6.【例2】如图，$△ A'B'C'$由$△ ABC$绕点$O$旋转$59°$得到.
(1)旋转角是$∠$$=∠$$=∠$$=$$°$；
(2)$OA$$OA'$，
$OB$$OB'$；
(3)$△ ABC$$△ A'B'C'$；
(4)若连接$CC'$，则$△ OCC'$是三角形.

6. (1) AOA' BOB' COC' 59 (2) = = (3) ≌ (4) 等腰

【分析】
本题考查图形旋转的相关知识，解题思路如下：首先回忆旋转的核心性质：1.旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，所有旋转角大小相等；2.对应点到旋转中心的距离相等；3.旋转前后的图形全等。结合题目给出的旋转条件，逐问分析即可：
(1)找对应点A与A'、B与B'、C与C'，它们和旋转中心O的连线夹角就是旋转角，大小等于题目给出的旋转度数59°；
(2)根据对应点到旋转中心距离相等即可判断线段关系；
(3)旋转不改变图形的形状和大小，因此两个三角形全等；
(4)由OC和OC'是对应点到旋转中心的线段，长度相等，即可判断三角形类型。
【解析】
(1) 根据旋转角的定义：旋转过程中，对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角。本题中A的对应点是A'，B的对应点是B'，C的对应点是C'，旋转中心为O，旋转角度为59°，因此旋转角是$∠ AOA'=∠ BOB'=∠ COC'=59°$。
(2) 根据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，因此$OA=OA'$，$OB=OB'$。
(3) 旋转属于全等变换，旋转前后的图形形状、大小完全相同，因此$△ ABC ≌ △ A'B'C'$。
(4) 由旋转性质可得$OC=OC'$，有两边相等的三角形是等腰三角形，因此$△ OCC'$是等腰三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AOA'}$，$\boldsymbol{BOB'}$，$\boldsymbol{COC'}$，$\boldsymbol{59}$
(2) $\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{=}$
(3) $\boldsymbol{≌}$
(4) $\boldsymbol{等腰}$
【知识点】
旋转的性质；全等图形；等腰三角形判定
【点评】
本题是图形旋转的基础题型，主要考察旋转的核心特征，熟练掌握旋转的相关概念和性质即可快速解题，是巩固旋转基础的典型习题。
【难度系数】
0.8

7.如图,等边三角形ABC的边长为2,点D是BC的中点,△ADC绕点A顺时针旋转后得到△AEB,则
(1)旋转中心是;
(2)旋转角=∠=∠=°;
(3)BE=,AE=;(填数字)
(4)若连接DE,则△ADE是三角形.

7. (1) 点A (2) EAD BAC 60 (3) 1 √3 (4) 等边

【分析】
本题考查图形旋转的相关概念与性质，结合等边三角形的性质求解即可，思考路径如下：
1. 旋转中心是旋转过程中固定不动的点，直接从题干描述即可确定；
2. 旋转角是一组对应点与旋转中心连线的夹角，旋转前后旋转角大小相等，结合等边三角形的内角即可求出旋转角度数；
3. 旋转前后对应边相等，先找到所求线段的对应边，结合等边三角形的边长、中线（高）的长度计算即可；
4. 根据旋转性质得到AE=AD，再结合旋转角为60°，即可判断△ADE的形状。
【解析】
(1) 由题干“△ADC绕点A顺时针旋转后得到△AEB”，可知旋转过程中固定的点是点A，即旋转中心是点A；
(2) 旋转过程中，点D的对应点是点E，点C的对应点是点B，因此旋转角为∠EAD和∠BAC；又因为△ABC是等边三角形，内角∠BAC=60°，因此旋转角为60°；
(3) 旋转前后对应边相等，BE的对应边是DC，AE的对应边是AD。已知等边△ABC边长为2，D是BC中点，因此DC=½BC=1，即BE=1；AD是等边△ABC的高，由勾股定理得AD=√(AB²-BD²)=√(2²-1²)=√3，即AE=√3；
(4) 由旋转性质得AE=AD，且旋转角∠EAD=60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此△ADE是等边三角形。
【答案】
(1) 点A (2) EAD；BAC；60 (3) 1；√3 (4) 等边
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查旋转的核心概念（旋转中心、旋转角）和旋转前后图形全等、对应边相等、对应角相等的性质，结合等边三角形的特征即可快速求解，是图形旋转章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

1. 下列选项中,属于旋转的是 ()

