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9. 如图,观察数表,横排为行,竖排为列,根据前五行的规律,说明$\frac{11}{7}$这个分数位于第行列。
$\frac{1}{1}$;
$\frac{1}{2},\frac{2}{1}$;
$\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1}$;
$\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}$;
$\frac{1}{5},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\frac{4}{2},\frac{5}{1}$。
$\frac{1}{1}$;
$\frac{1}{2},\frac{2}{1}$;
$\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1}$;
$\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}$;
$\frac{1}{5},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\frac{4}{2},\frac{5}{1}$。
答案
解：观察数表可得规律：
1. 第$n$行的所有分数，分子与分母的和均为$n+1$，且第$n$行共有$n$个分数；
2. 同一行中，第$k$列的分数的分子为$k$。
对于分数$\frac{11}{7}$，分子与分母的和为$11+7=18$，因此它所在的行号为$18-1=17$。
该分数的分子为11，因此它所在的列号为11。
$\frac{11}{7}$这个分数位于第$\boldsymbol{17}$行$\boldsymbol{11}$列。
1. 第$n$行的所有分数，分子与分母的和均为$n+1$，且第$n$行共有$n$个分数；
2. 同一行中，第$k$列的分数的分子为$k$。
对于分数$\frac{11}{7}$，分子与分母的和为$11+7=18$，因此它所在的行号为$18-1=17$。
该分数的分子为11，因此它所在的列号为11。
$\frac{11}{7}$这个分数位于第$\boldsymbol{17}$行$\boldsymbol{11}$列。
解析
【分析】
拿到这道数表规律题，我们可以分三步思考：第一步先观察每行分数的共性，计算每行每个分数的分子与分母的和，对比行号找对应关系；第二步观察每行的分数个数和行号的关系；第三步观察同一行内，分数的分子和它所在的列数的关系。找到规律后，先计算$\frac{11}{7}$的分子分母和，对应求出所在行，再根据分子数值求列数即可。
【解析】
首先观察数表总结规律：
1. 第$n$行的所有分数，分子与分母的和都等于$n+1$，且第$n$行一共有$n$个分数；
2. 同一行中，第$k$列的分数的分子为$k$。
对于分数$\frac{11}{7}$，先计算分子与分母的和：$11+7=18$，根据规律1可得它所在的行号为$18-1=17$；
再看这个分数的分子是11，根据规律2可得它所在的列号为11。
【答案】
17；11
【知识点】
数表规律探究；分数的特征
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察归纳能力，解题核心是先找到每行分数分子分母之和与行号的对应关系，再结合同一行内分子与列数的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.75
拿到这道数表规律题，我们可以分三步思考：第一步先观察每行分数的共性，计算每行每个分数的分子与分母的和，对比行号找对应关系；第二步观察每行的分数个数和行号的关系；第三步观察同一行内，分数的分子和它所在的列数的关系。找到规律后，先计算$\frac{11}{7}$的分子分母和，对应求出所在行，再根据分子数值求列数即可。
【解析】
首先观察数表总结规律：
1. 第$n$行的所有分数，分子与分母的和都等于$n+1$，且第$n$行一共有$n$个分数；
2. 同一行中，第$k$列的分数的分子为$k$。
对于分数$\frac{11}{7}$，先计算分子与分母的和：$11+7=18$，根据规律1可得它所在的行号为$18-1=17$；
再看这个分数的分子是11，根据规律2可得它所在的列号为11。
【答案】
17；11
【知识点】
数表规律探究；分数的特征
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察归纳能力，解题核心是先找到每行分数分子分母之和与行号的对应关系，再结合同一行内分子与列数的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.75
10. 将正整数1,2,3,4,5,6,7,…排成如图所示的数表。
(1)根据表中规律,可以发现数26位于第4行第2列,则数63位于。
(2)求出数表中第n行所有数的和(用含n的式子表示)。
(3)用如图所示的T字形分别框出一行左右相邻的三个数和一列上下相邻的三个数,容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和,分别记为$S_1,S_2$。
①猜想$S_1,S_2$之间的关系为。
②任意平移T字形框的位置,$S_1$与$S_2$之间的关系还成立吗?若成立,请通过计算说明理由;若不成立,请举例说明。
