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10. 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”。
探索“折线数轴”
素材1：如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处各折一下，得到一条“折线数轴”。图中点A表示-9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为$\overline{AD}=45$。
素材2：动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动。当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半。当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍。经过点C后立刻恢复初始速度。
问题解决
探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？
探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）。
探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中，若某个时刻满足$\overline{PB}+\overline{PC}=16$，求此时动点P运动的时间。
探索“折线数轴”
素材1：如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处各折一下，得到一条“折线数轴”。图中点A表示-9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为$\overline{AD}=45$。
素材2：动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动。当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半。当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍。经过点C后立刻恢复初始速度。
问题解决
探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？
探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）。
探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中，若某个时刻满足$\overline{PB}+\overline{PC}=16$，求此时动点P运动的时间。
答案
解：
探索1：
点A到点O的距离为$0 - (-9) = 9$，此段速度为2单位/秒，所用时间为$9÷2=4.5$秒。
点O到点B的距离为$12 - 0 = 12$，此段速度为$2×\frac{1}{2}=1$单位/秒，所用时间为$12÷1=12$秒。
总时间为$4.5 + 12 = 16.5$秒。
探索2：
点P运动到点B时总用时16.5秒，当点P在B、C之间时，点P从点B出发后运动的时间为$(t - 16.5)$秒，此段速度为$2×2=4$单位/秒，点P从点B出发后走过的路程为$4(t - 16.5)$。
因此点P表示的数为：
$12 + 4(t - 16.5) = 4t - 54$。
探索3：
点B到点C的友好距离为$24 - 12 = 12$，因此当点P在B、C之间时，$\overline{PB}+\overline{PC}=12≠16$，点P不在B、C之间，分两种情况讨论：
① 当点P在O、B之间时，设点P表示的数为$x$，则$\overline{PB}=12 - x$，$\overline{PC}=\overline{PB}+\overline{BC}=12 - x + 12 = 24 - x$。
列方程：$(12 - x) + (24 - x) = 16$
解得：$x = 10$
点P从点A到表示10的位置总用时：$4.5 + 10÷1 = 14.5$秒。
② 当点P在C、D之间时，设点P表示的数为$y$，则$\overline{PC}=y - 24$，$\overline{PB}=\overline{PC}+\overline{BC}=y - 24 + 12 = y - 12$。
列方程：$(y - 12) + (y - 24) = 16$
解得：$y = 26$
点P从点A运动到点C的总用时为$16.5 + 12÷4 = 19.5$秒，从点C到表示26的位置用时$(26 - 24)÷2 = 1$秒，总用时$19.5 + 1 = 20.5$秒。
答：动点P从点A运动至点B需要16.5秒；运动至点B和点C之间时，点P表示的数为$4t-54$；满足$\overline{PB}+\overline{PC}=16$时，动点P运动的时间为14.5秒或20.5秒。
探索1：
点A到点O的距离为$0 - (-9) = 9$，此段速度为2单位/秒，所用时间为$9÷2=4.5$秒。
点O到点B的距离为$12 - 0 = 12$，此段速度为$2×\frac{1}{2}=1$单位/秒，所用时间为$12÷1=12$秒。
总时间为$4.5 + 12 = 16.5$秒。
探索2：
点P运动到点B时总用时16.5秒，当点P在B、C之间时，点P从点B出发后运动的时间为$(t - 16.5)$秒，此段速度为$2×2=4$单位/秒，点P从点B出发后走过的路程为$4(t - 16.5)$。
因此点P表示的数为：
$12 + 4(t - 16.5) = 4t - 54$。
探索3：
点B到点C的友好距离为$24 - 12 = 12$，因此当点P在B、C之间时，$\overline{PB}+\overline{PC}=12≠16$，点P不在B、C之间，分两种情况讨论：
① 当点P在O、B之间时，设点P表示的数为$x$，则$\overline{PB}=12 - x$，$\overline{PC}=\overline{PB}+\overline{BC}=12 - x + 12 = 24 - x$。
列方程：$(12 - x) + (24 - x) = 16$
解得：$x = 10$
点P从点A到表示10的位置总用时：$4.5 + 10÷1 = 14.5$秒。
② 当点P在C、D之间时，设点P表示的数为$y$，则$\overline{PC}=y - 24$，$\overline{PB}=\overline{PC}+\overline{BC}=y - 24 + 12 = y - 12$。
列方程：$(y - 12) + (y - 24) = 16$
