1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=30°$，若$BC=2$，则$AB$边的长为（）

A.1
B.2
C.4
D.6

1. C

【分析】
本题是含30°锐角的直角三角形求边长的基础题，解题思路如下：第一步先明确直角三角形中已知角的位置，确定30°角∠BAC所对的直角边是BC，斜边是AB；第二步回忆含30°角的直角三角形的核心性质：30°角所对的直角边长度是斜边的一半；第三步代入已知边长BC=2，即可计算出斜边AB的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=30°$，
$∠ BAC$所对的直角边为$BC$，斜边为$AB$，
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$
将$BC=2$代入上式，得：
$2=\frac{1}{2}AB$
解得$AB=4$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察含30°角的直角三角形性质的直接运用，解题的关键是准确对应30°角、其所对的直角边和斜边三者的关系，熟练掌握该性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2. 某博览会上有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为$120°$,腰长为12 m,则底边上的高是 ()

A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m

2. B

【分析】
解题思路可分为三步：①先利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，计算出底角的度数为30°；②过顶点作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，将原等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，此时腰长为直角三角形的斜边，底边上的高是30°角所对的直角边；③结合含30°角的直角三角形的性质，即可求出高的长度。
【解析】
解：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，则$AD$为底边上的高。
$\because △ ABC$是等腰三角形，$AB=AC=12\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=\frac{180° - ∠ BAC}{2}=\frac{180° -120°}{2}=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ B=30°$，斜边$AB=12\ \mathrm{m}$，
根据含$30°$角的直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
可得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，将等腰三角形和特殊直角三角形的性质结合考查，解题核心是通过作高构造出含30°角的直角三角形，熟练掌握对应性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$CD$是斜边$AB$上的高，$AD=3$，则$BD$的长是（）

A.12
B.9
C.6
D.3

3. B

【分析】
解题时先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数，再结合CD是高得到Rt△ACD，推出∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形中“30°角所对直角边是斜边一半”的性质求出AC的长度，再回到Rt△ABC中，利用同样的性质求出AB的总长，最后用AB减去AD即可得到BD的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=60°$，
$\because CD$是斜边$AB$上的高，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ ACD=90°-∠ A=30°$，
$\because AD=3$，30°角所对直角边为$AD$，
$\therefore AC=2AD=2×3=6$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=30°$，30°角所对直角边为$AC$，
$\therefore AB=2AC=2×6=12$，
$\therefore BD=AB-AD=12-3=9$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余；2. 含30°角的直角三角形的性质；3. 线段和差计算
【点评】
本题是含30°角直角三角形性质的典型应用考题，需要两次运用该性质推导边长，解题时要找准每个直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，理清各边的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

4. 如图，小明从A处到B处所走的距离AB=4 m，此时，他离地面高度BC=2 m，则∠A的度数是。

4. 30°

【分析】
首先观察图形可知BC是离地面的高度，因此BC垂直于水平地面AC，可得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。已知斜边AB长4m，∠A的对边BC长2m，可发现BC的长度为AB长度的一半，结合含30°角的直角三角形的判定定理，即可直接求出∠A的度数。
【解析】
解：由题意得$BC⊥ AC$，因此$∠ ACB=90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
已知$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=2\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
根据直角三角形的判定定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30°$，
BC是$∠ A$所对的直角边，因此$∠ A=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
含30°角的直角三角形判定，直角三角形的定义
【点评】
本题结合生活场景考查含30°角的直角三角形判定的应用，解题关键是从图形和题干中提取出直角三角形、直角边与斜边的数量关系两个核心信息，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8

5.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=30°$,$BC$的垂直平分线交$AB$于点$E$,垂足为$D$,$CE$平分$∠ ACB$.
(1)求$∠ A$的度数;
(2)若$BE=4$,求$AE$的长.

5. 解:(1)因为 DE 垂直平分 BC,所以 EC=EB.
因为$∠B=30°$,所以$∠ECB=∠B=30°$.
因为 CE 平分$∠ACB$,所以$∠ACB=2∠ECB=60°$,
所以$∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-60°=90°$.
(2)由(1)得,$∠B=∠ECB$,
所以 $CE=BE=4$.
因为$∠A=90°$,$∠ACE=30°$,
所以 $AE=\frac{1}{2}CE=2$.

