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2. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为5.6 km，则M，C两点间的距离为（
A.2.8 km
B.3.6 km
C.4.6 km
D.5.6 km
A
）A.2.8 km
B.3.6 km
C.4.6 km
D.5.6 km
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先从题目已知条件入手：已知AC与BC互相垂直，可先判断△ABC为直角三角形，且直角顶点为C，AB为斜边；又已知M是AB的中点，要求M、C两点的距离，可联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，直接代入AB的长度即可求出CM的长度。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形，AB为斜边。
∵M是AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线。
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$CM=\frac{1}{2}AB$
代入AB=5.6km，得：
$CM=\frac{1}{2}×5.6=2.8(km)$
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，核心是利用直角三角形的性质求解线段长度，只要熟练掌握相关性质，结合已知条件就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目已知条件入手：已知AC与BC互相垂直，可先判断△ABC为直角三角形，且直角顶点为C，AB为斜边；又已知M是AB的中点，要求M、C两点的距离，可联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，直接代入AB的长度即可求出CM的长度。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形，AB为斜边。
∵M是AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线。
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$CM=\frac{1}{2}AB$
代入AB=5.6km，得：
$CM=\frac{1}{2}×5.6=2.8(km)$
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，核心是利用直角三角形的性质求解线段长度，只要熟练掌握相关性质，结合已知条件就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 具备下列条件的$△ ABC$中，不是直角三角形的是（
A.$∠ A + ∠ B = ∠ C$
B.$∠ A - ∠ B = ∠ C$
C.$∠ A = ∠ B = 3∠ C$
D.$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$
C
）A.$∠ A + ∠ B = ∠ C$
B.$∠ A - ∠ B = ∠ C$
C.$∠ A = ∠ B = 3∠ C$
D.$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 2 : 3$
答案
3. C
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，我们只需要将每个选项给出的角的数量关系代入内角和公式，计算出各角的度数，看是否存在90°的角即可：若存在90°角，则为直角三角形，反之则不是，据此逐个分析选项就能得到答案。
【解析】
已知任意三角形的内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，逐个分析选项：
A选项：由∠A+∠B=∠C，代入内角和公式得：∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形，不符合题意；
B选项：由∠A-∠B=∠C，可得∠A=∠B+∠C，代入内角和公式得：∠A+∠A=180°，解得∠A=90°，因此△ABC是直角三角形，不符合题意；
C选项：由∠A=∠B=3∠C，代入内角和公式得：3∠C+3∠C+∠C=180°，即7∠C=180°，解得∠C=$\frac{180}{7}$°，∠A=∠B=$\frac{540}{7}$°，三个角均不等于90°，因此△ABC不是直角三角形，符合题意；
D选项：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入内角和公式得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，因此∠C=3×30°=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是灵活运用三角形内角和定理，将角的数量关系转化为方程求解，即可快速判断三角形的形状。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，我们只需要将每个选项给出的角的数量关系代入内角和公式，计算出各角的度数，看是否存在90°的角即可：若存在90°角，则为直角三角形，反之则不是，据此逐个分析选项就能得到答案。
【解析】
已知任意三角形的内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，逐个分析选项：
A选项：由∠A+∠B=∠C，代入内角和公式得：∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形，不符合题意；
B选项：由∠A-∠B=∠C，可得∠A=∠B+∠C，代入内角和公式得：∠A+∠A=180°，解得∠A=90°，因此△ABC是直角三角形，不符合题意；
