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1.任意写出一个两位数，满足十位数字比个位数字大2；然后交换十位数字与个位数字，得到一个新的两位数；最后用其中较大的两位数减去较小的两位数。则这个差是（）
A.16
B.17
C.18
D.19
A.16
B.17
C.18
D.19
答案
C
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：思路一（特例法），先任意写出一个满足“十位数字比个位数字大2”的两位数，比如31、42等，交换数位后计算两数的差即可快速得到结果；思路二（代数推导法），先设个位数字为a，根据题意表示出十位数字，再结合“两位数=十位数字×10+个位数字”分别写出原数和交换后的新数，用较大数减较小数化简后就能得到固定差值。
【解析】
方法1：代数推导法
设这个两位数的个位数字为a，则十位数字为$a+2$（a为整数，且$0≤a≤7$，保证十位数字不大于9）。
原两位数为：$10(a+2) + a = 10a + 20 + a = 11a + 20$
交换数位后的新两位数为：$10a + (a+2) = 11a + 2$
因为$11a+20 ＞ 11a+2$，所以两数的差为：
$\begin{split}&(11a + 20) - (11a + 2)\\=&11a + 20 - 11a - 2\\=&18\end{split}$
方法2：特例验证法
取符合条件的两位数31，交换数位后得到13，两数的差为$31 - 13 = 18$；
再取符合条件的两位数53，交换数位后得到35，两数的差为$53 - 35 = 18$，可验证差恒为18。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
代数式表示数，整式的加减运算，数字规律探究
【点评】
本题考查数字类规律的探究，解题核心是掌握两位数的表示方法，既可以通过举特例快速验证得到答案，也可以通过列代数式化简推导得到通用结论，属于规律探究类的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题可从两种思路入手：思路一（特例法），先任意写出一个满足“十位数字比个位数字大2”的两位数，比如31、42等，交换数位后计算两数的差即可快速得到结果；思路二（代数推导法），先设个位数字为a，根据题意表示出十位数字，再结合“两位数=十位数字×10+个位数字”分别写出原数和交换后的新数，用较大数减较小数化简后就能得到固定差值。
【解析】
方法1：代数推导法
设这个两位数的个位数字为a，则十位数字为$a+2$（a为整数，且$0≤a≤7$，保证十位数字不大于9）。
原两位数为：$10(a+2) + a = 10a + 20 + a = 11a + 20$
交换数位后的新两位数为：$10a + (a+2) = 11a + 2$
因为$11a+20 ＞ 11a+2$，所以两数的差为：
$\begin{split}&(11a + 20) - (11a + 2)\\=&11a + 20 - 11a - 2\\=&18\end{split}$
方法2：特例验证法
取符合条件的两位数31，交换数位后得到13，两数的差为$31 - 13 = 18$；
再取符合条件的两位数53，交换数位后得到35，两数的差为$53 - 35 = 18$，可验证差恒为18。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
代数式表示数，整式的加减运算，数字规律探究
【点评】
本题考查数字类规律的探究，解题核心是掌握两位数的表示方法，既可以通过举特例快速验证得到答案，也可以通过列代数式化简推导得到通用结论，属于规律探究类的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 小明和小红玩猜数字游戏,小明说:“你随便选定三个一位数,按下列步骤进行计算:①把第一个数字乘2;②加上5;③把所得的和乘5;④加上第二个数字;⑤再把所得的和乘10;⑥再加上第三个数字。只要你告诉我最后的得数,我就知道你所选的三个一位数。”若小红告诉小明最后得到的结果是846,则小红所报的第二个数字是 ()
A.4
B.6
C.8
D.9
A.4
B.6
C.8
D.9
答案
D
解析
【分析】
