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6. 我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问：良马何日追及之？”译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里。现驽马出发12天后，良马从同一地点出发沿同一路线追它，问：良马多少天能够追上驽马？
答案
解：设良马x天能够追上驽马。
根据题意列方程，得
240x = 150(x + 12)
去括号，得
240x = 150x + 1800
移项，得
240x - 150x = 1800
合并同类项，得
90x = 1800
系数化为1，得
x = 20
答：良马20天能够追上驽马。
根据题意列方程，得
240x = 150(x + 12)
去括号，得
240x = 150x + 1800
移项，得
240x - 150x = 1800
合并同类项，得
90x = 1800
系数化为1，得
x = 20
答：良马20天能够追上驽马。
解析
【分析】
这是典型的行程追及问题，解题核心是找准等量关系：良马追上驽马时，两匹马行驶的总路程相等。我们可以先设良马x天能够追上驽马，此时良马的行驶路程为“速度×时间”即240x里；驽马先行12天，总行驶时间为(x+12)天，行驶路程为150(x+12)里，根据路程相等的关系列出一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设良马x天能够追上驽马。
根据题意列方程，得
$240x = 150(x + 12)$
去括号，得
$240x = 150x + 1800$
移项，得
$240x - 150x = 1800$
合并同类项，得
$90x = 1800$
系数化为1，得
$x = 20$
答：良马20天能够追上驽马。
【答案】
20天
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；解一元一次方程
【点评】
本题是经典的行程类应用题，解题关键是抓住“追上时二者路程相等”的核心等量关系列方程，既考查了学生提取题干信息、梳理数量关系的能力，也巩固了一元一次方程的求解方法。
【难度系数】
0.8
这是典型的行程追及问题，解题核心是找准等量关系：良马追上驽马时，两匹马行驶的总路程相等。我们可以先设良马x天能够追上驽马，此时良马的行驶路程为“速度×时间”即240x里；驽马先行12天，总行驶时间为(x+12)天，行驶路程为150(x+12)里，根据路程相等的关系列出一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设良马x天能够追上驽马。
根据题意列方程，得
$240x = 150(x + 12)$
去括号，得
$240x = 150x + 1800$
移项，得
$240x - 150x = 1800$
合并同类项，得
$90x = 1800$
系数化为1，得
$x = 20$
答：良马20天能够追上驽马。
【答案】
20天
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；解一元一次方程
【点评】
本题是经典的行程类应用题，解题关键是抓住“追上时二者路程相等”的核心等量关系列方程，既考查了学生提取题干信息、梳理数量关系的能力，也巩固了一元一次方程的求解方法。
【难度系数】
0.8
7. 某轮船在静水中的速度为20 km/h，水流速度为4 km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5 h（不计停留时间）。设甲、乙两码头之间的距离为x km，则可列方程为（）
A.$20x+4x=5$
B.$(20+4)x+(20-4)x=5$
C.$\frac{x}{20}+\frac{x}{4}=5$
D.$\frac{x}{20+4}+\frac{x}{20-4}=5$
A.$20x+4x=5$
B.$(20+4)x+(20-4)x=5$
C.$\frac{x}{20}+\frac{x}{4}=5$
D.$\frac{x}{20+4}+\frac{x}{20-4}=5$
答案
D
解析
【分析】
这是一道流水行船类的一元一次方程应用题，解题时先找核心等量关系：往返总用时=顺流行驶时间+逆流行驶时间。首先回忆流水行船的速度规律：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；再结合行程问题“时间=路程÷速度”的基本公式，分别表示出顺流、逆流的行驶时间，代入等量关系即可列出方程，对应选项得到答案。
【解析】
1. 计算航行速度：
顺流行驶的实际速度 = 静水速度 + 水流速度 = $(20+4)$ km/h
逆流行驶的实际速度 = 静水速度 - 水流速度 = $(20-4)$ km/h
2. 表示两段路程的行驶时间：
已知甲、乙两码头距离为$x$ km，根据“时间=路程÷速度”可得：
顺流从甲到乙的时间为$\frac{x}{20+4}$ h，逆流从乙返回甲的时间为$\frac{x}{20-4}$ h
3. 根据总用时列方程：
往返总用时为5 h，因此两段时间相加等于总用时，可列方程：