C选项：由∠A=∠B=3∠C，代入内角和公式得：3∠C+3∠C+∠C=180°，即7∠C=180°，解得∠C=$\frac{180}{7}$°，∠A=∠B=$\frac{540}{7}$°，三个角均不等于90°，因此△ABC不是直角三角形，符合题意；
D选项：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，代入内角和公式得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，因此∠C=3×30°=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是灵活运用三角形内角和定理，将角的数量关系转化为方程求解，即可快速判断三角形的形状。
【难度系数】
0.8
4. (南宁模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=3∠A,则∠A=
22.5°
.答案
4. 22.5°
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确已知图形是直角三角形，∠C为直角，根据直角三角形的基本性质，两个锐角的和为90°；再结合题目给出的∠B与∠A的倍数关系，将其代入两锐角和的等式中，通过简单计算就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$，
又
∵ $∠ B = 3∠ A$，
∴ $∠ A + 3∠ A = 90°$，
即$4∠ A = 90°$，
解得：$∠ A = 22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角度计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查直角三角形两锐角互余性质的直接应用，结合已知的角的倍数关系列式计算即可求解，得分难度较低。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先明确已知图形是直角三角形，∠C为直角，根据直角三角形的基本性质，两个锐角的和为90°；再结合题目给出的∠B与∠A的倍数关系，将其代入两锐角和的等式中，通过简单计算就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$，
又
∵ $∠ B = 3∠ A$，
∴ $∠ A + 3∠ A = 90°$，
即$4∠ A = 90°$，
解得：$∠ A = 22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角度计算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查直角三角形两锐角互余性质的直接应用，结合已知的角的倍数关系列式计算即可求解，得分难度较低。
【难度系数】
0.9
5. 一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图,已知$∠ ACB=90°$,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则$CD=$
3
cm.答案
5. 3
解析
【分析】
解题时先根据刻度尺上A、B两点的刻度计算出斜边AB的长度，再结合△ACB是直角三角形、D为AB中点的条件，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
1. 计算AB的长度：由刻度尺读数可知，点A对应刻度为1cm，点B对应刻度为7cm，因此$AB = 7 - 1 = 6\ \mathrm{cm}$。
2. 利用性质计算CD：已知$∠ ACB=90°$，则$△ ACB$为直角三角形，又因为D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
刻度尺读数、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查直角三角形基础性质的应用，解题的关键是准确求出斜边AB的长度，再结合对应性质快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先根据刻度尺上A、B两点的刻度计算出斜边AB的长度，再结合△ACB是直角三角形、D为AB中点的条件，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
1. 计算AB的长度：由刻度尺读数可知，点A对应刻度为1cm，点B对应刻度为7cm，因此$AB = 7 - 1 = 6\ \mathrm{cm}$。
2. 利用性质计算CD：已知$∠ ACB=90°$，则$△ ACB$为直角三角形，又因为D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
刻度尺读数、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查直角三角形基础性质的应用，解题的关键是准确求出斜边AB的长度，再结合对应性质快速求解。
【难度系数】
0.8
6. (深圳模拟)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=60°$.BE平分$∠ ABC$.AD为BC边上的高.若$∠ BEC=75°$,求$∠ DAC$的度数.
答案
6. 解:因为 BE 平分∠ABC,∠ABC=60°,
所以∠ABE=∠EBC=30°.
因为∠BEC=75°,
所以∠C=180°−∠EBC−∠BEC=180°−30°−75°=75°.
因为AD为BC边上的高,
所以∠C+∠DAC=90°,
所以∠DAC=90°−∠C=90°−75°=15°.
所以∠ABE=∠EBC=30°.
因为∠BEC=75°,
所以∠C=180°−∠EBC−∠BEC=180°−30°−75°=75°.
因为AD为BC边上的高,
所以∠C+∠DAC=90°,
所以∠DAC=90°−∠C=90°−75°=15°.