我们可以先设三个一位数分别为第一个数$x$、第二个数$y$、第三个数$z$，再按照题目给出的6步计算顺序，逐步列出对应的代数式并化简，找到最终得数和$x,y,z$的对应关系，再代入已知的最终结果846，就能求出第二个数字的值。
【解析】
设小红选的第一个一位数为$x$，第二个为$y$，第三个为$z$（$x,y,z$均为0到9的整数），按步骤计算如下：
①第一步：$2x$
②第二步：$2x+5$
③第三步：$5×(2x+5)=10x+25$
④第四步：$10x+25+y$
⑤第五步：$10×(10x+25+y)=100x+250+10y$
⑥第六步：$100x+250+10y+z$
已知最终结果为846，列等式：
$100x+10y+z+250=846$
移项计算得：$100x+10y+z=846-250=596$
三位数$596$中，百位对应$x$，十位对应$y$，个位对应$z$，因此$y=9$，即第二个数字是9。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；代数式化简；数字规律探索
【点评】
本题核心是将文字描述的运算步骤转化为代数式，通过化简找到最终结果和原三个一位数的数位对应关系，解题时要注意运算顺序不要出错，掌握整数的数位表示是解题关键。
【难度系数】
0.7
我们可以先设三个一位数分别为第一个数$x$、第二个数$y$、第三个数$z$，再按照题目给出的6步计算顺序，逐步列出对应的代数式并化简，找到最终得数和$x,y,z$的对应关系，再代入已知的最终结果846，就能求出第二个数字的值。
【解析】
设小红选的第一个一位数为$x$，第二个为$y$，第三个为$z$（$x,y,z$均为0到9的整数），按步骤计算如下：
①第一步：$2x$
②第二步：$2x+5$
③第三步：$5×(2x+5)=10x+25$
④第四步：$10x+25+y$
⑤第五步：$10×(10x+25+y)=100x+250+10y$
⑥第六步：$100x+250+10y+z$
已知最终结果为846，列等式：
$100x+10y+z+250=846$
移项计算得：$100x+10y+z=846-250=596$
三位数$596$中，百位对应$x$，十位对应$y$，个位对应$z$，因此$y=9$，即第二个数字是9。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；代数式化简；数字规律探索
【点评】
本题核心是将文字描述的运算步骤转化为代数式，通过化简找到最终结果和原三个一位数的数位对应关系，解题时要注意运算顺序不要出错，掌握整数的数位表示是解题关键。
【难度系数】
0.7
3. 英语字母表中的字母排列顺序是$a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z$。若尾字母$z$的后面又接上首字母$a$,则可将26个字母排成一个循环圆圈。现给定一个破译密码“$x+3$”(其中$x$代表字母表中的任意一个字母,$+3$表示将该字母换成向后移动3位所得到的字母),就可以将“暗语”破译成“明语”,如“暗语”$vbp$可通过破译密码“$x+3$”破译成“明语”$yes$,则利用该破译密码对“暗语”$qbxzebo$破译正确的是 ()
A.$tuesday$
B.$subject$
C.$teacher$
D.$twelfth$
A.$tuesday$
B.$subject$
C.$teacher$
D.$twelfth$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确破译规则：每个暗语字母向后移动3位，若遇到z则后续接a循环转换。我们可以逐位对暗语“qbxzebo”的每个字母按规则转换，最后将转换后的字母组合，和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据破译规则“x+3”，逐位转换暗语字母：
1. 第1个字母q：向后移3位，依次经过r、s，得到t；
2. 第2个字母b：向后移3位，依次经过c、d，得到e；
3. 第3个字母x：向后移3位，依次经过y、z，循环后得到a；
4. 第4个字母z：向后移3位，依次经过a、b，循环后得到c；
5. 第5个字母e：向后移3位，依次经过f、g，得到h；
6. 第6个字母b：向后移3位，依次经过c、d，得到e；
7. 第7个字母o：向后移3位，依次经过p、q，得到r。
