登录
4. 下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的,其中第①个图形有3颗棋子,第②个图形有9颗棋子,第③个图形有18颗棋子……则第⑥个图形中棋子的颗数为 ()
A.63
B.84
C.108
D.152
A.63
B.84
C.108
D.152
答案
A
解析
【分析】
解决这道题我们可以先从已知的前三个图形的棋子数入手，对比图形序号和棋子数的关系找规律：首先观察到第①个图形棋子数为3，第②个为9，第③个为18，我们可以把每个数拆成3乘一个数的形式：3=3×1，9=3×(1+2)，18=3×(1+2+3)，可以发现第n个图形的棋子数就是3乘前n个正整数的和，找到规律后代入n=6计算即可得到答案。
【解析】
我们先梳理前3个图形的棋子数规律：
第①个图形：$3 = 3×1$
第②个图形：$9 = 3×(1+2)$
第③个图形：$18 = 3×(1+2+3)$
以此类推，第$n$个图形的棋子总数为：
$3×(1+2+3+\dots +n)$
前$n$个正整数的和为$\frac{n(n+1)}{2}$，因此第$n$个图形棋子数可表示为$\frac{3n(n+1)}{2}$。
当$n=6$时，代入得：
$\frac{3×6×(6+1)}{2}=\frac{3×6×7}{2}=63$
【答案】
A
【知识点】
规律探究，有理数运算，代数式求值
【点评】
本题属于常见的图形类规律探索题型，核心是通过观察已知图形的数量特征，归纳出数量与序号的通用规律，再代入求解，解题时可以通过拆分数据、分层统计图形元素的方法更快找到规律。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以先从已知的前三个图形的棋子数入手，对比图形序号和棋子数的关系找规律：首先观察到第①个图形棋子数为3，第②个为9，第③个为18，我们可以把每个数拆成3乘一个数的形式：3=3×1，9=3×(1+2)，18=3×(1+2+3)，可以发现第n个图形的棋子数就是3乘前n个正整数的和，找到规律后代入n=6计算即可得到答案。
【解析】
我们先梳理前3个图形的棋子数规律：
第①个图形：$3 = 3×1$
第②个图形：$9 = 3×(1+2)$
第③个图形：$18 = 3×(1+2+3)$
以此类推，第$n$个图形的棋子总数为：
$3×(1+2+3+\dots +n)$
前$n$个正整数的和为$\frac{n(n+1)}{2}$，因此第$n$个图形棋子数可表示为$\frac{3n(n+1)}{2}$。
当$n=6$时，代入得：
$\frac{3×6×(6+1)}{2}=\frac{3×6×7}{2}=63$
【答案】
A
【知识点】
规律探究，有理数运算，代数式求值
【点评】
本题属于常见的图形类规律探索题型，核心是通过观察已知图形的数量特征，归纳出数量与序号的通用规律，再代入求解，解题时可以通过拆分数据、分层统计图形元素的方法更快找到规律。
【难度系数】
0.7
5. 如图,各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x 的值为 () 
A.181
B.217
C.219
D.199
A.181
B.217
C.219
D.199
答案
D
解析
【分析】
解决这类数字规律题，先分步观察每个固定位置的数字变化规律，再找不同位置数字的运算关系：①先看左上角数字：前3个正方形左上依次为1、2、3，可知左上数字a对应第n个正方形的序号n；②再看右上角数字：依次为1、3、5，可发现右上数字=2a-1；③接着看左下角数字：依次为2、3、4，可知左下数字b=a+1；④最后看右下角数字，对比前3组的运算：第1组2×1-1=1，第2组3×3-2=7，第3组4×5-3=17，可得右下数字=左下×右上-左上。已知右上数字为19，先求出a，再求b，最后代入运算即可得到x的值。
【解析】
1. 推导各位置数字规律：
左上角数字记为a，前3个正方形左上为1、2、3，即a为正方形的序号；
右上角数字：$1=2×1-1$，$3=2×2-1$，$5=2×3-1$，因此右上角数字$=2a-1$；
左下角数字记为b：$2=1+1$，$3=2+1$，$4=3+1$，因此$b=a+1$；
右下角数字：$2×1-1=1$，$3×3-2=7$，$4×5-3=17$，因此右下角数字$=b×$右上角数字$-a$。
2. 代入已知条件计算：
已知右上角数字为19，可得：
$2a - 1 = 19$，解得$a=10$；
则$b = a+1 = 10+1=11$；
因此$x = 11×19 - 10 = 209 - 10 = 199$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探索，有理数四则运算
【点评】
本题需要学生通过观察归纳出固定位置数字的变化规律，以及不同位置数字的运算关系，重点考查观察能力和归纳推理能力，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
