=60$，
整理得$x^2-16x+60=0$，因式分解得$(x-6)(x-10)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=10$，两个解均满足$0＜x＜16$，符合实际意义。
(3) 不能围成面积为70 m²的养鸡场，理由如下：
当$y=70$时，代入函数表达式得：
$-x^2+16x=70$，
整理得$x^2-16x+70=0$，
计算根的判别式：$\Delta=(-16)^2-4×1×70=-24＜0$，
因此该方程无实数根，不存在符合条件的边长，故不能围成面积为70 m²的养鸡场。
【答案】
(1) $y=-x^2+16x(0＜x＜16)$
(2) 当$x=6$或10时，围成的养鸡场面积为60 m²
(3) 不能围成面积为70 m²的养鸡场，理由见解析
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的解法；根的判别式的应用
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了二次函数与一元二次方程的综合运用，解题时要注意实际问题中自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解，第三问利用判别式判断方程是否有实根是解题的关键。
【难度系数】
0.7