解析
【分析】
要求∠DAC的度数，已知AD是BC边上的高，可知△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余，只需要先求出∠C的度数即可。求∠C时，先利用角平分线的定义，由∠ABC=60°算出∠EBC的度数，再结合△BEC的内角和为180°，已知∠BEC=75°，即可求出∠C的度数，最后代入计算∠DAC即可。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，
∠C = 180° - ∠EBC - ∠BEC = 180° - 30° - 75° = 75°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADC=90°，即△ADC为直角三角形，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 75° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的关键是明确所求角和已知条件的关联，先推导得到∠C的度数，再结合直角三角形的性质计算结果，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
要求∠DAC的度数，已知AD是BC边上的高，可知△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余，只需要先求出∠C的度数即可。求∠C时，先利用角平分线的定义，由∠ABC=60°算出∠EBC的度数，再结合△BEC的内角和为180°，已知∠BEC=75°，即可求出∠C的度数，最后代入计算∠DAC即可。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，
∠C = 180° - ∠EBC - ∠BEC = 180° - 30° - 75° = 75°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADC=90°，即△ADC为直角三角形，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 75° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题的关键是明确所求角和已知条件的关联，先推导得到∠C的度数，再结合直角三角形的性质计算结果，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,D是BC边上的一点,P是AD的中点.若线段AC的垂直平分线经过点D,$DC=8$,则$BP=$（
A.8
B.6
C.4
D.2
C
）A.8
B.6
C.4
D.2
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到点D在AC的垂直平分线上，可利用线段垂直平分线的性质得到AD与DC的等量关系，求出AD的长度；再观察△ABD是直角三角形，P是斜边AD的中点，结合直角三角形斜边上中线的性质，即可求出BP的长度。
【解析】
解：
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=DC，
已知DC=8，
∴AD=8。
又
∵∠ABC=90°，即△ABD是直角三角形，P是AD的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$BP=\frac{1}{2}AD$。
将AD=8代入，得$BP=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是对两个基础几何性质的综合运用，解题关键是先通过垂直平分线的性质求出AD的长度，再结合直角三角形的性质得到BP与AD的数量关系，整体逻辑链条清晰，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先看到点D在AC的垂直平分线上，可利用线段垂直平分线的性质得到AD与DC的等量关系，求出AD的长度；再观察△ABD是直角三角形，P是斜边AD的中点，结合直角三角形斜边上中线的性质，即可求出BP的长度。
【解析】
解：
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=DC，
已知DC=8，
∴AD=8。
又
∵∠ABC=90°，即△ABD是直角三角形，P是AD的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$BP=\frac{1}{2}AD$。
将AD=8代入，得$BP=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是对两个基础几何性质的综合运用，解题关键是先通过垂直平分线的性质求出AD的长度，再结合直角三角形的性质得到BP与AD的数量关系，整体逻辑链条清晰，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=12$,$BC=8$,AD平分$∠ BAC$交BC于点D,E为AC的中点,连接DE,则$△ CDE$的周长是 (
A.20
B.12
C.16
D.13
C
)A.20
B.12
C.16
D.13
答案
8. C
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD平分∠BAC，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC且D是BC的中点，先求出CD的长度；再根据E是AC中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到DE=CE=½AC，最后将△CDE的三条边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，D是BC的中点（等腰三角形三线合一），
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
∵E为AC的中点，在Rt△ADC中，DE是斜边AC的中线，
∴DE = CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6，
∴△CDE的周长 = CD + DE + CE = 4 + 6 + 6 = 16。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是结合等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线的性质推导各线段长度，只要熟练掌握相关性质就能快速求出结果，是对几何基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合AD平分∠BAC，利用等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC且D是BC的中点，先求出CD的长度；再根据E是AC中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到DE=CE=½AC，最后将△CDE的三条边长度相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，D是BC的中点（等腰三角形三线合一），
