【例】在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，且$∠ A,∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a,b,c$.
(1)已知$a=3,b=4$，求$c$的长；
(2)已知$c=25,b=24$，求$a$的长；
(3)已知$a=3\sqrt{6},b=4$，求$c$的长；
(4)已知$c=34,a:b=8:15$，求$a,b$的长.

(1) 因为在 $Rt△ABC$ 中，$∠C=90°,a=3,b=4$，所以 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
(2) 因为在 $Rt△ABC$ 中，$∠C=90°,c=25,b=24$，所以 $a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{25^2-24^2}=7$.
(3) 因为在 $Rt△ABC$ 中，$∠C=90°,a=3\sqrt{6},b=4$，所以 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(3\sqrt{6})^2+4^2}=\sqrt{70}$.
(4) 设 $a=8x$,则 $b=15x$. 根据勾股定理,得$(8x)^2+(15x)^2=34^2$，解得 $x=2$ 或 $x=-2$(不符合题意,舍去). 所以 $a=16,b=30$.

【分析】
本题所有小问都在∠C=90°的直角三角形中，核心解题依据是勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$。解题思路分类：(1)(3)已知两条直角边$a、b$，直接用公式变形$c=\sqrt{a^2+b^2}$求斜边；(2)已知斜边$c$和一条直角边$b$，用公式变形$a=\sqrt{c^2-b^2}$求另一条直角边；(4)已知两条直角边的比例和斜边，先根据比例设参数，再代入勾股定理列方程求解，注意边长为正数，需舍去负解。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°,a=3,b=4$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°,c=25,b=24$，由勾股定理得：
$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7$
(3) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°,a=3\sqrt{6},b=4$，由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(3\sqrt{6})^2+4^2}=\sqrt{54+16}=\sqrt{70}$
(4) 设$a=8x$（$x＞0$），则$b=15x$，根据勾股定理得：
$(8x)^2+(15x)^2=34^2$
整理得$64x^2+225x^2=1156$，即$289x^2=1156$，解得$x=2$或$x=-2$（边长为正，舍去负解）
所以$a=8×2=16$，$b=15×2=30$
【答案】
(1)$c=5$；(2)$a=7$；(3)$c=\sqrt{70}$；(4)$a=16,b=30$
【知识点】
勾股定理，方程思想，边长计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，覆盖了勾股定理常见的几类考查形式，熟练掌握勾股定理的公式及变形，遇到比例类条件时灵活设参数即可快速求解。
【难度系数】
0.9

【变式1】(1)直角三角形的两直角边的长是5和12，则第三边的长是；
(2)若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为。

(1) 13
(2) 3或$\sqrt{41}$

【分析】
(1) 题目明确给出两条边是直角边，求第三边（斜边），可直接运用勾股定理计算。(2) 题目仅说明两边长为4和5，未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：第一种是4和5均为直角边，求斜边；第二种是较长边5为斜边，4为直角边，求另一条直角边，避免漏解。
【解析】
(1) 已知直角三角形两直角边长分别为5和12，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，设斜边长为c，则
$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
(2) 分两种情况讨论：
① 当长为4和5的边均为直角边时，第三边为斜边，长度为：
$\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$
② 当长为5的边为斜边，长为4的边为直角边时，第三边为另一条直角边，长度为：
$\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
综上，第三边长为3或$\sqrt{41}$
【答案】
(1) 13；(2) 3或$\sqrt{41}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，易错点为第二问未明确边的类型时容易忽略5为斜边的情况，解题时需仔细审题，全面考虑所有可能的情形，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【变式2】如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$。
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)求线段$CD$的长。

(1) 在 $Rt△ABC$ 中，$∠ACB=90°,BC=3\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，所以 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{cm})$，所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×4×3=6(\mathrm{cm}^2)$.
(2) 在 $Rt△ABC$ 中，$∠ACB=90°,CD⊥AB$ 于点 $D$，所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD=6\ \mathrm{cm}^2$，所以 $\frac{1}{2}×5·CD=6$，解得 $CD=2.4\ \mathrm{cm}$，所以线段 $CD$ 的长为 $2.4\ \mathrm{cm}$.

【分析】
(1) 求Rt△ABC的面积，已知直角边BC和斜边AB的长度，首先需用勾股定理求出另一条直角边AC的长度，再代入直角三角形面积公式（两直角边乘积的一半）计算即可。
(2) 求CD的长度时，CD是斜边AB上的高，同一个三角形的面积固定，既可以用两直角边计算，也可以用斜边和斜边上的高计算，利用等面积法列等式就能求解CD。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4(\mathrm{cm})$
则$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×4×3=6(\mathrm{cm}^2)$
(2) 因为$CD⊥ AB$，所以$△ ABC$的面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，结合(1)中求得的面积可得：
$\frac{1}{2}×5· CD=6$
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $△ ABC$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$；(2) 线段$CD$的长为$2.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题，重点考查直角三角形的相关计算，利用等面积法求斜边上的高是直角三角形中很常用的解题技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

1. 直角三角形两直角边分别为9 cm和12 cm，
则其斜边的长度为 （）

A.8 cm
B.10 cm
C.15 cm
D.18 cm

1. C

【分析】
这道题考查勾股定理的直接应用，解题思路如下：首先明确勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；题目已经给出两条直角边的长度，我们只需将数值代入勾股定理公式，计算出斜边的平方后开算术平方根（因为边长为正数，所以取正根），就能得到斜边长度，再对应选项选择即可。
【解析】
设直角三角形的两条直角边分别为$a=9\mathrm{cm}$，$b=12\mathrm{cm}$，斜边为$c$，根据勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2$
代入数值计算：
$c^2=9^2+12^2=81+144=225$
因为三角形边长为正数，所以$c=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$
因此斜边长度为15cm，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理 2.算术平方根计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，核心考查对勾股定理内容的掌握程度，计算量小，只要熟记勾股定理并准确计算即可得分。
【难度系数】
0.9

2. 如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是（）


A.144
B.194
C.12
D.13

2. A

【分析】
首先观察图形，三个正方形分别对应直角三角形的三条边，正方形的面积等于其边长的平方，因此可结合勾股定理求解：首先确定面积为169的正方形对应的是直角三角形斜边的平方，面积为25的正方形对应其中一条直角边的平方，所求正方形B的面积对应另一条直角边的平方，根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，用斜边对应的正方形面积减去已知直角边对应的正方形面积，即可得到B的面积。
【解析】
设直角三角形的斜边长为c，两条直角边长分别为a、b，其中a为面积是25的正方形的边长，b为正方形B的边长。
根据正方形面积公式可得：$a^2=25$，$c^2=169$，正方形B的面积为$b^2$。
根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，
因此$b^2 = c^2 - a^2 = 169 - 25 = 144$，即正方形B的面积为144。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型基础应用，解题的核心是明确直角三角形三边对应的正方形面积恰好等于三边的平方，直接利用勾股定理的面积关系即可快速计算，无需单独求边长。
【难度系数】
0.8