$\frac{x}{20+4}+\frac{x}{20-4}=5$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
流水行船速度计算，行程问题基本公式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础常考题，重点考查对流水行船速度规律的掌握，以及行程问题中路程、速度、时间三者关系的运用，理清两个航行阶段的速度、时间关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道流水行船类的一元一次方程应用题，解题时先找核心等量关系：往返总用时=顺流行驶时间+逆流行驶时间。首先回忆流水行船的速度规律：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；再结合行程问题“时间=路程÷速度”的基本公式，分别表示出顺流、逆流的行驶时间，代入等量关系即可列出方程，对应选项得到答案。
【解析】
1. 计算航行速度：
顺流行驶的实际速度 = 静水速度 + 水流速度 = $(20+4)$ km/h
逆流行驶的实际速度 = 静水速度 - 水流速度 = $(20-4)$ km/h
2. 表示两段路程的行驶时间：
已知甲、乙两码头距离为$x$ km，根据“时间=路程÷速度”可得：
顺流从甲到乙的时间为$\frac{x}{20+4}$ h，逆流从乙返回甲的时间为$\frac{x}{20-4}$ h
3. 根据总用时列方程：
往返总用时为5 h，因此两段时间相加等于总用时，可列方程：
$\frac{x}{20+4}+\frac{x}{20-4}=5$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
流水行船速度计算，行程问题基本公式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础常考题，重点考查对流水行船速度规律的掌握，以及行程问题中路程、速度、时间三者关系的运用，理清两个航行阶段的速度、时间关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图,已知A,B两点在数轴上,点A表示的数为-10,原点O到点B的距离是点O到点A的距离的两倍。点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动,点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动(点M,N同时出发),经过几秒,点M,N到原点O的距离相等 （）
A.5 s
B.5 s或4 s
C.5 s或$\frac{15}{2}$ s
D.$\frac{15}{2}$ s
A.5 s
B.5 s或4 s
C.5 s或$\frac{15}{2}$ s
D.$\frac{15}{2}$ s
答案
C
解析
【分析】
首先确定点B表示的数：已知点A表示-10，OA的距离是10，由OB是OA的2倍可得OB=20，结合B在原点右侧，得B表示的数是20。设运动时间为t秒，先分别用含t的式子表示t秒后点M、点N对应的数，再根据两点到原点距离相等列方程。距离相等分两种情况：①两点分别在原点两侧，此时到原点的距离相等即两数互为相反数；②两点重合（在原点同侧），此时两数相等，两点到原点距离自然相等，分别列方程求解即可。
【解析】
第一步：求点B表示的数
∵点A表示的数为-10，
∴$OA=|-10|=10$
∵$OB=2OA$，
∴$OB=2×10=20$
又
∵点B在原点右侧，
∴点B表示的数为20。
第二步：设经过t秒，点M、N到原点O的距离相等
t秒后，点M从A向右运动，对应表示的数为：$-10 + t$，它到原点的距离为$|t - 10|$；
点N从B向左运动，对应表示的数为：$20 - 3t$，它到原点的距离为$|20 - 3t|$。
根据距离相等列方程：$|t - 10| = |20 - 3t|$
分两种情况求解：
情况1：两式相等，即$t - 10 = 20 - 3t$
移项得：$t + 3t = 20 + 10$
合并同类项得：$4t = 30$
解得：$t = \frac{15}{2}$
情况2：两式互为相反数，即$t - 10 = -(20 - 3t)$
去括号得：$t - 10 = -20 + 3t$
移项得：$3t - t = 20 - 10$
合并同类项得：$2t = 10$
解得：$t = 5$
综上，经过5s或$\frac{15}{2}$s时，点M、N到原点O的距离相等。
【答案】
C
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，绝对值的性质
【点评】
本题解题的关键是用含运动时间的式子表示出动点对应的数，同时注意到两点到原点距离相等包含“两点在原点两侧”和“两点重合”两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先确定点B表示的数：已知点A表示-10，OA的距离是10，由OB是OA的2倍可得OB=20，结合B在原点右侧，得B表示的数是20。设运动时间为t秒，先分别用含t的式子表示t秒后点M、点N对应的数，再根据两点到原点距离相等列方程。距离相等分两种情况：①两点分别在原点两侧，此时到原点的距离相等即两数互为相反数；②两点重合（在原点同侧），此时两数相等，两点到原点距离自然相等，分别列方程求解即可。