③$S_1,S_2$的和恰好为306时,对应的T字形框里最大的数字位于。
(1)根据表中规律,可以发现数26位于第4行第2列,则数63位于。
(2)求出数表中第n行所有数的和(用含n的式子表示)。
(3)用如图所示的T字形分别框出一行左右相邻的三个数和一列上下相邻的三个数,容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和,分别记为$S_1,S_2$。
①猜想$S_1,S_2$之间的关系为。
②任意平移T字形框的位置,$S_1$与$S_2$之间的关系还成立吗?若成立,请通过计算说明理由;若不成立,请举例说明。
③$S_1,S_2$的和恰好为306时,对应的T字形框里最大的数字位于。
答案
(1) 第8行第7列
(2) $64n-28$
(3) ① $S_2 = S_1 + 6$
③ 第8行第4列
(2) $64n-28$
(3) ① $S_2 = S_1 + 6$
③ 第8行第4列
解析
【分析】
先明确数表核心规律：每行排列8个连续正整数，下一行任意数比上一行同列数大8。(1)求数的位置时，用目标数除以8，根据商和余数即可确定行和列；(2)先推导第n行的首项和末项，利用连续数求和公式计算总和；(3)设横行中间数为未知数，分别表示出S₁、S₂即可推导二者关系，再结合和为306的条件列方程求解，最后判断最大数的位置。
【解析】
(1) 数表每行有8个数，计算得$63÷8=7······7$，说明前7行共有$7×8=56$个数，63是第$7+1=8$行的第7个数，即第8行第7列。
(2) 前$n-1$行共有$8(n-1)$个数，因此第n行第一个数为$8(n-1)+1=8n-7$，第n行最后一个数为$8n$，8个连续数的和为：
$\frac{(8n-7 + 8n)×8}{2}=(16n-7)×4=64n-28$
(3) ① 取示例中数计算：$S_1=10+11+12=33$，$S_2=5+13+21=39$，可得$S_2=S_1+6$。
② 关系仍然成立，理由如下：
设横行三个数的中间数为$x$，则$S_1=(x-1)+x+(x+1)=3x$。
观察数表可知竖列中间数比横行中间数大2，竖列相邻数差为8，因此竖列三个数为$x+2-8=x-6$、$x+2$、$x+2+8=x+10$，则$S_2=(x-6)+(x+2)+(x+10)=3x+6$，因此$S_2=S_1+6$，关系恒成立。
③ 由题意得$S_1+S_2=306$，代入$S_2=S_1+6$得：
$S_1+S_1+6=306$，解得$S_1=150$。
又$S_1=3x=150$，得$x=50$，T字形框中最大数为竖列最下方的数，即$x+10=60$。
计算$60÷8=7······4$，可知60在第$7+1=8$行第4列。
【答案】
(1) 第8行第7列
(2) $64n-28$
(3) ① $S_2 = S_1 + 6$
③ 第8行第4列
【知识点】
数字规律探究，整式的加减，一元一次方程应用
【点评】
本题核心是抓住数表每行数字个数、上下行同列数差值两个基础规律，通过设字母表示未知量推导数量关系，既考查规律观察能力，也锻炼代数式运算、方程应用的能力，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.65
先明确数表核心规律：每行排列8个连续正整数，下一行任意数比上一行同列数大8。(1)求数的位置时，用目标数除以8，根据商和余数即可确定行和列；(2)先推导第n行的首项和末项，利用连续数求和公式计算总和；(3)设横行中间数为未知数，分别表示出S₁、S₂即可推导二者关系，再结合和为306的条件列方程求解，最后判断最大数的位置。
【解析】
(1) 数表每行有8个数，计算得$63÷8=7······7$，说明前7行共有$7×8=56$个数，63是第$7+1=8$行的第7个数，即第8行第7列。
(2) 前$n-1$行共有$8(n-1)$个数，因此第n行第一个数为$8(n-1)+1=8n-7$，第n行最后一个数为$8n$，8个连续数的和为：
$\frac{(8n-7 + 8n)×8}{2}=(16n-7)×4=64n-28$
(3) ① 取示例中数计算：$S_1=10+11+12=33$，$S_2=5+13+21=39$，可得$S_2=S_1+6$。
② 关系仍然成立，理由如下：
设横行三个数的中间数为$x$，则$S_1=(x-1)+x+(x+1)=3x$。
观察数表可知竖列中间数比横行中间数大2，竖列相邻数差为8，因此竖列三个数为$x+2-8=x-6$、$x+2$、$x+2+8=x+10$，则$S_2=(x-6)+(x+2)+(x+10)=3x+6$，因此$S_2=S_1+6$，关系恒成立。
③ 由题意得$S_1+S_2=306$，代入$S_2=S_1+6$得：
$S_1+S_1+6=306$，解得$S_1=150$。
又$S_1=3x=150$，得$x=50$，T字形框中最大数为竖列最下方的数，即$x+10=60$。
计算$60÷8=7······4$，可知60在第$7+1=8$行第4列。
【答案】
(1) 第8行第7列
(2) $64n-28$
(3) ① $S_2 = S_1 + 6$
③ 第8行第4列
【知识点】
数字规律探究，整式的加减，一元一次方程应用
【点评】
本题核心是抓住数表每行数字个数、上下行同列数差值两个基础规律，通过设字母表示未知量推导数量关系，既考查规律观察能力，也锻炼代数式运算、方程应用的能力，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.65