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
∵E为AC的中点，在Rt△ADC中，DE是斜边AC的中线，
∴DE = CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×12 = 6，
∴△CDE的周长 = CD + DE + CE = 4 + 6 + 6 = 16。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是结合等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线的性质推导各线段长度，只要熟练掌握相关性质就能快速求出结果，是对几何基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$BD$ 平分$∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $D$,$AP$ 平分$∠ BAC$ 交 $BD$ 于点 $P$,则 $∠ APD =$ 
45°
;若 $∠ BDC=58°$,则 $∠ BAP=$ 13°
. 答案
9. 45° 13°
解析
【分析】
本题可结合直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义及三角形外角的性质求解：
1. 求∠APD时，先根据直角三角形两锐角和为90°，结合角平分线定义得到∠BAP与∠ABP的和，再利用三角形外角等于不相邻两内角和即可求出结果；
2. 求∠BAP时，先在Rt△BDC中求出∠DBC的度数，结合角平分线定义得到∠ABC的度数，再在Rt△ABC中求出∠BAC的度数，最后根据角平分线定义求出∠BAP即可。
【解析】
1. 求$∠ APD$的度数：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ BAC + ∠ ABC = 90°$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$AP$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAP = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABP = \frac{1}{2}∠ ABC$，
$\therefore ∠ BAP + ∠ ABP = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
$\because ∠ APD$是$△ ABP$的外角，
$\therefore ∠ APD = ∠ BAP + ∠ ABP = 45°$。
2. 求$∠ BAP$的度数：
在$Rt△ BDC$中，$∠ C=90°$，$∠ BDC=58°$，
$\therefore ∠ DBC = 90° - ∠ BDC = 90° - 58° = 32°$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABC = 2∠ DBC = 2 × 32° = 64°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC = 90° - ∠ ABC = 90° - 64° = 26°$。
$\because AP$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAP = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 26° = 13°$。
【答案】
$45°$；$13°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查角度的计算，解题的核心是熟练运用直角三角形的性质和角平分线的定义进行角度的转化，计算过程要注意理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题可结合直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义及三角形外角的性质求解：
1. 求∠APD时，先根据直角三角形两锐角和为90°，结合角平分线定义得到∠BAP与∠ABP的和，再利用三角形外角等于不相邻两内角和即可求出结果；
2. 求∠BAP时，先在Rt△BDC中求出∠DBC的度数，结合角平分线定义得到∠ABC的度数，再在Rt△ABC中求出∠BAC的度数，最后根据角平分线定义求出∠BAP即可。
【解析】
1. 求$∠ APD$的度数：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ BAC + ∠ ABC = 90°$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$AP$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAP = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABP = \frac{1}{2}∠ ABC$，
$\therefore ∠ BAP + ∠ ABP = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
$\because ∠ APD$是$△ ABP$的外角，
$\therefore ∠ APD = ∠ BAP + ∠ ABP = 45°$。
2. 求$∠ BAP$的度数：
在$Rt△ BDC$中，$∠ C=90°$，$∠ BDC=58°$，
$\therefore ∠ DBC = 90° - ∠ BDC = 90° - 58° = 32°$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABC = 2∠ DBC = 2 × 32° = 64°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC = 90° - ∠ ABC = 90° - 64° = 26°$。