A.电梯升降的过程
B.火箭升空的过程
C.雨滴下落的过程
D.幸运大转盘转动的过程

1. D

【分析】
解题时首先要明确旋转和平移的核心定义及区别：旋转是平面内将一个图形绕某一定点转动一定角度的变换，核心特征是存在固定的旋转中心，运动过程中物体的方向会发生改变；平移是图形沿某一方向做直线运动，运动过程中物体的方向不发生改变。接下来结合每个选项的运动特征逐一判断，筛选出属于旋转的选项即可。
【解析】
根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点转动一个角度的图形变换叫做旋转。
选项A：电梯升降是沿竖直方向做直线运动，属于平移现象，不符合旋转定义；
选项B：火箭升空是沿竖直方向做直线运动，属于平移现象，不符合旋转定义；
选项C：雨滴下落是沿竖直方向做直线运动，属于平移现象，不符合旋转定义；
选项D：幸运大转盘转动是绕转盘中心的定点做圆周运动，符合旋转的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 旋转的定义
2. 平移的特征
【点评】
本题考查生活中平移与旋转现象的区分，只需牢记两种图形变换的核心特征即可快速作答，易错点是混淆两种运动的方向变化特点。
【难度系数】
0.9

2. 在下列绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是由某个基本图形经过旋转得到的是（）

B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确旋转的核心特征：平面内，将一个图形绕某一定点旋转一定角度后得到的新图形，与原图形的形状、大小完全相同，整个图案由若干个全等的基本图形通过旋转组合而成。解题时我们只需逐个分析四个标志的构成，判断其是否由同一个基本图形旋转得到即可。
【解析】
我们结合旋转的性质逐一分析选项：
1. 选项A是绿色食品标志，由太阳、叶片、蓓蕾三类不同的基本图形构成，基本图形不全等，不可能由同一个基本图形旋转得到；
2. 选项B是回收标志，由3个完全相同的箭头图形构成，将其中1个箭头绕图案中心依次旋转120°，即可得到完整的回收标志，符合旋转得到的特征；
3. 选项C是节能标志，是汉字“节”的艺术变形搭配外围圆形，构成图形的各部分不全等，不是由同一个基本图形旋转得到；
4. 选项D是节水标志，由水滴、人手、地球变形三类不同的基本图形构成，基本图形不全等，不是由同一个基本图形旋转得到。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的定义；旋转的性质
【点评】
本题结合生活中常见的公共标识考查旋转的相关知识，既要求同学们熟练掌握旋转的特征，也引导大家关注生活中的数学元素，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.8

3. 如图,将$△ ABO$绕点$O$旋转$50°$得到$△ CDO$,若$AB=2$,$OA=4$,$OB=3$,$∠ A=47°$,则
(1)旋转中心是点;
(2)旋转方向是;
(3)点$A,B,O$的对应点分别是点;
(4)$∠ C=$$°$;
(5)$OD=$,$OC=$,$CD=$;
(填数字)
(6)旋转的角度为$°$.

3. (1) O (2) 顺时针 (3) C,D,O (4) 47 (5) 3 4 2 (6) 50

【分析】
解决本题需要先回忆旋转的相关概念和性质：旋转三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角；旋转前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。首先根据题目描述确定旋转中心，再结合图形判断旋转方向，接着根据全等性质找对应点、计算对应角和对应边的长度，最后确定旋转角即可。
【解析】
(1) 旋转过程中固定不动的点为旋转中心，题目明确说明将△ABO绕点O旋转，因此旋转中心是点O；
(2) 观察图形，点A旋转到对应点C、点B旋转到对应点D的方向为顺时针方向，因此旋转方向是顺时针；
(3) △ABO旋转得到△CDO，根据旋转前后图形的对应关系，点A的对应点是C，点B的对应点是D，旋转中心O的对应点是自身O，因此对应点分别是C、D、O；
(4) 根据旋转的性质，旋转前后对应角相等，∠C与∠A是对应角，已知∠A=47°，因此∠C=∠A=47°；
(5) 根据旋转的性质，旋转前后对应边相等：OD与OB是对应边，OB=3，因此OD=3；OC与OA是对应边，OA=4，因此OC=4；CD与AB是对应边，AB=2，因此CD=2；
(6) 题目明确给出旋转角度为50°，因此旋转的角度为50°。
【答案】
(1) O (2) 顺时针 (3) C,D,O (4) 47 (5) 3，4，2 (6) 50
【知识点】
旋转的概念，旋转的性质
【点评】
本题是旋转的基础应用题，侧重对基础概念和性质的考查，熟练掌握旋转的相关性质就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9

4. (人教九上$\mathrm{P}_{92}$思考改编)钟表的时针在不停地旋转,从上午6时到上午9时,时针旋转的旋转角是度;从上午9时到上午10时,时针旋转的旋转角是度.