【解析】
第一步：求点B表示的数
∵点A表示的数为-10，
∴$OA=|-10|=10$
∵$OB=2OA$，
∴$OB=2×10=20$
又
∵点B在原点右侧，
∴点B表示的数为20。
第二步：设经过t秒，点M、N到原点O的距离相等
t秒后，点M从A向右运动，对应表示的数为：$-10 + t$，它到原点的距离为$|t - 10|$；
点N从B向左运动，对应表示的数为：$20 - 3t$，它到原点的距离为$|20 - 3t|$。
根据距离相等列方程：$|t - 10| = |20 - 3t|$
分两种情况求解：
情况1：两式相等，即$t - 10 = 20 - 3t$
移项得：$t + 3t = 20 + 10$
合并同类项得：$4t = 30$
解得：$t = \frac{15}{2}$
情况2：两式互为相反数，即$t - 10 = -(20 - 3t)$
去括号得：$t - 10 = -20 + 3t$
移项得：$3t - t = 20 - 10$
合并同类项得：$2t = 10$
解得：$t = 5$
综上，经过5s或$\frac{15}{2}$s时，点M、N到原点O的距离相等。
【答案】
C
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，绝对值的性质
【点评】
本题解题的关键是用含运动时间的式子表示出动点对应的数，同时注意到两点到原点距离相等包含“两点在原点两侧”和“两点重合”两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图是学习列方程解应用题时，老师板书的问题和两名同学列的正确方程。
根据以上信息，有下列四种说法:①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；②倩倩所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；③兵兵所列方程中的x表示甲、乙两码头之间的路程；④倩倩所列方程中的x表示甲、乙两码头之间的路程。其中正确的是 ()
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
根据以上信息，有下列四种说法:①兵兵所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；②倩倩所列方程中的x表示船在静水中的平均速度；③兵兵所列方程中的x表示甲、乙两码头之间的路程；④倩倩所列方程中的x表示甲、乙两码头之间的路程。其中正确的是 ()
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
B
解析
【分析】首先回忆顺流、逆流行程问题的基本数量关系：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=船在静水中的速度-水流速度，往返甲、乙两码头的总路程相等。接下来分别分析两名同学所列方程的等量关系：兵兵的方程左右两边均为“速度×时间”，对应路程相等，据此判断x的含义；倩倩的方程左边是顺流速度减逆流速度，右边是顺流与逆流的速度差，据此判断x的含义，最后筛选正确说法即可。
【解析】先分析兵兵所列方程$2(x+3)=2.5(x-3)$：
方程左边$2(x+3)$是顺流行驶时间×顺流速度，右边$2.5(x-3)$是逆流行驶时间×逆流速度，等量关系为“顺流行驶路程=逆流行驶路程”，因此这里的$x$表示船在静水中的平均速度，故①正确，③错误。
再分析倩倩所列方程$\frac{x}{2}-\frac{x}{2.5}=3×2$：
$\frac{x}{2}$是总路程÷顺流时间，即顺流速度，$\frac{x}{2.5}$是总路程÷逆流时间，即逆流速度；而顺流速度-逆流速度=(静水速度+3)-(静水速度-3)=6=3×2，等量关系为“顺流速度-逆流速度=6km/h”，因此这里的$x$表示甲、乙两码头之间的路程，故④正确，②错误。
综上，①④正确，答案选B。
【答案】B
【知识点】一元一次方程的应用；顺逆水行程问题
【点评】本题考查行程问题中不同设元方式下的方程列法，解题核心是明确不同等量关系对应的未知量含义，熟练掌握顺流、逆流速度的计算方法即可快速判断。
【难度系数】0.7
【解析】先分析兵兵所列方程$2(x+3)=2.5(x-3)$：
方程左边$2(x+3)$是顺流行驶时间×顺流速度，右边$2.5(x-3)$是逆流行驶时间×逆流速度，等量关系为“顺流行驶路程=逆流行驶路程”，因此这里的$x$表示船在静水中的平均速度，故①正确，③错误。
再分析倩倩所列方程$\frac{x}{2}-\frac{x}{2.5}=3×2$：
$\frac{x}{2}$是总路程÷顺流时间，即顺流速度，$\frac{x}{2.5}$是总路程÷逆流时间，即逆流速度；而顺流速度-逆流速度=(静水速度+3)-(静水速度-3)=6=3×2，等量关系为“顺流速度-逆流速度=6km/h”，因此这里的$x$表示甲、乙两码头之间的路程，故④正确，②错误。
综上，①④正确，答案选B。
【答案】B
【知识点】一元一次方程的应用；顺逆水行程问题
【点评】本题考查行程问题中不同设元方式下的方程列法，解题核心是明确不同等量关系对应的未知量含义，熟练掌握顺流、逆流速度的计算方法即可快速判断。
【难度系数】0.7