解决这类数字规律题，先分步观察每个固定位置的数字变化规律，再找不同位置数字的运算关系：①先看左上角数字：前3个正方形左上依次为1、2、3，可知左上数字a对应第n个正方形的序号n；②再看右上角数字：依次为1、3、5，可发现右上数字=2a-1；③接着看左下角数字：依次为2、3、4，可知左下数字b=a+1；④最后看右下角数字，对比前3组的运算：第1组2×1-1=1，第2组3×3-2=7，第3组4×5-3=17，可得右下数字=左下×右上-左上。已知右上数字为19，先求出a，再求b，最后代入运算即可得到x的值。
【解析】
1. 推导各位置数字规律：
左上角数字记为a，前3个正方形左上为1、2、3，即a为正方形的序号；
右上角数字：$1=2×1-1$，$3=2×2-1$，$5=2×3-1$，因此右上角数字$=2a-1$；
左下角数字记为b：$2=1+1$，$3=2+1$，$4=3+1$，因此$b=a+1$；
右下角数字：$2×1-1=1$，$3×3-2=7$，$4×5-3=17$，因此右下角数字$=b×$右上角数字$-a$。
2. 代入已知条件计算：
已知右上角数字为19，可得：
$2a - 1 = 19$，解得$a=10$；
则$b = a+1 = 10+1=11$；
因此$x = 11×19 - 10 = 209 - 10 = 199$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探索，有理数四则运算
【点评】
本题需要学生通过观察归纳出固定位置数字的变化规律，以及不同位置数字的运算关系，重点考查观察能力和归纳推理能力，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
6. 观察一列单项式：$x, -3x^3, 7x^5, -15x^7, 31x^9, \dots$则第n个单项式是。
答案
解：
分别分析单项式的三部分规律：
1. 符号规律：奇数项为正，偶数项为负，可用$(-1)^{n+1}$表示符号；
2. 系数的绝对值规律：第1项绝对值$1=2^1-1$，第2项绝对值$3=2^2-1$，第3项绝对值$7=2^3-1$，……，可得第n项的系数绝对值为$2^n -1$；
3. $x$的指数规律：第1项指数$1=2×1-1$，第2项指数$3=2×2-1$，第3项指数$5=2×3-1$，……，可得第n项$x$的指数为$2n-1$。
综上，第n个单项式是$\boldsymbol{(-1)^{n+1}(2^n -1)x^{2n-1}}$。
分别分析单项式的三部分规律：
1. 符号规律：奇数项为正，偶数项为负，可用$(-1)^{n+1}$表示符号；
2. 系数的绝对值规律：第1项绝对值$1=2^1-1$，第2项绝对值$3=2^2-1$，第3项绝对值$7=2^3-1$，……，可得第n项的系数绝对值为$2^n -1$；
3. $x$的指数规律：第1项指数$1=2×1-1$，第2项指数$3=2×2-1$，第3项指数$5=2×3-1$，……，可得第n项$x$的指数为$2n-1$。
综上，第n个单项式是$\boldsymbol{(-1)^{n+1}(2^n -1)x^{2n-1}}$。
解析
【分析】
要探究这列单项式的第n项，我们可以把单项式拆分为符号、系数的绝对值、x的指数三个独立部分分别找规律，再整合得到最终表达式。首先观察符号的变化规律：奇数项为正，偶数项为负，是正负交替的；再看系数的绝对值：1、3、7、15、31，每一个数都等于对应项数的2的幂减1；最后看x的指数：1、3、5、7、9，都是连续的奇数，和项数n存在2n-1的对应关系，将三部分规律合并即可得到结果。
【解析】
我们分三部分分析第n个单项式的构成：
1. 符号规律：第1个单项式为正，第2个为负，第3个为正，以此类推，奇数项符号为正、偶数项符号为负，可用$(-1)^{n+1}$表示第n项的符号；
2. 系数的绝对值规律：第1项系数绝对值$1=2^1-1$，第2项系数绝对值$3=2^2-1$，第3项系数绝对值$7=2^3-1$，第4项系数绝对值$15=2^4-1$……据此可得第n项的系数绝对值为$2^n -1$；
3. x的指数规律：第1项x的指数$1=2×1-1$，第2项x的指数$3=2×2-1$，第3项x的指数$5=2×3-1$……据此可得第n项x的指数为$2n-1$。
将三部分规律结合，得到第n个单项式为$(-1)^{n+1}(2^n -1)x^{2n-1}$。
【答案】
$(-1)^{n+1}(2^n -1)x^{2n-1}$
【知识点】
探索数字规律；单项式的构成；列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题的关键是将单项式的构成要素拆分后分别分析规律，降低思考难度，能很好地考查学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
要探究这列单项式的第n项，我们可以把单项式拆分为符号、系数的绝对值、x的指数三个独立部分分别找规律，再整合得到最终表达式。首先观察符号的变化规律：奇数项为正，偶数项为负，是正负交替的；再看系数的绝对值：1、3、7、15、31，每一个数都等于对应项数的2的幂减1；最后看x的指数：1、3、5、7、9，都是连续的奇数，和项数n存在2n-1的对应关系，将三部分规律合并即可得到结果。
【解析】
我们分三部分分析第n个单项式的构成：