【分析】
(1) 求解∠A的度数时，先根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，利用等边对等角求出∠ECB的度数，再结合角平分线的定义得出∠ACB的度数，最后根据三角形内角和为180°即可算出∠A的度数；
(2) 求解AE的长度时，先由(1)的结论可得CE=BE=4，再结合∠A=90°、∠ACE=30°，利用含30°角的直角三角形的性质，即30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AE的长。
【解析】
(1)
∵DE垂直平分BC，
∴EC=EB，
∴∠ECB=∠B=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB=2×30°=60°，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=180°-30°-60°=90°。
(2) 由(1)得EC=EB，已知BE=4，
∴CE=BE=4，
∵∠A=90°，∠ACE=30°，
∴在Rt△ACE中，∠ACE所对的直角边AE是斜边CE的一半，
∴AE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
(1) $∠ A=90°$
(2) $AE=2$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考察了多个基础几何性质的应用，解题的关键是理清各性质之间的关联，逐步推导角度和边长关系，这类题型是几何模块的常见基础考题，需熟练掌握对应定理的应用场景。
【难度系数】
0.7

6. 如图，△ABC是等边三角形，AB=10，D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（）

A.5
B.6
C.8
D.10

6. A

【分析】
要计算BE+CF的长度，首先利用等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，BC=AB=10；再结合DE⊥AB、DF⊥AC的垂直条件，可得到两个含30°角的直角三角形△BDE和△CDF，根据含30°角的直角三角形的性质，可将BE、CF分别用BD、CD表示，最后结合BD+CD=BC的线段和关系，整体代入即可求出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=10，
∴∠B=∠C=60°，BC=AB=10。
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE=90°-∠B=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，可得BE=$\frac{1}{2}$BD。
同理，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=90°，∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD。
∴BE+CF=$\frac{1}{2}$BD + $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$(BD+CD) = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×10=5。
【答案】
A
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握特殊三角形的性质，通过将所求线段转化为已知边长的相关表达式，用整体思想计算即可得到结果，无需确定点D的具体位置。
【难度系数】
0.7

7.(南充模拟)如图所示的是某超市入口的双翼闸门示意图,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为7 cm,双翼的边缘AC=BD=80 cm,且与闸机侧立面的夹角∠ACP=∠BDQ=30°,求当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度.

7. 解:如图,过点 A 作 $AE⊥CP$ 于点 E,过点 B 作 $BF⊥DQ$ 于点 F.
因为在 $Rt△ACE$ 中,$∠ACE=30°$,
所以$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×80=40$(cm),
同理可得,$BF=40$ cm,
又因为双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 7 cm,
所以 $40+7+40=87$(cm),
所以当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为 87 cm.

【分析】
要求双翼收起时可通过闸机的物体的最大宽度，本质是求两个闸机箱侧立面之间的距离。我们可以通过作垂直于闸机侧立面的辅助线，构造出含30°角的直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，分别求出AC、BD在垂直于侧立面方向的长度，再加上A、B两点的间距，三者相加即可得到所求的最大宽度。
【解析】
过点A作$AE⊥CP$于点E，过点B作$BF⊥DQ$于点F。
在$Rt△ACE$中，$∠ ACE=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×80=40\ \mathrm{cm}$，
同理可得$BF=40\ \mathrm{cm}$。
已知端点A与B之间的距离为7 cm，因此可通过闸机的物体的最大宽度为：
$AE+AB+BF=40+7+40=87\ \mathrm{cm}$。
【答案】
如图，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为$\boxed{87\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 实际问题几何建模
【点评】
本题结合生活常见的闸机场景命题，将几何知识和生活实际相结合，解题核心是正确作出辅助线，把实际长度计算问题转化为直角三角形的边长求解问题，能有效锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图，$∠ ABC = 60°$，$AB=8$，动点$P$从点$B$出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线$BC$运动。设点$P$的运动时间为$t$ s($t＞0$)，当$△ ABP$为锐角三角形时，$t$的取值范围是________。

$4＜t＜16$

【分析】
要确定△ABP为锐角三角形时t的取值范围，需先找到△ABP为直角三角形的两个临界情况：①∠APB为直角；②∠BAP为直角。分别计算这两种情况下对应的t值，介于两个临界值之间的t即可使△ABP为锐角三角形，解题时可利用含30°角的直角三角形的性质计算线段长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，此时∠ADB=90°，△ABD为直角三角形：
∵∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，此时点P运动到D点的时间$t_1=4÷1=4\ \mathrm{s}$，此时△ABP为直角三角形（∠APB=90°）。
再过点A作AE⊥AB，交射线BC于点E，此时∠BAE=90°，△ABE为直角三角形：
∵∠ABC=60°，
∴∠AEB=30°，
同理可得$BE=2AB=2×8=16$，此时点P运动到E点的时间$t_2=16÷1=16\ \mathrm{s}$，此时△ABP为直角三角形（∠BAP=90°）。
当$t＜4$时，∠APB为钝角，△ABP是钝角三角形；当$t＞16$时，∠BAP为钝角，△ABP是钝角三角形；只有当$4＜t＜16$时，△ABP的三个角均为锐角，为锐角三角形。
【答案】
$4＜t＜16$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；三角形的分类
【点评】
本题解题的核心是先确定直角三角形的两个临界位置，再根据点的运动范围判断锐角三角形对应的区间，解题时要注意点P是沿射线BC运动，不要局限于线段BC上的情况。
【难度系数】
0.6