将转换后的字母组合得到“teacher”，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
规律探究，周期问题，字母换算
【点评】
本题结合密码破译的趣味情境，考查学生对规律的理解与应用能力，解题时只需按规则逐位转换，细心处理循环情况即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确破译规则：每个暗语字母向后移动3位，若遇到z则后续接a循环转换。我们可以逐位对暗语“qbxzebo”的每个字母按规则转换，最后将转换后的字母组合，和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据破译规则“x+3”，逐位转换暗语字母：
1. 第1个字母q：向后移3位，依次经过r、s，得到t；
2. 第2个字母b：向后移3位，依次经过c、d，得到e；
3. 第3个字母x：向后移3位，依次经过y、z，循环后得到a；
4. 第4个字母z：向后移3位，依次经过a、b，循环后得到c；
5. 第5个字母e：向后移3位，依次经过f、g，得到h；
6. 第6个字母b：向后移3位，依次经过c、d，得到e；
7. 第7个字母o：向后移3位，依次经过p、q，得到r。
将转换后的字母组合得到“teacher”，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
规律探究，周期问题，字母换算
【点评】
本题结合密码破译的趣味情境，考查学生对规律的理解与应用能力，解题时只需按规则逐位转换，细心处理循环情况即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
4. 下面我们来玩一种数字游戏,操作步骤如下:第一步,任意写出一个自然数(以下称为原数);第二步,再写一个新的三位数,它的百位数字是原数中各数位上偶数数字的个数,十位数字是原数中各数位上奇数数字的个数,个位数字是原数的位数;以下每一步,都对上一步得到的数按照第二步的规则继续操作,直至这个数不再变化为止。不管你开始写的是一个什么数,几步之后变成的自然数总是相同的,最后这个总是相同的数就称为“黑洞数”。请你以2019为例尝试一下:第一步写出2019,第二步之后变为……所以这个数字游戏的“黑洞数”是 ()
A.123
B.213
C.303
D.404
A.123
B.213
C.303
D.404
答案
A
解析
【分析】
解题首先要明确题目给出的操作规则：每次生成的新三位数，百位是前一个数中偶数数字的总个数，十位是前一个数中奇数数字的总个数，个位是前一个数的位数。我们只需从给定的原数2019开始，严格按照规则逐步计算，直到得到的数重复不再变化，这个不变的数就是所求的黑洞数。
【解析】
我们以2019为原数逐步计算：
1. 处理原数2019：
数字为2、0、1、9，其中偶数数字是2、0，共2个；奇数数字是1、9，共2个；原数是4位数。
所以第二步得到的数是：百位2，十位2，个位4，即224。
2. 处理224：
数字为2、2、4，全是偶数，共3个；奇数数字共0个；224是3位数。
所以得到新数：百位3，十位0，个位3，即303。
3. 处理303：
数字为3、0、3，其中偶数数字是0，共1个；奇数数字是3、3，共2个；303是3位数。
所以得到新数：百位1，十位2，个位3，即123。
4. 处理123：
数字为1、2、3，其中偶数数字是2，共1个；奇数数字是1、3，共2个；123是3位数。
得到的新数还是123，和原数相同，不再变化。
因此这个数字游戏的黑洞数是123。
【答案】
A
【知识点】
数字规律探究；奇数与偶数的定义
【点评】
本题属于新定义类的规律探索题，核心是准确理解题目给定的操作规则，按步骤逐步运算即可得到结果，主要考查学生的审题能力和基础运算的细心程度。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确题目给出的操作规则：每次生成的新三位数，百位是前一个数中偶数数字的总个数，十位是前一个数中奇数数字的总个数，个位是前一个数的位数。我们只需从给定的原数2019开始，严格按照规则逐步计算，直到得到的数重复不再变化，这个不变的数就是所求的黑洞数。
【解析】
我们以2019为原数逐步计算：
1. 处理原数2019：
数字为2、0、1、9，其中偶数数字是2、0，共2个；奇数数字是1、9，共2个；原数是4位数。
所以第二步得到的数是：百位2，十位2，个位4，即224。
