含 $ 30° $ 角的直角三角形的性质
(1)在直角三角形中,如果一个锐角等于 $ 30° $,
那么它所对的直角边等于斜边的 .
(2)在直角三角形中,如果一条直角边等于
斜边的 ,那么这条直角边所对的角
等于 $ 30° $.
课堂探究
典例研习，掌握关键能力

(1) 一半
(2) 一半

【分析】
这道题考查含30°角的直角三角形的性质与逆定理，我们可以通过构造等边三角形的思路推导结论：(1)对于性质，可将两个全等的含30°锐角的直角三角形拼接得到等边三角形，通过等边三角形三边相等的特征推导30°角对的直角边和斜边的关系；(2)对于逆命题，可结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，构造等边三角形推导对应锐角的度数。
【解析】
(1) 取两个全等的含30°锐角的直角三角形，将二者的长直角边拼接，可得到一个内角均为60°的等边三角形，等边三角形的边长等于原直角三角形的斜边长，原30°角所对的短直角边的长度为等边三角形边长的一半，因此30°角所对的直角边等于斜边的一半。
(2) 在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，取斜边的中点，连接直角顶点与斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得斜边中线、该直角边、斜边的一半长度相等，三者构成等边三角形，因此该直角边与斜边的夹角为60°，则这条直角边所对的锐角为90°-60°=30°。
【答案】
(1) 一半；(2) 一半
【知识点】
含30°角直角三角形的性质；含30°角直角三角形的判定
【点评】
本题是对含30°角直角三角形基础性质和判定的考查，二者互为逆命题，应用时都要注意前提是在直角三角形中，该知识点是几何中边角关系换算的常用基础结论，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

【例1】如图，在$△ ABC$中，$D$为$AB$的中点，$DE⊥ AC$于点$E$.$∠ A=30°$，$AB=8$，试求$DE$的长.

规律总结 含$30°$角的直角三角形性质的两种运用
(1)证明：用来证明三角形中线段的倍分问题.
(2)求解：知道$30°$角所对的直角边的长，求斜边的长，或知道斜边的长，求$30°$角所对的直角边的长.

解:在△ABC 中,D 为 AB 的中点,
所以 $AD=\frac{1}{2}AB=4$.
因为 $DE⊥AC$ 于点 E,所以$∠AED=90°$.
因为$∠A=30°$,所以 $DE=\frac{1}{2}AD=2$.

【分析】
解题时首先梳理已知条件：已知AB的长度和D是AB的中点，可先利用中点的性质求出AD的长度；再由DE⊥AC可知△ADE是直角三角形，结合已知∠A=30°，可运用含30°角的直角三角形的性质，即30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DE的长度。
【解析】
解：在△ABC中，D为AB的中点，
所以 $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
因为 $DE⊥AC$ 于点E，所以$∠ AED=90°$，即△ADE是直角三角形。
又因为$∠ A=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得 $DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
$DE=2$
【知识点】
线段中点的定义，含30°角的直角三角形的性质，垂直的定义
【点评】
本题是基础的几何计算题，核心考查含30°角的直角三角形性质的运用，解题时需要先结合中点条件得到直角三角形的斜边长度，再代入性质计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

【变式1】如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2 cm，则△ABC的周长为cm.

24

【分析】
解题时先回忆等边三角形的性质，首先等边三角形三个内角均为60°、三边长度相等；再结合DE⊥AC的条件，得到Rt△ADE，其中∠A=60°，可推出∠ADE=30°，利用含30°角的直角三角形“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质，可先求出AD的长度；再结合D是AB中点的条件，求出等边三角形的边长AB，最后根据等边三角形周长为边长的3倍计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，AB=BC=AC，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠A=30°，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AE=2 cm，
根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：AD=2AE=2×2=4 cm，
∵D是AB的中点，
∴AB=2AD=2×4=8 cm，
∴△ABC的周长为3AB=3×8=24 cm。
【答案】
24
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是将等边三角形的性质和特殊直角三角形的性质结合应用，解题的突破口是通过直角三角形的内角关系得到30°角，进而求出AD的长度，熟练掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.75

【变式2】(厦门模拟)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ ABC=60°,BD$平分$∠ ABC$,若$BD=6$,求$AC$的长.