1. 符号规律：第1个单项式为正，第2个为负，第3个为正，以此类推，奇数项符号为正、偶数项符号为负，可用$(-1)^{n+1}$表示第n项的符号；
2. 系数的绝对值规律：第1项系数绝对值$1=2^1-1$，第2项系数绝对值$3=2^2-1$，第3项系数绝对值$7=2^3-1$，第4项系数绝对值$15=2^4-1$……据此可得第n项的系数绝对值为$2^n -1$；
3. x的指数规律：第1项x的指数$1=2×1-1$，第2项x的指数$3=2×2-1$，第3项x的指数$5=2×3-1$……据此可得第n项x的指数为$2n-1$。
将三部分规律结合，得到第n个单项式为$(-1)^{n+1}(2^n -1)x^{2n-1}$。
【答案】
$(-1)^{n+1}(2^n -1)x^{2n-1}$
【知识点】
探索数字规律；单项式的构成；列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题的关键是将单项式的构成要素拆分后分别分析规律，降低思考难度，能很好地考查学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65
7. a是不为2的有理数，我们把$\frac{2}{2-a}$称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是$\frac{2}{2-3}=-2$，-2的“哈利数”是$\frac{2}{2-(-2)}=\frac{1}{2}$。已知$a_1=3$，$a_2$是$a_1$的“哈利数”，$a_3$是$a_2$的“哈利数”，$a_4$是$a_3$的“哈利数”……依此类推，则$a_{2023}$的值为（）
A.3
B.-2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{4}{3}$
A.3
B.-2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
C
解析
【分析】
本题是结合新定义的规律探究题，解题思路可分为三步：首先理解“哈利数”的新定义运算规则；其次依次计算前几项的数值，观察数列的循环规律，确定周期；最后用所求项数2023除以周期，根据余数对应到周期内的数值，即可得到结果。
【解析】
已知$a_1=3$，根据“哈利数”的定义$\frac{2}{2-a}$依次计算：
$a_2=\frac{2}{2-a_1}=\frac{2}{2-3}=-2$
$a_3=\frac{2}{2-a_2}=\frac{2}{2-(-2)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$a_4=\frac{2}{2-a_3}=\frac{2}{2-\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$
$a_5=\frac{2}{2-a_4}=\frac{2}{2-\frac{4}{3}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3$
可发现$a_5=a_1$，即数列每4个数为一个周期循环，周期为4，循环序列为$3、-2、\frac{1}{2}、\frac{4}{3}$。
计算2023除以周期4的余数：$2023÷4=505······3$，余数为3，说明$a_{2023}$对应周期内的第3个数，即$a_{2023}=a_3=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算；数字规律探究；周期计算
【点评】
本题结合新定义考察规律探索能力，解题关键是先按规则计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期性质求解对应项，计算时注意运算准确性即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题是结合新定义的规律探究题，解题思路可分为三步：首先理解“哈利数”的新定义运算规则；其次依次计算前几项的数值，观察数列的循环规律，确定周期；最后用所求项数2023除以周期，根据余数对应到周期内的数值，即可得到结果。
【解析】
已知$a_1=3$，根据“哈利数”的定义$\frac{2}{2-a}$依次计算：
$a_2=\frac{2}{2-a_1}=\frac{2}{2-3}=-2$
$a_3=\frac{2}{2-a_2}=\frac{2}{2-(-2)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$a_4=\frac{2}{2-a_3}=\frac{2}{2-\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$
$a_5=\frac{2}{2-a_4}=\frac{2}{2-\frac{4}{3}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3$
可发现$a_5=a_1$，即数列每4个数为一个周期循环，周期为4，循环序列为$3、-2、\frac{1}{2}、\frac{4}{3}$。