2. 处理224：
数字为2、2、4，全是偶数，共3个；奇数数字共0个；224是3位数。
所以得到新数：百位3，十位0，个位3，即303。
3. 处理303：
数字为3、0、3，其中偶数数字是0，共1个；奇数数字是3、3，共2个；303是3位数。
所以得到新数：百位1，十位2，个位3，即123。
4. 处理123：
数字为1、2、3，其中偶数数字是2，共1个；奇数数字是1、3，共2个；123是3位数。
得到的新数还是123，和原数相同，不再变化。
因此这个数字游戏的黑洞数是123。
【答案】
A
【知识点】
数字规律探究；奇数与偶数的定义
【点评】
本题属于新定义类的规律探索题，核心是准确理解题目给定的操作规则，按步骤逐步运算即可得到结果，主要考查学生的审题能力和基础运算的细心程度。
【难度系数】
0.8
5. 有这么一个数字游戏：
第一步:取一个自然数$n_1=8$,计算$n_1^2+1$,得$a_1$;
第二步:算出$a_1$的各位数字之和,得$n_2$,计算$n_2^2+1$,得$a_2$;
第三步:算出$a_2$的各位数字之和,得$n_3$,再计算$n_3^2+1$,得$a_3$。
依此类推,则$a_{2021}$的值为 （）
A.8
B.65
C.122
D.26
第一步:取一个自然数$n_1=8$,计算$n_1^2+1$,得$a_1$;
第二步:算出$a_1$的各位数字之和,得$n_2$,计算$n_2^2+1$,得$a_2$;
第三步:算出$a_2$的各位数字之和,得$n_3$,再计算$n_3^2+1$,得$a_3$。
依此类推,则$a_{2021}$的值为 （）
A.8
B.65
C.122
D.26
答案
C
解析
【分析】
这是一道数字规律探索题，由于所求的a₂₀₂₁序号很大，不可能逐项计算，因此解题思路是先按照题目给出的规则计算前几项的值，找到数字的循环周期，再用总序号除以周期，根据余数确定a₂₀₂₁对应的周期内的数值即可。
【解析】
第一步：计算前几项找规律
已知n₁=8，
$a_1 = n_1^2 + 1 = 8^2 + 1 = 65$；
a₁的各位数字之和为$6+5=11$，即$n_2=11$，
$a_2 = n_2^2 + 1 = 11^2 + 1 = 122$；
a₂的各位数字之和为$1+2+2=5$，即$n_3=5$，
$a_3 = n_3^2 + 1 = 5^2 + 1 = 26$；
a₃的各位数字之和为$2+6=8$，即$n_4=8$，
$a_4 = 8^2 + 1 = 65$，和$a_1$相等。
第二步：确定循环周期
可发现数列$a_n$的周期为3，周期内的数依次为：65、122、26，循环出现。
第三步：计算余数确定结果
$2021 ÷ 3 = 673……2$，即余数为2，对应周期内的第2个数，也就是122。
【答案】
C
【知识点】
探索数字规律，周期循环问题，有理数混合运算
【点评】
本题核心考查对数字变化规律的探索能力，解题关键是通过计算前几项找到循环周期，再结合余数定位所求项，计算过程难度较低，只要细心运算就能找到规律得到正确结果。
【难度系数】
0.7
这是一道数字规律探索题，由于所求的a₂₀₂₁序号很大，不可能逐项计算，因此解题思路是先按照题目给出的规则计算前几项的值，找到数字的循环周期，再用总序号除以周期，根据余数确定a₂₀₂₁对应的周期内的数值即可。
【解析】
第一步：计算前几项找规律
已知n₁=8，
$a_1 = n_1^2 + 1 = 8^2 + 1 = 65$；
a₁的各位数字之和为$6+5=11$，即$n_2=11$，
$a_2 = n_2^2 + 1 = 11^2 + 1 = 122$；
a₂的各位数字之和为$1+2+2=5$，即$n_3=5$，
$a_3 = n_3^2 + 1 = 5^2 + 1 = 26$；
a₃的各位数字之和为$2+6=8$，即$n_4=8$，
$a_4 = 8^2 + 1 = 65$，和$a_1$相等。
第二步：确定循环周期
可发现数列$a_n$的周期为3，周期内的数依次为：65、122、26，循环出现。
第三步：计算余数确定结果
$2021 ÷ 3 = 673……2$，即余数为2，对应周期内的第2个数，也就是122。
【答案】
C
【知识点】
探索数字规律，周期循环问题，有理数混合运算
【点评】
本题核心考查对数字变化规律的探索能力，解题关键是通过计算前几项找到循环周期，再结合余数定位所求项，计算过程难度较低，只要细心运算就能找到规律得到正确结果。
【难度系数】
0.7