解得：$y = 26$
点P从点A运动到点C的总用时为$16.5 + 12÷4 = 19.5$秒，从点C到表示26的位置用时$(26 - 24)÷2 = 1$秒，总用时$19.5 + 1 = 20.5$秒。
答：动点P从点A运动至点B需要16.5秒；运动至点B和点C之间时，点P表示的数为$4t-54$；满足$\overline{PB}+\overline{PC}=16$时，动点P运动的时间为14.5秒或20.5秒。
解析
【分析】
本题为折线数轴上的动点问题，解题时需按不同路段的速度、距离分段分析：
1. 探索1：先分别计算A到O、O到B的路程和对应速度，根据“时间=路程÷速度”分别求出两段用时，相加即可得到总时间。
2. 探索2：先确定P到达B点的总用时，得到P在B、C之间时的运动时长，再结合BC段的速度算出这段的路程，加上B点对应的数即可得到P表示的数。
3. 探索3：首先B、C之间的距离为12，因此PB+PC=16不可能出现在BC段，分两种情况讨论：①P在O、B之间，用P表示的数写出PB、PC的长度，列方程求解后计算对应时间；②P在C、D之间，同理写出PB、PC的长度并列方程求解，再计算对应时间。
【解析】
探索1
点A到点O的距离为$0 - (-9) = 9$，此段速度为2单位/秒，所用时间为$9÷2=4.5$秒。
点O到点B的距离为$12 - 0 = 12$，此段速度为$2×\frac{1}{2}=1$单位/秒，所用时间为$12÷1=12$秒。
总时间为$4.5 + 12 = 16.5$秒。
探索2
点P运动到点B时总用时16.5秒，当点P在B、C之间时，点P从点B出发后运动的时间为$(t - 16.5)$秒，此段速度为$2×2=4$单位/秒，点P从点B出发后走过的路程为$4(t - 16.5)$。
因此点P表示的数为：
$12 + 4(t - 16.5) = 4t - 54$。
探索3
点B到点C的友好距离为$24 - 12 = 12$，因此当点P在B、C之间时，$\overline{PB}+\overline{PC}=12≠16$，点P不在B、C之间，分两种情况讨论：
① 当点P在O、B之间时，设点P表示的数为$x$，则$\overline{PB}=12 - x$，$\overline{PC}=\overline{PB}+\overline{BC}=12 - x + 12 = 24 - x$。
列方程：$(12 - x) + (24 - x) = 16$
解得：$x = 10$
点P从点A到表示10的位置总用时：$4.5 + 10÷1 = 14.5$秒。
② 当点P在C、D之间时，设点P表示的数为$y$，则$\overline{PC}=y - 24$，$\overline{PB}=\overline{PC}+\overline{BC}=y - 24 + 12 = y - 12$。
列方程：$(y - 12) + (y - 24) = 16$
解得：$y = 26$
点P从点A运动到点C的总用时为$16.5 + 12÷4 = 19.5$秒，从点C到表示26的位置用时$(26 - 24)÷2 = 1$秒，总用时$19.5 + 1 = 20.5$秒。
【答案】
探索1：16.5秒；
探索2：$4t-54$；
探索3：14.5秒或20.5秒。
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，分段行程计算
【点评】
本题结合新型“折线数轴”的定义，考查分段行程问题和分类讨论思想，解题时需先明确不同路段的速度、距离关系，求解距离等量关系时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题为折线数轴上的动点问题，解题时需按不同路段的速度、距离分段分析：
1. 探索1：先分别计算A到O、O到B的路程和对应速度，根据“时间=路程÷速度”分别求出两段用时，相加即可得到总时间。
2. 探索2：先确定P到达B点的总用时，得到P在B、C之间时的运动时长，再结合BC段的速度算出这段的路程，加上B点对应的数即可得到P表示的数。
3. 探索3：首先B、C之间的距离为12，因此PB+PC=16不可能出现在BC段，分两种情况讨论：①P在O、B之间，用P表示的数写出PB、PC的长度，列方程求解后计算对应时间；②P在C、D之间，同理写出PB、PC的长度并列方程求解，再计算对应时间。
【解析】
探索1
点A到点O的距离为$0 - (-9) = 9$，此段速度为2单位/秒，所用时间为$9÷2=4.5$秒。
点O到点B的距离为$12 - 0 = 12$，此段速度为$2×\frac{1}{2}=1$单位/秒，所用时间为$12÷1=12$秒。
总时间为$4.5 + 12 = 16.5$秒。
探索2
点P运动到点B时总用时16.5秒，当点P在B、C之间时，点P从点B出发后运动的时间为$(t - 16.5)$秒，此段速度为$2×2=4$单位/秒，点P从点B出发后走过的路程为$4(t - 16.5)$。
因此点P表示的数为：
$12 + 4(t - 16.5) = 4t - 54$。
探索3
点B到点C的友好距离为$24 - 12 = 12$，因此当点P在B、C之间时，$\overline{PB}+\overline{PC}=12≠16$，点P不在B、C之间，分两种情况讨论：
① 当点P在O、B之间时，设点P表示的数为$x$，则$\overline{PB}=12 - x$，$\overline{PC}=\overline{PB}+\overline{BC}=12 - x + 12 = 24 - x$。
列方程：$(12 - x) + (24 - x) = 16$
解得：$x = 10$
点P从点A到表示10的位置总用时：$4.5 + 10÷1 = 14.5$秒。
② 当点P在C、D之间时，设点P表示的数为$y$，则$\overline{PC}=y - 24$，$\overline{PB}=\overline{PC}+\overline{BC}=y - 24 + 12 = y - 12$。
列方程：$(y - 12) + (y - 24) = 16$
解得：$y = 26$
点P从点A运动到点C的总用时为$16.5 + 12÷4 = 19.5$秒，从点C到表示26的位置用时$(26 - 24)÷2 = 1$秒，总用时$19.5 + 1 = 20.5$秒。
【答案】
探索1：16.5秒；
探索2：$4t-54$；
探索3：14.5秒或20.5秒。
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，分段行程计算
【点评】
本题结合新型“折线数轴”的定义，考查分段行程问题和分类讨论思想，解题时需先明确不同路段的速度、距离关系，求解距离等量关系时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