4. 90 30

【分析】
要计算时针的旋转角，首先需明确钟表表盘的特征：整个表盘对应周角360°，时针旋转一周需要12小时，因此先算出时针每小时旋转的角度，再分别计算两个时间段的经过时长，用时长乘每小时旋转的角度即可得到对应旋转角。
【解析】
解：
∵ 钟表表盘为周角360°，时针12小时旋转一周，
∴ 时针每小时旋转的角度为：$360°÷12=30°$。
1. 从上午6时到上午9时，经过的时长为$9-6=3$小时，
则对应旋转角为：$3×30°=90°$；
2. 从上午9时到上午10时，经过的时长为$10-9=1$小时，
则对应旋转角为：$1×30°=30°$。
【答案】
90；30
【知识点】
旋转角的概念；钟表角度计算
【点评】
本题结合生活中钟表旋转的现象考查旋转角的计算，解题关键是掌握时针每小时旋转30°的规律，结合经过的时长即可快速算出结果，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9

5. (2025 大庆) 如图，△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为 ()

A.$2\sqrt{3}$
B.$4$
C.$3\sqrt{2}$
D.$6$

5. B

【分析】
遇到旋转类几何计算问题，首先利用旋转的不变性梳理相等的边和角：①先分析已知的等腰△ABC，算出其底角的度数；②结合旋转性质，得到AC=AE、旋转角∠CAE=120°，进而求出△ACE的底角度数；③再结合点D在CE上的条件，分析△ACD的内角，发现其为直角三角形，利用直角三角形的性质即可求出CD的长度。
【解析】
1. 在△ABC中，AB=BC=2，∠CBA=120°，

∴∠BAC=∠BCA=(180°-120°)÷2=30°。
2. 由旋转的性质可知：△ABC≌△ADE，旋转角∠CAE=120°，

∴AC=AE，AD=AB=2，DE=BC=2，∠ADE=∠ABC=120°，∠AED=∠ACB=30°。
3. 在△ACE中，AC=AE，∠CAE=120°，

∴∠ACE=∠AEC=(180°-120°)÷2=30°。
4.
∵点D在CE上，∠ADE=120°，

∴∠ADC=180°-∠ADE=60°。
5. 在△ACD中，∠ACD=30°，∠ADC=60°，

∴∠CAD=180°-30°-60°=90°，即△ACD是直角三角形。
6. 在Rt△ACD中，∠ACD=30°，30°角所对的直角边为AD=2，

∴CD=2AD=2×2=4。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心是利用旋转的不变性得到等量关系，再结合等腰三角形、直角三角形的性质计算线段长度，解题时要注意挖掘隐含的角度关系，快速定位特殊三角形简化计算。
【难度系数】
0.6

6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$△ DCE$是$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转得到的，此时点$B$，$C$，$E$在同一直线上.
(1)若$AB = 10$，$AC = 8$，求$BE$的长；
(2)求证：$AB ⊥ DE$.

6. (1)解:在 Rt△ABC 中,AB = 10,AC = 8, ∠ACB = 90°.
∴ BC = √(AB² - AC²) = 6.
∵ △ABC 绕着点 C 旋转得到△DCE,
∴ CE = CA = 8.
∴ BE = BC + CE = 6 + 8 = 14.
(2)证明:如图,延长 ED 交 AB 于点 F.
由旋转的性质知,∠FAD = ∠DEC.
∵ ∠FDA = ∠CDE 且∠ACB = 90°,
∴ ∠AFD = ∠DCE = 180° - ∠ACB = 90°.
∴ AB ⊥ DE.

【分析】
(1) 要求BE的长度，首先观察到B、C、E三点共线，因此$BE=BC+CE$，只需分别求出BC和CE的长度即可。在$\mathrm{Rt}△ABC$中已知斜边AB和直角边AC，可通过勾股定理计算BC；再根据旋转的性质，旋转前后对应边相等，可得$CE=AC$，代入数值相加就能得到BE的长。
(2) 要证明$AB⊥ DE$，只需证明两条直线的夹角为$90°$。我们可以延长ED交AB于点F，目标是证明$∠ AFD=90°$。根据旋转的性质可得对应角$∠ A=∠ E$，结合对顶角$∠ ADF=∠ EDC$，利用三角形内角和为$180°$，即可推出$∠ AFD=∠ DCE=90°$，从而证明垂直。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$AC=8$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵$△ DCE$是$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转得到的，
∴由旋转的性质得$CE=AC=8$。
∵点$B$、$C$、$E$在同一直线上，
∴$BE=BC+CE=6+8=14$。
(2) 证明：延长$ED$交$AB$于点$F$，
由旋转的性质可得对应角相等：$∠ FAD=∠ DEC$。
∵$∠ FDA$与$∠ CDE$是对顶角，
∴$∠ FDA=∠ CDE$，
又
∵$∠ ACB=90°$，旋转后$∠ DCE=∠ ACB=90°$，
在$△ ADF$和$△ EDC$中，根据内角和关系可得$∠ AFD=∠ DCE=90°$，
∴$AB⊥ DE$。
【答案】
(1) $BE$的长为14；
(2) 证明如下：
如图,延长 ED 交 AB 于点 F.
由旋转的性质知,∠FAD = ∠DEC.
∵ ∠FDA = ∠CDE 且∠ACB = 90°,
∴ ∠AFD = ∠DCE = 180° - ∠ACB = 90°.
∴ AB ⊥ DE.

【知识点】
勾股定理；旋转的性质；垂直的判定
【点评】
本题是几何基础应用题，解题核心是熟练掌握旋转的性质，结合勾股定理和三角形内角和的相关规律推导求解，能够考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7