计算2023除以周期4的余数：$2023÷4=505······3$，余数为3，说明$a_{2023}$对应周期内的第3个数，即$a_{2023}=a_3=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算；数字规律探究；周期计算
【点评】
本题结合新定义考察规律探索能力，解题关键是先按规则计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期性质求解对应项，计算时注意运算准确性即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
8. 如图,将形状大小完全相同的★按照一定的规律摆成下列图形,图①中★的个数为$a_1$,图②中★的个数为$a_2$,图③中★的个数为$a_3$……依此类推,第$n$幅图中★的个数为$a_n$,则$\frac{n}{a_1}+\frac{n}{a_2}+\frac{n}{a_3}+\dots+\frac{n}{a_{2023}}$的值为 ()
A.$\frac{2023n}{2024}$
B.$\frac{2022n}{2023}$
C.$\frac{2023}{2024}$
D.$\frac{2022}{2023}$
A.$\frac{2023n}{2024}$
B.$\frac{2022n}{2023}$
C.$\frac{2023}{2024}$
D.$\frac{2022}{2023}$
答案
A
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步先找图形中★个数的规律，观察可得图①★数为1×2，图②为2×3，图③为3×4，由此推出第n个图的★数$a_n=n(n+1)$；第二步对所求的求和式用裂项拆分的方法化简，每一项$\frac{n}{a_k}$可拆成$n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$，累加后中间项相互抵消，即可快速算出结果。
【解析】
1. 推导$a_n$的表达式：
观察图形计数：
$a_1=2=1×2$，
$a_2=6=2×3$，
$a_3=12=3×4$，
$a_4=20=4×5$，
……
归纳可得规律：$a_n=n(n+1)$。
2. 拆分求和项：
$\frac{n}{a_k}=\frac{n}{k(k+1)}=n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$。
3. 累加计算：
$\frac{n}{a_1}+\frac{n}{a_2}+\frac{n}{a_3}+\dots+\frac{n}{a_{2023}}$
$=n[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024})]$
中间项全部抵消，剩余：
$=n(1-\frac{1}{2024})=\frac{2023n}{2024}$。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，裂项相消求和，代数式化简
【点评】
本题是规律探究与简便计算结合的典型题型，解题核心是先准确归纳出图形数量的通项公式，再用裂项法简化求和过程，能有效锻炼学生的观察归纳能力和运算技巧。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：第一步先找图形中★个数的规律，观察可得图①★数为1×2，图②为2×3，图③为3×4，由此推出第n个图的★数$a_n=n(n+1)$；第二步对所求的求和式用裂项拆分的方法化简，每一项$\frac{n}{a_k}$可拆成$n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$，累加后中间项相互抵消，即可快速算出结果。
【解析】
1. 推导$a_n$的表达式：
观察图形计数：
$a_1=2=1×2$，
$a_2=6=2×3$，
$a_3=12=3×4$，
$a_4=20=4×5$，
……
归纳可得规律：$a_n=n(n+1)$。
2. 拆分求和项：
$\frac{n}{a_k}=\frac{n}{k(k+1)}=n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$。
3. 累加计算：
$\frac{n}{a_1}+\frac{n}{a_2}+\frac{n}{a_3}+\dots+\frac{n}{a_{2023}}$
$=n[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024})]$
中间项全部抵消，剩余：
$=n(1-\frac{1}{2024})=\frac{2023n}{2024}$。
【答案】
A
【知识点】
图形规律探究，裂项相消求和，代数式化简
【点评】
本题是规律探究与简便计算结合的典型题型，解题核心是先准确归纳出图形数量的通项公式，再用裂项法简化求和过程，能有效锻炼学生的观察归纳能力和运算技巧。
【难度系数】
0.7