$\because AP$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAP = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 26° = 13°$。
【答案】
$45°$；$13°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查角度的计算，解题的核心是熟练运用直角三角形的性质和角平分线的定义进行角度的转化，计算过程要注意理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,$CD⊥ AB$于点$D$,$BE$平分$∠ ABC$,$BE⊥ AC$于点$E$,与$CD$相交于点$F$,$H$是$BC$边的中点,连接$DH$与$BE$相交于点$G$.有下列结论:①$AE=\frac{1}{2}BF$;②$∠ A=67.5°$;③$△ DGF$是等腰三角形;④$S_{四边形ADGE}=S_{四边形GHCE}$.其中正确的有 (
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
10. B
解析
【分析】我们逐个验证4个结论：首先根据已知的垂直、角平分线等条件，先判断图中的特殊三角形（等腰直角三角形、等腰三角形），再利用全等三角形、三角形内角和、等腰三角形判定等知识分别推导每个结论是否成立。
首先由CD⊥AB，∠ABC=45°得△BDC是等腰直角三角形，BD=CD；BE平分∠ABC且BE⊥AC，可得△ABC是等腰三角形，BA=BC，E是AC中点。再分别对4个结论逐一推导判断即可。
【解析】
1. 推导基础条件：
∵ $CD⊥AB$，$∠ABC=45°$，
∴ $△BDC$是等腰直角三角形，$BD=CD$。
∵ $BE$平分$∠ABC$，$BE⊥AC$，
∴ $△ABC$是等腰三角形，$BA=BC$，E是AC中点，即$AC=2AE$，$∠ABE=∠CBE=22.5°$。
2. 验证结论①：
∵ $∠DBF + ∠BFD = 90°$，$∠DCA + ∠CFE = 90°$，$∠BFD=∠CFE$，
∴ $∠DBF=∠DCA$。
在$△BDF$和$△CDA$中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠CDA=90° \\BD=CD \\∠DBF=∠DCA\end{array} $
∴ $△BDF≌△CDA（ASA）$，
∴ $BF=AC$。
又
∵ $AC=2AE$，
∴ $BF=2AE$，即$AE=\frac{1}{2}BF$，①正确。
3. 验证结论②：
∵ $BA=BC$，$∠ABC=45°$，
∴ $∠A=∠ACB=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，②正确。
4. 验证结论③：
∵ H是BC中点，$△BDC$是等腰直角三角形，
∴ $DH⊥BC$，$∠BHD=90°$。
在$△BGH$中，$∠GBH=22.5°$，
∴ $∠BGH=90°-22.5°=67.5°$，
∴ $∠DGF=∠BGH=67.5°$（对顶角相等）。
在$△BDF$中，$∠DBF=22.5°$，$∠BDF=90°$，
∴ $∠BFD=90°-22.5°=67.5°$，即$∠DFG=67.5°$。
∴ $∠DGF=∠DFG$，
∴ $DG=DF$，$△DGF$是等腰三角形，③正确。
5. 验证结论④：
∵ E是AC中点，
∴ $S_{△ABE}=S_{△CBE}$，但$S_{△BDG}≠S_{四边形DFEC}$，因此$S_{四边形ADGE}=S_{△ABE}-S_{△BDF}-S_{△DGF}$，$S_{四边形GHCE}=S_{△CBE}-S_{△DGF}-S_{△CGH}$，可得$S_{四边形ADGE}≠S_{四边形GHCE}$，④错误。
综上，①②③共3个结论正确。
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】本题综合考查了三角形全等、等腰三角形、直角三角形的相关性质，解题的关键是先挖掘出图中等腰直角三角形、全等三角形等隐含条件，再逐一验证每个结论。
【难度系数】0.6
首先由CD⊥AB，∠ABC=45°得△BDC是等腰直角三角形，BD=CD；BE平分∠ABC且BE⊥AC，可得△ABC是等腰三角形，BA=BC，E是AC中点。再分别对4个结论逐一推导判断即可。
【解析】
1. 推导基础条件：
∵ $CD⊥AB$，$∠ABC=45°$，
∴ $△BDC$是等腰直角三角形，$BD=CD$。
∵ $BE$平分$∠ABC$，$BE⊥AC$，
∴ $△ABC$是等腰三角形，$BA=BC$，E是AC中点，即$AC=2AE$，$∠ABE=∠CBE=22.5°$。
2. 验证结论①：
∵ $∠DBF + ∠BFD = 90°$，$∠DCA + ∠CFE = 90°$，$∠BFD=∠CFE$，
∴ $∠DBF=∠DCA$。
在$△BDF$和$△CDA$中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠CDA=90° \\BD=CD \\∠DBF=∠DCA\end{array} $
∴ $△BDF≌△CDA（ASA）$，
∴ $BF=AC$。
又
∵ $AC=2AE$，
∴ $BF=2AE$，即$AE=\frac{1}{2}BF$，①正确。
3. 验证结论②：
∵ $BA=BC$，$∠ABC=45°$，
∴ $∠A=∠ACB=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$，②正确。
4. 验证结论③：
∵ H是BC中点，$△BDC$是等腰直角三角形，
∴ $DH⊥BC$，$∠BHD=90°$。
在$△BGH$中，$∠GBH=22.5°$，
∴ $∠BGH=90°-22.5°=67.5°$，
∴ $∠DGF=∠BGH=67.5°$（对顶角相等）。
在$△BDF$中，$∠DBF=22.5°$，$∠BDF=90°$，
∴ $∠BFD=90°-22.5°=67.5°$，即$∠DFG=67.5°$。
∴ $∠DGF=∠DFG$，
∴ $DG=DF$，$△DGF$是等腰三角形，③正确。
5. 验证结论④：
∵ E是AC中点，
∴ $S_{△ABE}=S_{△CBE}$，但$S_{△BDG}≠S_{四边形DFEC}$，因此$S_{四边形ADGE}=S_{△ABE}-S_{△BDF}-S_{△DGF}$，$S_{四边形GHCE}=S_{△CBE}-S_{△DGF}-S_{△CGH}$，可得$S_{四边形ADGE}≠S_{四边形GHCE}$，④错误。
综上，①②③共3个结论正确。
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】本题综合考查了三角形全等、等腰三角形、直角三角形的相关性质，解题的关键是先挖掘出图中等腰直角三角形、全等三角形等隐含条件，再逐一验证每个结论。
【难度系数】0.6