解:如图,因为在 $Rt△ABC$ 中,$∠C=90°,∠ABC=60°$,BD 平分$∠ABC$,
所以$∠2=∠3=30°,∠1=90°-∠ABC=90°-60°=30°$.
在 $Rt△BCD$ 中,$BD=6$,
所以 $CD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$.
因为$∠1=∠2$,
所以 $DA=DB=6$,所以 $AC=AD+CD=6+3=9$,
所以 $AC$ 的长为 9.

【分析】
本题要求AC的长度，我们可以按以下思路推导：首先根据已知的直角三角形内角和角平分线的定义，先求出各未知角的度数，得到∠A=∠ABD，依据等角对等边可推出AD与BD相等；再在Rt△BCD中利用含30°角的直角三角形的性质求出CD的长度，最后将AD和CD相加即可得到AC的总长度。
【解析】
如图，
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠ABC=60°$，BD平分$∠ABC$，
∴ $∠2=∠3=\frac{1}{2}∠ABC=30°$，$∠A=90°-∠ABC=90°-60°=30°$，
∵ $∠A=∠2$，
∴ $AD=BD=6$，
在$Rt△BCD$中，$∠C=90°$，$∠3=30°$，斜边$BD=6$，
∴ $CD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$，
∴ $AC=AD+CD=6+3=9$。
【答案】
AC的长为9。
【知识点】
角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，主要考察直角三角形相关性质的应用，解题的关键是通过角度推导得到边的等量关系，熟练掌握相关基础性质就能快速得出结果，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

【例2】如图，一艘轮船以每小时25海里的速度从南向北航行，在A处测得灯塔C在北偏西$30°$方向上，轮船航行2 h后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西$60°$方向上。当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，这艘轮船从A处到D处一共航行了多少海里？

解:根据题意可知,$AB=25×2=50$(海里),$∠CAD=30°$,$∠CBD=60°$,$∠CDB=90°$,
所以$∠ACB=∠CBD-∠CAB=60°-30°=30°$.
所以$∠ACB=∠CAB$,
所以 $CB=AB=50$(海里).
在 $Rt△BCD$ 中,$∠BCD=90°-∠CBD=90°-60°=30°$.
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=25$(海里).
所以 $AD=AB+BD=50+25=75$(海里),
所以一共航行了 75 海里.

【分析】
解题时首先根据轮船的航行速度和时间算出AB的长度；再利用三角形外角的性质，求出∠ACB的度数，发现其与∠CAB相等，依据等角对等边即可得到BC和AB相等；接着由D在灯塔C的正东方向可知△BCD是直角三角形，结合∠CBD=60°算出∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度；最后将AB与BD相加，即可得到轮船从A处到D处航行的总路程。
【解析】
解：根据题意可知，轮船2小时航行的路程$AB=25×2=50$（海里），且$∠CAD=30°$，$∠CBD=60°$，$∠CDB=90°$。
根据三角形外角的性质可得：$∠ACB=∠CBD-∠CAB=60°-30°=30°$，
所以$∠ACB=∠CAB$，根据等角对等边可得：$CB=AB=50$（海里）。
在$Rt△BCD$中，$∠BCD=90°-∠CBD=90°-60°=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：$BD=\frac{1}{2}BC=25$（海里）。
所以总路程$AD=AB+BD=50+25=75$（海里）。
【答案】
这艘轮船从A处到D处一共航行了75海里。
【知识点】
等角对等边；含30°角的直角三角形的性质；方位角应用
【点评】
本题结合航行实际场景考查几何性质的综合运用，解题核心是通过角度关系推导等腰三角形，再结合特殊直角三角形的性质求解线段长度，能锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.75